2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，寫在試卷上的答案無效。
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1.如圖是回收、綠色食品、綠色包裝、低碳四個(gè)標(biāo)志圖案，其中為中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A.B.C.D.
2.方程的根是（ ）
A.B.C.，D.，
3.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A.B.C.D.
4.如圖為的直徑，，則（ ）
A.55°B.50°C.45°D.40°
5.如圖，是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，若，那么的度數(shù)為（ ）
A.160°B.162°C.164°D.170°
6.如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，是對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn).有下列判斷：①；②；③；④若，是拋物線上兩點(diǎn)，則.其中正確的是（ ）
A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7.關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為______.
8.一元二次方程的兩個(gè)根為，則______.
9.拋物線的對(duì)稱軸是直線，則______.
10.石拱橋是中國(guó)傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形.如圖，已知某公園石拱橋的跨度米，拱高米，那么橋拱所在圓的半徑______米.
11.如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好落在邊上，且，則______.
12.若關(guān)于的函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則的值為______.
三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13.解下列方程：（1）；
（2）.
14.已知關(guān)于的方程.
（1）若該方程的一個(gè)根是，求該方程的另一個(gè)根；
（2）求證：不論取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
15.已知二次函數(shù)（）中，函數(shù)與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如表：
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
16.如圖，經(jīng)過，，三個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺作圖.
（1）畫出圓心；
（2）畫弦，使平分.
17.如圖，是的直徑，是的弦，半徑于點(diǎn).
（1）求證；
（2）若，，求.
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18.如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得，連接.
（1）當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀，并說明理由；
（2）直接寫出為多少度時(shí)，是等腰三角形.
19.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且平分，于點(diǎn).
（1）求證；
（2）若，，求的長(zhǎng).
20.某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元.為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.
（1）若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元；
（2）該商場(chǎng)平均每天盈利最多多少元？達(dá)到最大值時(shí)應(yīng)降價(jià)多少元.
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21.如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖.水面寬與橋長(zhǎng)均為，在距離點(diǎn)6米的處，測(cè)得橋面到橋拱的距離為，以橋拱頂點(diǎn)為原點(diǎn)，橋面為軸建立平面直角坐標(biāo)系.
圖1 圖2
（1）求橋拱頂部離水面的距離；
（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為的支柱，，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為.
①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求一條彩帶長(zhǎng)度的最小值.
22.材料背景：如果關(guān)于的一元二次方程（）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大1，那么稱這樣的方程式“鄰根方程”.例如：一元二次方程的兩個(gè)根是，，則方程是“鄰根方程”.
知識(shí)應(yīng)用：（1）通過計(jì)算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：
①；②.
拓展延伸：（2）已知關(guān)于的一元二次方程（是常數(shù)）是“鄰根方程”，求的值.
綜合探究：（3）若關(guān)于的一元二次方程（，是常數(shù)，且）是“鄰根方程”，令，求當(dāng)為何值時(shí)，的最大值是多少.
六、解答題（本大題共12分）
23.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).
圖1 圖2
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值；
（3）如圖2，將該拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線（），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是平面坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)初三年級(jí)
數(shù)學(xué)學(xué)科試卷參考答案
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. B
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 8.3 9.2 10.10 11.30° 12.2或或3
三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13.解：（1），
，或.
（2），
或；
14.解：（1）將代入方程，得，，
設(shè)另外一個(gè)根為，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，
（2）由題意可知：，
不論取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
15.解：（1）由題意，得.
將點(diǎn)，代入，得解得
.頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）當(dāng)時(shí)，，解得：或，
函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.
16.解：（1）如圖，點(diǎn)為所求，
（2）線段即為所求.
17.（1）證明：是直徑，
，
，，
，；
（2）解：設(shè)，
，，，
在中，，，
，
或（舍去），
.
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18.解：（1）當(dāng)時(shí)，是直角三角形.
理由如下：
繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得，
，
繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得，
，
，是等邊三角形.
，
當(dāng)時(shí)，是直角三角形.
（2），
.
是等邊三角形，，
，，
①當(dāng)時(shí)，，解得：
②當(dāng)時(shí)，，解得：，
③當(dāng)時(shí)，，解得：
，，..
19.（1）證明：平分，，
，，
，
，，；
（2）解：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).
平分，，，
，，
在和中，，
，，
在和中，
，
，
，.
20.解：（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，則每件盈利元，每天可以售出件，
由題意，得，即：，
解，得，，
為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，所以的值應(yīng)為20，
所以，若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件袝衫應(yīng)降價(jià)20元；
（2）設(shè)商場(chǎng)平均每天盈利元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，
由題意，得，
當(dāng)元時(shí)，該函數(shù)取得最大值為1250元，
所以，商場(chǎng)平均每天盈利最多1250元，達(dá)到最大值時(shí)應(yīng)降價(jià)15元.
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21.解：（1）根據(jù)題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，
可設(shè)拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達(dá)式為：.
將代入有：，求得，
，
當(dāng)時(shí)，，
橋拱頂部離水面高度為.
（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
可設(shè)其表達(dá)式為，
將代入其表達(dá)式有：，求得，
右邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：，
同理可得左邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：
②設(shè)彩帶的長(zhǎng)度為，
則，
當(dāng)時(shí)，，
答：彩帶長(zhǎng)度的最小值是.
22.解：（1）①，，
或，解得，，
方程不是“鄰根方程”；
（2），，
或，解得，，
方程是“鄰根方程”；
②設(shè)方程的較小的一根為，則另一根為，
，，
，，解得或；
（3）設(shè)方程的較小的一根為，則另一根為，
，
，，，
，且，，
，，
當(dāng)時(shí)，有最大值為66.
六、解答題（本大題共12分）
23.解：（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入，
得，解得，；
（2）令，則，，
設(shè)直線的解析式為，
則有，解得，
過點(diǎn)作軸交于，
由已知可得，則，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)；
（3），
將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則，
聯(lián)立，，
，，
點(diǎn)在直線上，設(shè)，
1°當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，如圖1，
，，或（舍），；
2°當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，如圖2，
，，或，
或；
3°當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，如圖3，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，
，，
，，；
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或.
圖1 圖2 圖3…
0
2
…
…
5
…

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