廣東省廣州市真光中學2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試卷

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1．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣7＝0的二次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（ ）
A．2，﹣7B．2，3C．2，7D．3，﹣7
2．（3分）下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°，得到△A′B′C，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x＝2，下列配方正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝4B．（x+2）2＝6C．（x﹣2）2＝8D．（x﹣2）2＝6
5．（3分）若拋物線的開口向上，則m的值為（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．1
6．（3分）如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，若∠AOB＝80°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（3分）某種植基地2016年蔬菜產量為80噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，求蔬菜產量的年平均增長率，則可列方程為（ ）
A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝100
8．（3分）將拋物線y＝3x2平移，得到拋物線y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正確的是（ ）
A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位
B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位
C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位
D．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝kx2﹣3x﹣1的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．且k≠0D．且k≠0
10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（﹣3，0），其對稱軸為直線x＝﹣；②3a+c＞0；③當x＜0時；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩根分別為x1＝﹣，x2＝；⑤若m，n（m＜n）為方程a（x+3）（x﹣2），則m＜﹣3且n＞2，其中正確的結論有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
11．（3分）若函數(shù)是正比例函數(shù)，則m的值是 ．
12．（3分）拋物線y＝3（x﹣2）2+3的頂點坐標是 ．
13．（3分）設A（2，y1），B（3，y2）是拋物線y＝﹣（x+1）2+k的兩點，則y1 y2（填＜，＝或＞）．
14．（3分）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，AB＝10，則CD與AB之間的距離是 ．
15．（3分）如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉90°后，得到矩形AB′C′D′，那么CC′＝ ．
16．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，將線段AC繞點C順時針旋轉，點A的對應點為D．當ACD＝90°時，則線段BD的長為 ．
三、解答題（本大題共9小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（4分）解方程：
（1）2（x﹣2）2＝18．
（2）2x（x+3）﹣x﹣3＝0．
18．（4分）利用圖中的網(wǎng)格線（最小的正方形的邊長為1）畫圖．
（1）作出△ABC關于原點O對稱的中心對稱圖形△A1B1C1；
（2）將△ABC繞點A順時針能轉90°得到△A2B2C2．
19．（6分）已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有兩個不相等的實根．
（1）求m的取值范圍．
（2）若該方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1+x2＝2x1?x2，求m的值．
20．（6分）如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦且AB⊥CD于點E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直徑．
21．（8分）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE＝BF
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 點，按順時針方向旋轉 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面積．
22．（10分）如圖二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），點C,D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過B,D
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；
（3）若直線BD與y軸的交點為E點，連結AD，AE求△ADE的面積
23．（10分）如圖，某農場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，已知柵欄總長度為18m，即AB的長為xm．
（1）若矩形養(yǎng)殖場的面積為36m2，求此時的x的值；
（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的面積最大？最大值是多少？
24．（12分）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為CA上一動點，E為BC延長線上的動點，將AE繞A點逆時針旋轉90°到AF，連接DF．
（1）請判斷線段BD和AF的位置關系并證明；
（2）當時，求∠AEC的度數(shù)；
（3）如圖2，連接EF，G為EF中點，，EF的中點G也隨之運動，請求出點G所經(jīng)過的路徑長．
25．（12分）已知拋物線y＝x2+1（如圖所示）．
（1）填空：拋物線的頂點坐標是（ ， ），對稱軸是 ；
（2）已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上．在平面內是否存在點N，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在請說明理由
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣7＝0的二次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（ ）
A．2，﹣7B．2，3C．2，7D．3，﹣7
【分析】一般地，任何一個關于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．
【解答】解：一元二次方程2x2+3x﹣7＝0的二次項系數(shù)和常數(shù)項分別是4，﹣7，
故選：A．
【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多項式的各項系數(shù)時帶著前面的符號．
2．（3分）下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．根據(jù)定義即可判斷．
【解答】解：A．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．該圖形是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C．該圖形既不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．
故選：D．
【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確掌握相關概念是解題關鍵．
3．（3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°，得到△A′B′C，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
【分析】先利用互余計算出∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，再根據(jù)旋轉的性質得∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠CA′B′＝∠CAB＝30°，則可判斷△ACA′為等腰直角三角形，則∠CA′A＝45°，然后利用∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′進行計算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，
∵Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，
∴△ACA′為等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝45°，
∴∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′＝45°﹣30°＝15°．
故選：A．
【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x＝2，下列配方正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝4B．（x+2）2＝6C．（x﹣2）2＝8D．（x﹣2）2＝6
【分析】兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝8，
∴x2﹣4x+5＝2+4，即（x﹣6）2＝6，
故選：D．
【點評】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關鍵．
5．（3分）若拋物線的開口向上，則m的值為（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義和性質解答即可．
【解答】解：∵拋物線的開口向上，
∴m2﹣2＝5，m+1＞0，
∴m＝±2，m＞﹣1，
∴m＝2．
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義和性質，掌握二次函數(shù)的定義和性質的解題的關鍵．
6．（3分）如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，若∠AOB＝80°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．
【解答】解：∵OA，OB是⊙O的兩條半徑，∠AOB＝80°，
∴∠C＝＝40°．
故選：B．
【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或者在等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答本題關鍵．
7．（3分）某種植基地2016年蔬菜產量為80噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，求蔬菜產量的年平均增長率，則可列方程為（ ）
A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝100
【分析】利用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），設平均每次增長的百分率為x，根據(jù)“從80噸增加到100噸”，即可得出方程．
【解答】解：由題意知，蔬菜產量的年平均增長率為x，
根據(jù)2016年蔬菜產量為80噸，則2017年蔬菜產量為80（1+x）噸
，2018年蔬菜產量為80（1+x）（3+x）噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，
即：80（1+x）（1+x）＝100或80（5+x）2＝100．
故選：A．
【點評】此題考查了一元二次方程的應用（增長率問題）．解題的關鍵在于理清題目的含義，找到2017年和2018年的產量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準等量關系式，列出方程．
8．（3分）將拋物線y＝3x2平移，得到拋物線y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正確的是（ ）
A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位
B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位
C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位
D．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位
【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝3x2的頂點坐標為（7，0）2﹣4的頂點坐標為（1，﹣2），
∴將拋物線y＝7x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位2﹣2．
故選：D．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關鍵．
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝kx2﹣3x﹣1的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．且k≠0D．且k≠0
【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點與b2﹣4ac的符號有關，可得答案．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝kx2﹣3x﹣4的圖象和x軸有交點，
∴（﹣3）2﹣6?k?（﹣1）≥0，且k≠5，
∴k≥﹣且k≠2，
故選：C．
【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，明確b2﹣4ac的符號決定了拋物線與x軸的交點個數(shù)是解題的關鍵．
10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（﹣3，0），其對稱軸為直線x＝﹣；②3a+c＞0；③當x＜0時；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩根分別為x1＝﹣，x2＝；⑤若m，n（m＜n）為方程a（x+3）（x﹣2），則m＜﹣3且n＞2，其中正確的結論有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置判斷①．由對稱軸為直線x＝﹣可得a＝b，根據(jù)拋物線經(jīng)過點（﹣3，0）可得6a+c＝0，再由a＜0可判斷②．由圖象對稱軸及開口方向③．由拋物線經(jīng)過（﹣3，0）可得拋物線經(jīng)過（2，0），進而可得＝﹣3，＝2，因為cx2+bx+a＝0的根為x＝和x＝，將a與c的關系代入求解可判斷④．將a（x+3）（x﹣2）+3＝0轉化為拋物線與直線y＝﹣3的交點可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣，
∴b＝a＜0，
∵拋物線與y軸交點在x軸上方，
∴c＞4，
∴abc＞0，①正確．
∵拋物線經(jīng)過點（﹣3，6），
∴9a﹣3b+c＝7，
∵a＝b，
∴6a+c＝3a+6a+c＝0，
∵a＜0，
∴6a+c＞0，②正確．
由圖象可得x＜﹣時，y隨x增大而增大，
∴③錯誤，不符合題意．
由cx2+bx+a＝0可得方程的解為x＝和x＝，
∵拋物線y＝ax5+bx+c經(jīng)過（﹣3，0），
∴拋物線與x軸另一個交點為（2，2），
∴x＝﹣3和x＝2是方程ax3+bx+c＝0的根，
∴＝﹣3，，
∵2a+c＝0，
∴c＝﹣6a，
∴＝﹣，＝，符合題意．
∵拋物線經(jīng)過（﹣3，0），7），
∴y＝a（x+3）（x﹣2），
將a（x+4）（x﹣2）+3＝7化為a（x+3）（x﹣2）＝﹣3，
由圖象得拋物線與直線y＝﹣3交點在x軸下方，
∴m＜﹣3且n＞8，⑤正確．
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
11．（3分）若函數(shù)是正比例函數(shù)，則m的值是 ﹣2 ．
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，令2m2﹣7＝1，且m﹣2≠0求出即可．
【解答】解：∵函數(shù)是正比例函數(shù)，
∴2m4﹣7＝1，且m﹣3≠0，
∴m2﹣3＝0，且m﹣2≠8，
∴（m+2）（m﹣2）＝8，且m﹣2≠0，
∴m+7＝0，
解得：m＝﹣2．
故答案為：﹣3．
【點評】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義，關鍵是掌握①正比例系數(shù)不等于零，②自變量次數(shù)為1．
12．（3分）拋物線y＝3（x﹣2）2+3的頂點坐標是 （2，3） ．
【分析】直接由拋物線解析式可求得答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣2）5+3，
∴拋物線頂點坐標為（2，7），
故答案為：（2，3）．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，頂點坐標為（h，k），對稱軸為x＝h．
13．（3分）設A（2，y1），B（3，y2）是拋物線y＝﹣（x+1）2+k的兩點，則y1 ＞ y2（填＜，＝或＞）．
【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質判斷即可．
【解答】解：由y＝﹣（x+1）2+k可知：在對稱軸直線x＝﹣2右側，y隨x增大而減小，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＞y2，
故答案為：＞．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，充分運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．
14．（3分）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，AB＝10，則CD與AB之間的距離是 3 ．
【分析】過點O作OH⊥CD于H，連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理計算出OH＝3，從而得到CD與AB之間的距離．
【解答】解：過點O作OH⊥CD于H，連接OC，則CH＝DH＝CD＝7，
在Rt△OCH中，OH＝，
所以CD與AB之間的距離是3．
故答案為5．
【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
15．（3分）如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉90°后，得到矩形AB′C′D′，那么CC′＝ ．
【分析】矩形ABCD繞點A順時針旋轉90°得到矩形AB′C′D′，可知旋轉中心為點A，旋轉角∠CAC′＝90°，根據(jù)對應點C、C′到旋轉中心的距離相等可知，AC＝AC′，先在Rt△ACD中用勾股定理求AC，再在Rt△CAC′中，利用勾股定理求CC′．
【解答】解：由旋轉的性質可知，∠CAC′＝90°，
Rt△ACD中，由勾股定理得，
AC＝＝＝，
在Rt△CAC′中，由勾股定理得，
CC′＝＝．
【點評】本題考查了旋轉的性質，勾股定理的運用，屬于基礎題，需要熟練掌握．
16．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，將線段AC繞點C順時針旋轉，點A的對應點為D．當ACD＝90°時，則線段BD的長為 5 ．
【分析】過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC，與BC的延長線交于點F，證明△ACE≌△DCF，求得BF與DF，由勾股定理便可得結果．
【解答】解：過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝，
∴，
由旋轉性質得CD＝AC＝5，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCF＝90°，
∵∠ACB+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DCF，
∵∠AEC＝∠CFD＝90°，
∴△ACE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF＝7，DF＝CE＝，
∴BD＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了旋轉的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，關鍵是作輔助線構造全等三角形．
三、解答題（本大題共9小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（4分）解方程：
（1）2（x﹣2）2＝18．
（2）2x（x+3）﹣x﹣3＝0．
【分析】（1）方程兩邊都除以2，再開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）2（x﹣2）7＝18，
除以2，得（x﹣2）5＝9，
開方，得x﹣2＝±2，
解得：x1＝5，x7＝﹣1；
（2）2x（x+5）﹣x﹣3＝0，
5x（x+3）﹣（x+3）＝3，
（x+3）（2x﹣6）＝0，
x+3＝3或2x﹣1＝4，
解得：．
【點評】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．
18．（4分）利用圖中的網(wǎng)格線（最小的正方形的邊長為1）畫圖．
（1）作出△ABC關于原點O對稱的中心對稱圖形△A1B1C1；
（2）將△ABC繞點A順時針能轉90°得到△A2B2C2．
【分析】（1）根據(jù)中心對稱的性質作圖即可；
（2）根據(jù)旋轉的性質作圖即可．
【解答】解：（1）如圖：△A1B1C8即為所求；
（2）如圖；△A2B2C5即為所求．
【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換，中心對稱變換，熟練掌握旋轉和中心對稱的性質是解答本題的關鍵．
19．（6分）已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有兩個不相等的實根．
（1）求m的取值范圍．
（2）若該方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1+x2＝2x1?x2，求m的值．
【分析】（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根結合根的判別式即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關系得到x1+x2＝4，x1?x2＝m+1，由x1+x2＝2x1?x2得到2（m+1）＝4，然后解方程求出m即可得到滿足條件的m的值．
【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣4x+m+4＝0有兩個不相等的實根．
∴Δ＝（﹣4）8﹣4（m+1）＝16﹣3m﹣4＞0，
解得：m＜6．
（2）∵該方程的兩個實數(shù)根為x1、x2，
∴x6+x2＝4，x7?x2＝m+1．
∵x5+x2＝2x3?x2，
∴2（m+5）＝4，
解得：m＝1．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根找出Δ＝16﹣4m﹣4＞0；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系結合x1+x2＝2x1?x2得出2（m+1）＝4．
20．（6分）如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦且AB⊥CD于點E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直徑．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質，同弧的圓周角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證．
（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關系，即可確定半徑．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，∠BCD與∠ACE互余
∴∠BCD＝∠BAC．（3分）
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠ACO＝∠BCD．（5分）
（2）解：設⊙O的半徑為Rcm，則OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，
CE＝CD＝，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2＝OE2+CE2，即R5＝（R﹣8）2+122（8分）
解得R＝13，∴2R＝8×13＝26cm．
答：⊙O的直徑為26cm．（10分）
【點評】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應用能力．
21．（8分）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE＝BF
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A 點，按順時針方向旋轉 90 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面積．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質得AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF＝∠DAE，則∠BAF+∠BAE＝90°，即∠FAE＝90°，根據(jù)旋轉的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到；
（3）先利用勾股定理可計算出AE＝10，再根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到AE＝AF，∠EAF＝90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計算即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延長線上的點，
∴∠ABF＝90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF＝∠DAE，
而∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠FAE＝90°，
∴△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 ；
故答案為A、90；
（3）解：∵BC＝8，
∴AD＝8，
在Rt△ADE中，DE＝4，
∴AE＝＝10，
∵△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 ，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF的面積＝AE2＝×100＝50．
【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理．
22．（10分）如圖二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），點C,D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過B,D
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；
（3）若直線BD與y軸的交點為E點，連結AD，AE求△ADE的面積
【分析】（1）設交點式y(tǒng)＝a（x+3）（x﹣1），然后把C點坐標代入可求出a的值，從而得到拋物線解析式；
（2）先利用拋物線的對稱性確定D點坐標，然后寫出一次函數(shù)圖象不在拋物線上方所對應的自變量的取值范圍即可；
（3）連接AE，先求出直線BD的解析式，求出E點坐標，再根據(jù)SADE＝SABD﹣S△ABE求出△ADE的面積即可．
【解答】解：（1）設拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（8，3）代入得a×3×（﹣4）＝3，
解得a＝﹣1，
所以拋物線解析式為y＝﹣（x+7）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣8x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣5x+3＝﹣（x+1）8+4，
∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝﹣1，
∵點C （5，3）、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，
∴點D （﹣2，2），
∴一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍是x＜﹣2或x＞1；
（3）連接AE，如圖：
設直線BD的解析式為y＝mx+n，
代入B（5，0），3）得：
，
解得：，
故直線BD的解析式為y＝﹣x+1，
把x＝2代入y＝﹣x+1得，y＝1，
∴E（8，1），
∴SADE＝SABD﹣S△ABE＝AB?yD﹣AB?yE＝×4×8﹣．
∴△ADE的面積為5．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式．
23．（10分）如圖，某農場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，已知柵欄總長度為18m，即AB的長為xm．
（1）若矩形養(yǎng)殖場的面積為36m2，求此時的x的值；
（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的面積最大？最大值是多少？
【分析】（1）根據(jù)矩形的面積＝36列出方程，解方程去符合條件的x的取值即可；
（2）根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，并根據(jù)函數(shù)的性質和x的取值范圍求最值．
【解答】解：（1）由題意得：x（18﹣2x）＝36，
整理得：x2﹣7x+18＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
∵18﹣8x≤10，
∴x≥4，
∴x＝6；
（2）設矩形養(yǎng)殖場的面積為y平方米，
由題意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2+18x＝﹣6（x﹣）+，
∵﹣2＜0，6≤x＜9，
∴當x＝時，y最大，
答：當x為4.4米時，矩形養(yǎng)殖場的面積最大平方米．
【點評】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關系式．
24．（12分）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為CA上一動點，E為BC延長線上的動點，將AE繞A點逆時針旋轉90°到AF，連接DF．
（1）請判斷線段BD和AF的位置關系并證明；
（2）當時，求∠AEC的度數(shù)；
（3）如圖2，連接EF，G為EF中點，，EF的中點G也隨之運動，請求出點G所經(jīng)過的路徑長．
【分析】（1）延長BD交AE于點H，由“SAS”可證△BCD≌△ACE，由旋轉的性質和全等三角形的性質可得BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∠EAF＝90°，由余角的性質可得∠AHB＝90°＝∠FAE，可得AF∥BD，可得結論；
（2）由三角形的面積公式可得AH＝BD＝AE，可得BH垂直平分AE，由等腰三角形的性質可求解；
（3）先求出點G在∠ACE的角平分線上運動，即可求解．
【解答】解：（1）結論：BD∥AF．
理由：如圖1，延長BD交AE于點H，
∵E繞A點逆時針旋轉90°到AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，
∵∠E+∠CAE＝90°，
∴∠E+∠CBD＝90°，
∴∠AHB＝90°＝∠FAE，
∴AF∥BD；
（2）（2）∵S△ABD＝BD2，
∴BD?AH＝BD2，
∴AH＝BD＝，
∴BH垂直平分AE，
∴BA＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABE＝45°，
又∵BA＝BE，
∴∠AEC＝67.8°；
（3）如圖2，連接AG，過點G作GM⊥CE交CE延長線于M，
∵GM⊥CE，GN⊥AC，
∴四邊形CMGN是矩形，
∵AF＝AE，∠EAF＝90°，
∴AG＝GE，AG⊥EF，
∵∠CAG+∠ACM+∠CEG+∠AGE＝360°，
∴∠CAG+∠CEG＝180°，
∵∠CEG+∠GEM＝180°，
∴∠CAG＝∠GEM，
又∵∠ANG＝∠GME＝90°，
∴△ANG≌△EMG（AAS），
∴NG＝GM，
∴四邊形CMGN是正方形，
∴CG平分∠ACE，
∴點G在∠ACE的角平分線上運動，
∴當D從C運動到A點，G點所經(jīng)過的路徑是正方形ACMG的對角線的一半×AC＝．
【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．
25．（12分）已知拋物線y＝x2+1（如圖所示）．
（1）填空：拋物線的頂點坐標是（ 0 ， 1 ），對稱軸是 x＝0（或y軸） ；
（2）已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上．在平面內是否存在點N，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在請說明理由
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點坐標和對稱軸即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質求得PB＝4，將PB＝4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點的橫坐標，代入解析式即可求得P點的縱坐標；
（3）首先求得直線AP的解析式，然后設出點M的坐標，利用勾股定理表示出有關AP的長即可得到有關M點的橫坐標的方程，求得M的橫坐標后即可求得其縱坐標，
【解答】解：（1）頂點坐標是（0，1）．
（2）∵△PAB是等邊三角形，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．
∴AB＝20A＝6．
∴PB＝4．
解法一：把y＝4代入y＝x2+8，
得  x＝±2．
∴P5（2，7），P2（﹣2，4）．
解法二：∴OB＝＝2
∴P7（2，5）．
根據(jù)拋物線的對稱性，得P2（﹣2，4）．
（3）∵點A的坐標為（0，4），4）
∴設線段AP所在直線的解析式為y＝kx+b
∴
解得：
∴解析式為：y＝x+5
設存在點N使得OAMN是菱形，
∵點M在直線AP上，
∴設點M的坐標為：（m，m+5）
如圖，作MQ⊥y軸于點Q，AQ＝OQ﹣OA＝m
∵四邊形OAMN為菱形，
∴AM＝AO＝2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ8+MQ2＝AM2，
即：m3+（m）3＝22
解得：m＝±
代入直線AP的解析式求得y＝3或1，
當P點在拋物線的右支上時，分為兩種情況：
當N在右圖6位置時，
∵OA＝MN，
∴MN＝2，
又∵M點坐標為（，5），
∴N點坐標為（，1）6坐標為（，1）．
當N在右圖3位置時，
∵MN＝OA＝2，M點坐標為（﹣，
∴N點坐標為（﹣，﹣1）2坐標為（﹣，﹣1）．
當P點在拋物線的左支上時，分為兩種情況：
第一種是當點M在線段PA上時（PA內部）我們求出N點坐標為（﹣，3）；
第二種是當M點在PA的延長線上時（在第一象限）我們求出N點坐標為（，﹣1）
∴存在N6（，1），N4（﹣，﹣1）N8（﹣，1），N3（，﹣1）使得四邊形OAMN是菱形．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是仔細讀題，并能正確的將點的坐標轉化為線段的長，本題中所涉及的存在型問題更是近幾年中考的熱點問題．