一、選擇題（本題共6小題，每小題3分，共18分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．用配方法解方程時，應(yīng)該把方程兩邊同時（ ）
A．加2B．減2C．加4D．減4
2．拋物線與軸的交點是（ ）
A．B．C．D．
3．等邊三角形、平行四邊形、圓、正五邊形，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A．等邊三角形B．平行四邊形C．圓D．正五邊形
4．如果一元二次方程總有實數(shù)根，那么應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，將繞直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，則的度數(shù)是（ ）
（第5題圖）
A．B．C．D．
6．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列描述中，錯誤的是（ ）
（第6題圖）
A．對稱軸是直線B．當(dāng)時，函數(shù)隨增大而增大
C．圖象的頂點坐標(biāo)是D．圖象與軸的另一個交點是
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
7．若是一元二次方程的一個根，則的值為______．
8．如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，那么______．
9．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是，則______．
10．已知一元二次方程的一個根為，則的值為______．
11．如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集為______．
（第11題圖）
12．如圖，是內(nèi)的點，，，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接．設(shè)為，當(dāng)為等腰三角形時，為______．
（第12題圖）
三、解答題（本題共5小題，每小題6分，共30分）
13．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?） （2）．
14．如圖，是正方形內(nèi)一點，繞著點旋轉(zhuǎn)后能到達(dá)的位置，若，求線段的長．
（第14題圖）
15．已知等腰三角形的兩邊長是方程的兩個根，求該等腰三角形的周長？
16．如圖，點，，是格點，請用無刻度的直尺按要求在網(wǎng)格中作圖，并標(biāo)明字母．
（1）作四邊形，使四邊形為中心對稱圖形，且為格點；
（2）以為邊作四邊形，使四邊形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，且，均為格點．
（第16題圖）
17．已知二次函數(shù)的圖象過點，并經(jīng)過一次函數(shù)的圖象與軸、軸的交點，求該拋物線的解析式？
四、解答題（本題共3小題，每小題8分，共24分）
18．已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）證明：不論為何值時，方程總有實數(shù)根．
（2）設(shè)方程的兩根分別是，，若滿足，求的值．
19．安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價格購進(jìn)一種干果，原計劃以每千克60元的價格銷售，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量（千克）與每千克降價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若該商貿(mào)公司要想獲利最大，則這種干果每千克應(yīng)降價多少元？
（第19題圖）
20．如圖，等邊中，是邊上一點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．
（1）求證：；
（2）若，，求的周長．
（第20題圖）
五、解答題（本題共2小題，每小題9分，共18分）
21．如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)沿邊以的速度向點運動，同時點從點出發(fā)沿邊以的速度向點運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時另一點也同時停止，設(shè)運動的時間為秒．
（1）填空：______，______（用含的代數(shù)式表示），且的取值范圍為______．
（2）當(dāng)為何值時，的長度為？
（3）當(dāng)為何值時，的面積為？
（第21題圖）
22．
六、解答題（本題共12分）
23．綜合與實踐課上，李老師讓同學(xué)們以“旋轉(zhuǎn)”為主題展開探究．
【問題情境】如圖①，在矩形中，，．將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作交直線與點．
【猜想證明】（1）當(dāng)時，在圖②中補全圖形，并判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．
（2）在【問題情境】的條件下，存在，使點，，三點共線，并求出此時線段的長度．
【能力提升】（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求線段的最小值？（直接寫出答案）
南昌二十八中教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年上學(xué)期期中
九年級數(shù)學(xué)答案
1．C2．B3．C4．B5．B6．D
7．8．9．10．202511．12．或或
13．解：（1），，
或，，；
（2），，
，即，，
，．
14． 【詳解】解：正方形，，
繞著點旋轉(zhuǎn)后能到達(dá)的位置，
，，
．
15．【詳解】解：得或6，
分類討論：當(dāng)腰長為3時，三邊為3、3、6此時不構(gòu)成三角形，故舍，
當(dāng)腰長為6時，三邊為3、6、6，此時周長為15．
16．【小題1】解：如圖，平行四邊形即為所求；
【小題2】如圖，四邊形即為所求；
或（畫對一種即可）
17．當(dāng)時，，故與軸的交點為
令，解得，故與軸的交點為
將，，代入得，解得
18．（1）見解析（4分）
（2）或1
【詳解】（1）證明：
，不論為何值時，方程總有實數(shù)根；
（2）根據(jù)題意得，，
，，解得，，
的值為或1．
19．【小題1】（4分）解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
則解得與之間的函數(shù)關(guān)系式為．
【小題2】（4分）解：設(shè)總利潤為元，由題意，得，
，當(dāng)時，．
答：若該商貿(mào)公司要想獲利最大，則這種干果每千克應(yīng)降價5元．
20．【小題1】（4分）解：為等邊三角形，，，
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，，，；
【小題2】（4分）是等邊三角形，，而繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，
得到，，的周長．
21．（1），，
（2） （3）
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，
，．
，．
綜上所述：．
（2）當(dāng)時，，
，整理得，
解得（不合題意，舍去），．
當(dāng)時，的長度為．
（3）當(dāng)時，，
整理得，解得，（不合題意，舍去）
當(dāng)時，的面積為．
22．任務(wù)一：；
任務(wù)二：；
任務(wù)三：車速不超過時才能在剎車后避免連環(huán)追尾事故的發(fā)生．
【詳解】解：任務(wù)一：由題意得，，
故答案為：；
任務(wù)二：當(dāng)時，；
任務(wù)三：把代入得，，
解得（不合，舍去），，
答：車速不超過時才能在剎車后避免連環(huán)追尾事故的發(fā)生．
23．（1）正方形；證明見解析；
（2）補全圖形見解析
或；
（3）
【詳解】解：（1）四邊形是正方形；證明如下：
四邊形是矩形，；
當(dāng)時，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：，；
，，，四邊形是矩形；
，四邊形是正方形；
圖②
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于直角時，補全圖形如圖所示；
圖③-1
四邊形是矩形，，，，
，，，
，；
在中，由勾股定理得，
；
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于直角則小于平角時，補全圖形如圖所示；
圖③-2
同理，，；
在中，由勾股定理得，
；
綜上，或；
（3）如圖，連接，
，當(dāng)、、三點共線時，取得最小值，最小值為；
由勾股定理，最小值為．
故答案為：．
安全駕駛：合理車距的保持藝術(shù)
背景
停車距離是指從司機(jī)觀察到危險信號至車輛減速停下的過程中車輛行駛的距離，整個停車過程中車輛可看作直線運動．
素材
司機(jī)觀察到危險信號至踩下剎車的平均反應(yīng)時間大約為秒，此反應(yīng)距離滿足；從司機(jī)踩下剎車到車輛完全停止，車輛可看作勻減速直線運動，車輛行駛的距離稱為剎車距離，滿足（其中為汽車制動加速度，在城市道路約為）；整個停車距離為．
問題解決
任務(wù)一
認(rèn)識研究對象
汽車的停車距離______（用含的代數(shù)式表示）
任務(wù)二
探索研究方法
若汽車行駛速度為，則求汽車的停車距離為多少米？
任務(wù)三
嘗試解決問題
某司機(jī)開車上班途中發(fā)現(xiàn)正前方90米處發(fā)生追尾事故，此時，車速不超過多少時才能在剎車后避免連環(huán)追尾事故的發(fā)生．

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