湘教版必修第二冊(cè)3章《復(fù)數(shù)》章末綜合檢測(cè)及詳細(xì)解析(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i為虛數(shù)單位)，若z<6，則實(shí)數(shù)m＝(　　)A．2      B．2或－4       C．4       D．－2或42．設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則x＋y的值為(　　)A．1      B.         C.      D．23．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1＋ai)(2＋i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于(　　)A．－         B.        C．－2         D．24．在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)按順序分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1＋2i，－2＋i,0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　)A.3＋i     B.3－I       C.1－3i      D.－1＋3i5．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則(　　)A．(x＋1)2＋y2＝1    B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1    D．x2＋(y＋1)2＝16．已知復(fù)數(shù)z滿足z·i2 020＝1＋i2 019(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部是(　　)A．－1        B．1       C．－i        D．i7．已知復(fù)數(shù)z＝－＋i，則＋|z|＝(　　)A．－－i      B．－＋i      C.＋i       D.－i8．歐拉公式eix＝cos x＋isin x(i為虛數(shù)單位)將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．當(dāng)x＝π時(shí)，eiπ＋1＝0.根據(jù)歐拉公式可知，e4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于(　　)A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限       D．第四象限二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知z1與z2是共軛虛數(shù)，以下四個(gè)命題一定正確的是(　　)A．z<|z2|2     B．z1z2＝|z1z2|      C．z1＋z2∈R         D.∈R10．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．z的共軛復(fù)數(shù)為－I      B．z的虛部為C．|z|＝                 D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限11．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　)A．z為純虛數(shù)                                 B．z的虛部為－iC．在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限         D．|z|＝12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是(　　)A．(1－i)(1＋i)      B．         C．         D．(1－i)2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知復(fù)數(shù)z＝(m2－2)＋(m－1)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)m的范圍為______．14．若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝4＋3i，則|z|＝________.15．在平行四邊形OABC中，各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，則實(shí)數(shù)a－b的值為________．16．復(fù)數(shù)z1＝1－2i，|z2|＝3，則|z2－z1|的最大值是________，最小值是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分) 已知z，ω為復(fù)數(shù)，(1＋3i)z為實(shí)數(shù)，ω＝，且|ω|＝5，求ω.18．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|3＋4i|＋z＝1＋3i.(1)求；(2)求的值．19．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)2＋，其中i為虛數(shù)單位．(1)求復(fù)數(shù)z及|z|；(2)若z2＋a＋b＝2＋3i，求實(shí)數(shù)a，b的值．20．(本小題滿分12分).已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝，z2的虛部是2.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)z，z2，z－z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．21．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求z1·2的值；(2)若z1－z2是純虛數(shù)，求a的值；(3)若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求a的取值范圍．22．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝，z2的虛部為2，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．(1)求z；(2)若z，z2，z－z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求cos ∠ABC.                    答案一、單項(xiàng)選擇題： 1．選A.解析：因?yàn)?/span>z<6，所以z∈R，則解得所以m＝2，故選A.2．選D.   解析：　依據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，得x＝y＝1，故x＋y＝2.故選D.3．選D.  解析：　(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(2a＋1)i，因?yàn)樗鼮榧兲摂?shù)，所以解得a＝2.故選D.4．選D. 解析：在復(fù)平面內(nèi)通過已知三個(gè)點(diǎn)易知第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋3i.5．選C.解析： z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝＝1，則x2＋(y－1)2＝1.故選C.6．選A.解析：因?yàn)閕4＝1，所以i2 020＝i4×505＝1，i2 019＝i4×504＋3＝－i，則z·i2 020＝1＋i2 019化為z＝1－i，所以z的虛部為－1.故選A.7．選D.解析：　因?yàn)?/span>z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋ ＝－i.故選D.8．選C.解析：因?yàn)?/span>e4i＝cos 4＋isin 4，π<4<，所以cos 4<0，sin 4<0，故e4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面中位于第三象限．二、多項(xiàng)選擇題： 9．選BC.　解析： z1與z2是共軛虛數(shù)，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)．z<|z2|2；z＝a2－b2＋2abi，復(fù)數(shù)不能比較大小，因此A不正確；z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，B正確；z1＋z2＝2a∈R，C正確；＝＝＝＋i不一定是實(shí)數(shù)，因此D不一定正確．故選B、C.10．選CD.解析：因?yàn)?/span>z＝＝＝＋i，所以z的共軛復(fù)數(shù)為－i，z的虛部為，|z|＝＝，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限．故選C、D.11．選ABC.解析：　∵z＋1＝zi，設(shè)z＝a＋bi，則(a＋1)＋bi＝－b＋ai，∴解得∴z＝－－i.∴|z|＝，復(fù)數(shù)z的虛部為－.故選A、B、C.12．選BC.解析：根據(jù)題意，M＝{m|m＝in，n∈N}中，n＝4k(k∈N)時(shí)，in＝1；n＝4k＋1(k∈N)時(shí)，in＝i；n＝4k＋2(k∈N)時(shí)，in＝－1；n＝4k＋3(k∈N)時(shí)，in＝－i，所以M＝{－1，1，i，－i}．選項(xiàng)A中，(1－i)(1＋i)＝2?M；選項(xiàng)B中，＝＝－i∈M；選項(xiàng)C中，＝＝i∈M；選項(xiàng)D中，(1－i)2＝－2i?M.故選B、C.三、填空題：13. 答案：(1，) 解析：∵復(fù)數(shù)z＝(m2－2)＋(m－1)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(m2－2，m－1)位于第二象限，∴m2－2＜0，且 m－1＞0，∴1＜m＜.14．答案：1解析：因?yàn)?3－4i)z＝4＋3i，所以z＝＝＝＝i.則|z|＝1.15．答案：－4解析：因?yàn)?/span>＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得所以a－b＝－4.16．答案：3＋　3－解析：設(shè)z2＝x＋yi(x，y∈R)，作出圓x2＋y2＝9，如圖所示，z1＝1－2i表示點(diǎn)P(1，－2)，則|z2－z1|表示點(diǎn)P到圓上的點(diǎn)的距離，當(dāng)圓上的點(diǎn)與點(diǎn)O，P共線時(shí)，取得最值，則最大值為3＋，最小值為3－.四、解答題：17．解：設(shè)ω＝x＋yi(x，y∈R)，由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．依題意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，∴7x－y＝0.①又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②由①②得或∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.18．解：(1)因?yàn)閨3＋4i|＝5，所以z＝1＋3i－5＝－4＋3i，所以＝－4－3i.(2)＝＝2.19．解：(1)z＝(1＋i)2＋＝2i＋i(1＋i)＝－1＋3i，|z|＝＝.(2)由z2＋a＋b＝2＋3i得，(－1＋3i)2＋a(－1－3i)＋b＝2＋3i，即(－8－a＋b)＋(－6－3a)i＝2＋3i，所以解得20．解：(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，由題意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)當(dāng)z＝1＋i時(shí)，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.當(dāng)z＝－1－i時(shí)，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.21．解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，z1·2＝(1＋i)(1＋i)＝1＋2i＋i2＝2i.(2)由題意z1－z2＝(a－1)＋2i為純虛數(shù)，則a－1＝0，所以a＝1.(3)＝＝＝＝＋i，該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則由題意得解得－1<a<1.故a的取值范圍是(－1，1).22．解：(1)令z＝x＋yi(x，y∈R).因?yàn)閨z|＝，所以x2＋y2＝2.?、?/span>又z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi的虛部為2，所以2xy＝2，即xy＝1.?、?/span>由①②，解得或所以z＝1＋i或z＝－1－i.又復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以z＝1＋i.(2)因?yàn)?/span>z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1＋i－2i＝1－i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以＝(1，－1)，＝(1，－3)，所以cos ∠ABC＝＝＝＝.    
 

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第二冊(cè)電子課本

3.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

版本： 湘教版（2019）

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