一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。）
1．（3分）下列美術(shù)字中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）將拋物線y＝x2向左平移2個單位，所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝x2﹣2B．y＝x2+2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2
3．（3分）方程x（x﹣2）＝0的根為（ ）
A．x＝0B．x＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
4．（3分）已知二次函數(shù)y＝3（x﹣2）2+9對稱軸是（ ）
A．直線x＝2B．直線x＝﹣2C．直線x＝9D．直線x＝﹣9
5．（3分）如圖，點A、B、C、D、O都在方格紙的格點上，若△COD是由△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得，則旋轉(zhuǎn)的角度為（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
6．（3分）將二次函數(shù)y＝3x2﹣6x+1化成頂點式是（ ）
A．y＝3（x﹣3）2﹣26B．y＝3（x﹣3）2﹣8
C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x﹣1）2
7．（3分）下列方程中沒有實數(shù)根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0B．x2﹣2x+3＝0C．x2+2x+1＝0D．x2+4x＝0
8．（3分）在一次會議中，每兩人都握了一次手，共握手21次，設(shè)有x人參加會議，則可列方程為（ ）
A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21
C．D．
9．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y＝ax+c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）定義新運算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有兩個相等正實數(shù)根，且b*b＝a*a（其中a≠b），則a+b的值為（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（﹣2，6）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是 ．
12．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則代數(shù)式m2﹣m+2的值等于 ．
13．（3分）拋物線y＝﹣x2+6的頂點坐標(biāo)是 ．
14．（3分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE，若點D在線段BC的延長線上，則∠B的大小為 ．
15．（3分）某藥品原價每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒16元，則該藥品平均每次降價的百分率是 ．
16．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正確的是 ．
三、解答題（本大題共9個小題，滿分72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．（4分）解方程：x2﹣2x＝3．
18．（4分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求畫圖
（1）以A點為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AB1C1，畫出△AB1C1；
（2）作出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱的△A2B2C2．
19．（6分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）利用圖象的特點填空：
①當(dāng)x＝ 時，方程ax2+bx+c＝﹣4；
②不等式﹣4＜ax2+bx+c＜0的解集為 ．
20．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．
21．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（2，﹣3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝m．
（1）求m的值；
（2）設(shè)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范圍．
22．（10分）學(xué)校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42米，籬笆長80米．設(shè)垂直于墻的邊AB長為x米，平行于墻的邊BC為y米，圍成的矩形面積為S米2．
（1）求y與x，S與x的關(guān)系式．
（2）圍成的矩形花圃面積能否為750米2，若能，求出x的值．
（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．
23．（10分）如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出，球的飛行路線可以用二次函數(shù)y＝ax2+bx（a＜0）刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律如表：
（1）①m＝ ，n＝ ；
②小球的落點是A，求點A的坐標(biāo)．
（2）小球飛行高度y（米）與飛行時間t（秒）滿足關(guān)系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飛行的最大高度為 米；
②求v的值．
24．（12分）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：
【問題情境】
【問題解決】
上述問題情境中，“①”處應(yīng)填： ；“②”處應(yīng)填： ；“③”處應(yīng)填： ．
劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．
【知識遷移】
如圖3，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點．探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明．
【拓展應(yīng)用】
如圖4，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的數(shù)量關(guān)系： （直接寫出結(jié)論，不必證明）．
最后，劉老師總結(jié)到：希望同學(xué)們在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界．
25．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于A、C兩點，其中A（﹣1，0），C（4，0），與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連結(jié)BC，過點D作DE⊥BC于點E，延長DE與直線y＝﹣2交于點F，求DE的最大值及此時點D的坐標(biāo)；
（3）若將原拋物線繞原點O旋轉(zhuǎn)180°得到新的拋物線y′，P是新拋物線y′上的一個動點，H是直線y＝﹣2上的一個動點，在平面直角坐標(biāo)系上，是否存在一點K，使得四邊形OPKH為正方形？請直接寫出滿足條件的所有K的坐標(biāo)．
2024-2025學(xué)年廣東省廣州市仲元中學(xué)附屬學(xué)校九年級（上）期中
數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。）
1．（3分）下列美術(shù)字中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不合題意；
D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．故本選項符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．（3分）將拋物線y＝x2向左平移2個單位，所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝x2﹣2B．y＝x2+2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2
【分析】直接根據(jù)“左加右減”的原則進行解答即可．
【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y＝x2向左平移2個單位，所得拋物線的解析式為：y＝（x+2）2．
故選：C．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
3．（3分）方程x（x﹣2）＝0的根為（ ）
A．x＝0B．x＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
【分析】由x（x﹣2）＝0，即可得x＝0或x﹣2＝0，解此兩個一次方程即可求得答案．
【解答】解：∵x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故選：C．
【點評】此題考查了一元二次方程的解法．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意降冪思想的應(yīng)用．
4．（3分）已知二次函數(shù)y＝3（x﹣2）2+9對稱軸是（ ）
A．直線x＝2B．直線x＝﹣2C．直線x＝9D．直線x＝﹣9
【分析】根據(jù)題目中二次函數(shù)的頂點式，可以直接寫出該函數(shù)的對稱軸，本題得以解決．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝3（x﹣2）2+9，
∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝2，
故選：A．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
5．（3分）如圖，點A、B、C、D、O都在方格紙的格點上，若△COD是由△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得，則旋轉(zhuǎn)的角度為（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
【分析】△COD是由△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得，由圖可知，∠AOC為旋轉(zhuǎn)角，可利用△AOC的三邊關(guān)系解答．
【解答】解：如圖，設(shè)小方格的邊長為1，得，
OC＝＝，AO＝＝，AC＝4，
∵OC2+AO2＝+＝16，
AC2＝42＝16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°．
故選：C．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等，本題也可通過兩角互余的性質(zhì)解答．
6．（3分）將二次函數(shù)y＝3x2﹣6x+1化成頂點式是（ ）
A．y＝3（x﹣3）2﹣26B．y＝3（x﹣3）2﹣8
C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x﹣1）2
【分析】直接利用配方法將一般式化為頂點式即可．
【解答】解：y＝3x2﹣6x+1
＝3（x2﹣2x）+1
＝3（x﹣1）2﹣2．
故選：C．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的三種形式，正確應(yīng)用配方法是解題關(guān)鍵．
7．（3分）下列方程中沒有實數(shù)根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0B．x2﹣2x+3＝0C．x2+2x+1＝0D．x2+4x＝0
【分析】一元二次方程中，沒有實數(shù)根，即根的判別式Δ＝b2﹣4ac＜0．
【解答】解：A、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；
B、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8，∴方程沒有實數(shù)根；
C、∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴方程有兩個相等的實數(shù)根；
A、∵Δ＝42＝16，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．
8．（3分）在一次會議中，每兩人都握了一次手，共握手21次，設(shè)有x人參加會議，則可列方程為（ ）
A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21
C．D．
【分析】如果有x人參加了聚會，則每個人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每兩個人都握了一次手，因此要將重復(fù)計算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手21次”，據(jù)此可列出關(guān)于x的方程．
【解答】解：設(shè)x人參加這次聚會，則每個人需握手：x﹣1（次）；
依題意，可列方程為：＝21；
故選：D．
【點評】考查了由實際問題抽象出一元二次方程．理清題意，找對等量關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵；需注意的是本題中“每兩人都握了一次手”的條件，類似于球類比賽的單循環(huán)賽制．
9．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y＝ax+c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先由一次函數(shù)y＝ax+c圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象相比較看是否一致．
【解答】解：A、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，錯誤；
B、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，錯誤；
C、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，b＞0，錯誤；
D、由拋物線可知，a＜0，過點（0，c），由直線可知，a＜0，過點（0，c），正確．
故選：D．
【點評】主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
10．（3分）定義新運算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有兩個相等正實數(shù)根，且b*b＝a*a（其中a≠b），則a+b的值為（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，再利用方程有兩個相等的正實數(shù)解，所以m＝4，則a*b＝a（4﹣b）．利用新定義得到b（4﹣b）＝a（4﹣a），然后整理后利用因式分解得到（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，從而得到a+b的值．
【解答】解：∵方程x2﹣mx+4＝0有兩個相等實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×4＝0，
解得m1＝4，m2＝﹣4，
當(dāng)m＝﹣4時方程有兩個相等的負(fù)實數(shù)解，
∴m＝4，
∴a*b＝a（4﹣b），
∵b*b＝a*a，
∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）
整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，
（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，
而a≠b，
∴a+b﹣4＝0，
即a+b＝4．
故選：B．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（﹣2，6）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是 （2，﹣6） ．
【分析】直接利用兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y），進而得出答案．
【解答】解：點A（﹣2，6）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（2，﹣6）．
故答案為：（2，﹣6）．
【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號關(guān)系是解題關(guān)鍵．
12．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則代數(shù)式m2﹣m+2的值等于 4 ．
【分析】利用整體代入的思想解決問題即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴m2﹣m+2＝4．
故答案為：4．
【點評】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解方程解的定義．
13．（3分）拋物線y＝﹣x2+6的頂點坐標(biāo)是 （0，6） ．
【分析】已知解析式是拋物線的頂點式，根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點，直接寫出頂點坐標(biāo)．
【解答】解：因為y＝﹣x2+6是拋物線的頂點式，
根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，頂點坐標(biāo)為（0，6）．
故答案為（0，6）．
【點評】此題考查了二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)：拋物線y＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標(biāo)為（h，k）．
14．（3分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE，若點D在線段BC的延長線上，則∠B的大小為 40° ．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠B的度數(shù)，此題得解．
【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故答案為：40°．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）某藥品原價每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒16元，則該藥品平均每次降價的百分率是 20% ．
【分析】設(shè)該藥品平均每次降價的百分率為x，根據(jù)降價后的價格＝降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是25（1﹣x），第二次后的價格是25（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程求解．
【解答】解：設(shè)該藥品平均每次降價的百分率為x，
由題意可知經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒16元，
故25（1﹣x）2＝16，
解得x＝0.2或1.8（不合題意，舍去），
故該藥品平均每次降價的百分率為20%．
【點評】本題考查數(shù)量平均變化率問題．原來的數(shù)量（價格）為a，平均每次增長或降低的百分率為x的話，經(jīng)過第一次調(diào)整，就調(diào)整到a（1±x），再經(jīng)過第二次調(diào)整就是a（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增長用“+”，下降用“﹣”．
16．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正確的是 ①②③ ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象中的數(shù)據(jù)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立．
【解答】解：由圖象可得，
a＞0，b＜0，c＜0，
∴ab＜0，故①正確，符合題意；
圖象與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正確，符合題意；
當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＜0，故③正確，符合題意；
對稱軸為﹣＝1，則b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＜0，故④錯誤，不符合題意；
故答案為：①②③．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
三、解答題（本大題共9個小題，滿分72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．（4分）解方程：x2﹣2x＝3．
【分析】利用因式分解解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝3，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【點評】本題考查了一元二次方程的求解，利用十字相乘法是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求畫圖
（1）以A點為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AB1C1，畫出△AB1C1；
（2）作出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱的△A2B2C2．
【分析】（1）依據(jù)△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，即可得到△AB1C1；
（2）依據(jù)中心對稱的性質(zhì)進行作圖，即可得到△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱的△A2B2C2．
【解答】解：（1）△AB 1C 1如圖所示；
（2）△A 2B 2C 2如圖所示．
【點評】本題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)變換進行作圖，解題時注意：旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素有旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等．
19．（6分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）利用圖象的特點填空：
①當(dāng)x＝ 1 時，方程ax2+bx+c＝﹣4；
②不等式﹣4＜ax2+bx+c＜0的解集為 ﹣1＜x＜3且x≠1 ．
【分析】（1）設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+1）（x﹣3），然后把C點坐標(biāo)代入求出a即可；
（2）①先利用配方法得到y(tǒng)＝（x﹣1）2﹣4，則當(dāng)x＝1時，y有最小值﹣4；
②寫出函數(shù)圖象在x軸下方所對應(yīng)的自變量的范圍，并且自變量不取頂點的橫坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得﹣3＝a×1×（﹣3），
解得a＝1，
∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴當(dāng)x＝1時，y有最小值﹣4，
即x＝1時，方程ax2+bx+c＝﹣4
故答案為：1；
②不等式﹣4＜ax2+bx+c＜0的解集為﹣1＜x＜3且x≠1．
故答案為：﹣1＜x＜3且x≠1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解．也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和拋物線與x軸的交點．
20．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．
【分析】（1）作線段AC的垂直平分線交AC于O，連接BO，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）解：如圖所示，線段BO為AC邊上的中線；
（2）證明：∵點O是AC的中點，
∴AO＝CO，
∵將中線BO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，
∴BO＝DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，矩形的判定，中心對稱圖形，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（2，﹣3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝m．
（1）求m的值；
（2）設(shè)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范圍．
【分析】（1）把點P（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3（a＞0）可得b＝﹣2a，再利用拋物線的對稱軸公式可得答案；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝2，x2?x1＝﹣，結(jié)合x2﹣x1＝，4＜x2﹣x1＜6，再建立不等式組求解即可．
【解答】解：（1）∵點P（2，﹣3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴拋物線為：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴m＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，x2?x1＝﹣，
∵x2﹣x1＝，
∴x2﹣x1＝＝2，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴4＜2＜6即2＜＜3，
解得＜a＜1．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用各知識點建立方程或不等式組解題是關(guān)鍵．
22．（10分）學(xué)校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42米，籬笆長80米．設(shè)垂直于墻的邊AB長為x米，平行于墻的邊BC為y米，圍成的矩形面積為S米2．
（1）求y與x，S與x的關(guān)系式．
（2）圍成的矩形花圃面積能否為750米2，若能，求出x的值．
（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．
【分析】（1）依據(jù)題意，2x+y＝80，從而y＝﹣2x+80，再由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0，可得x的范圍，又S＝AB?BC＝x（﹣2x+80），進而可以得解；
（2）依據(jù)題意，令S＝﹣2x2+80x＝750，解方程即可判斷得解；
（3）依據(jù)題意，根據(jù)（1）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，從而依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷得解．
【解答】解：（1）由題意，2x+y＝80，
∴y＝﹣2x+80．
由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0，
∴19≤x＜40．
由題意，S＝AB?BC＝x（﹣2x+80），
∴S＝﹣2x2+80x（19≤x＜40）．
（2）由題意，令S＝﹣2x2+80x＝750，
∴x＝15（舍去）或x＝25．
答：當(dāng)x＝25時，圍成的矩形花圃的面積為750米2．
（3）由題意，根據(jù)（1）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
又∵﹣2＜0，且19≤x＜40，
∴當(dāng)x＝20時，S取最大值為800．
答：圍成的矩形花圃面積存在最大值，最大值為800米2，此時x的值為20．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出，球的飛行路線可以用二次函數(shù)y＝ax2+bx（a＜0）刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律如表：
（1）①m＝ 3 ，n＝ 6 ；
②小球的落點是A，求點A的坐標(biāo)．
（2）小球飛行高度y（米）與飛行時間t（秒）滿足關(guān)系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飛行的最大高度為 8 米；
②求v的值．
【分析】（1）①由拋物線的頂點坐標(biāo)為（4，8）可建立過于 a，b的二元一次方程組，求出a，b的值即可；
②聯(lián)立兩函數(shù)解析式求解，可求出交點A的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)第一問可知最大高度為8米；
②將小球飛行高度與飛行時間的函數(shù)關(guān)系式化簡為頂點式即可求得v值．
【解答】解：（1）①根據(jù)小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律表可知，
拋物線頂點坐標(biāo)為（4，8），
，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+4x，
當(dāng)y＝時，﹣x2+4x＝，
解得：x＝3或x＝5（舍去），
∴m＝3，
當(dāng)x＝6時，n＝y(tǒng)＝﹣62+4×6＝6，
故答案為：3，6．
②聯(lián)立得：，
解得：或，
∴點A的坐標(biāo)是（，）．
（2）①由題干可知小球飛行最大高度為8米，
故答案為：8．
②y＝﹣5t2+vt＝﹣5（t﹣）2+，
則＝8，
解得v＝4（負(fù)值舍去）．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，從圖象和表格中獲取數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：
【問題情境】
【問題解決】
上述問題情境中，“①”處應(yīng)填： △ADE≌△AD′E ；“②”處應(yīng)填： EC2+CD′2＝ED′2 ；“③”處應(yīng)填： 5 ．
劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．
【知識遷移】
如圖3，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點．探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明．
【拓展應(yīng)用】
如圖4，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的數(shù)量關(guān)系： 2BE2+2DF2＝EF2 （直接寫出結(jié)論，不必證明）．
最后，劉老師總結(jié)到：希望同學(xué)們在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界．
【分析】【問題解決】根據(jù)題中思路解答即可；
【知識遷移】如圖，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADF′．過點D作DH⊥BD交邊AF′于點H，連結(jié)NH．由旋轉(zhuǎn)的特征得AE＝AF′，BE＝DF′，∠BAE＝∠DAF′．結(jié)合題意得EF＝DF+BE＝DF+DF′＝F′F．證明△AEF≌AF′F，得出∠EAF＝∠F′AF．根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠ABD＝∠ADB＝45°．結(jié)合DH⊥BD，得出∠ADH＝∠HDB﹣∠ADB＝45°．證明△ABM≌△ADH，得出AM＝AH，BM＝DH．證明△AMN≌△AHN．得出MN＝HN．在Rt△HND中，根據(jù)勾股定理即可求解；
【拓展應(yīng)用】如圖所示，延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連接HM，HE．則△ADF≌△AGH．則DF＝GH，AG＝AD，AF＝AH，∠DAF＝∠HAG，根據(jù)∠EAF＝45°，證明△AEH≌△AEF，得出EF＝HE，過點H作HO⊥CB交CB于點O，過點H作HG⊥BM交BM于點M，則四邊形OHGB為矩形．得出OH＝BG，OB＝HG，證明△BME，△DNF，△CEF，△AMN是等腰直角三角形，得出GM＝DN＝DF＝HG，∠HME＝90°，在Rt△OHE中，根據(jù)勾股定理即可證明．
【解答】解：【問題解決】如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連結(jié)ED′．
由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°．
∵∠BAD＝∠CAD′，
∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．
∴∠DAE＝∠D′AE．
在△DAE和△D′AE中，
，
∴①△ADE≌△AD′E（SAS）．
∴DE＝D′E．
又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，
在Rt△ECD′中，②EC2+CD′2＝ED′2．
∵CD′＝BD＝3，CE＝4，
∴③，
故答案為：△ADE≌△AD′E；EC2+CD′2＝ED′2；5；
【知識遷移】DN2+BM2＝MN2；
證明：如圖3，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADF′．
過點D作DH⊥BD交邊AF′于點H，連結(jié)NH．
由旋轉(zhuǎn)的特征得AE＝AF′，BE＝DF′，∠BAE＝∠DAF′．
由題意得EF+EC+FC＝DC+BC＝DF+FC+EC+BE，
∴EF＝DF+BE＝DF+DF′＝F′F．
在△AEF和△AF′F中，
，
∴△AEF≌AF′F（SSS），
∴∠EAF＝∠F′AF．
又∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°．
∵DH⊥BD，
∴∠ADH＝∠HDB﹣∠ADB＝45°．
在△ABM和△ADH中，
，
∴△ABM≌△ADH（ASA），
∴AM＝AH，BM＝DH．
在△AMN和△AHN中，
，
∴△AMN≌△AHN（SAS）．
∴MN＝HN．
在Rt△HND中，DN2+DH2＝HN2，
∴DN2+BM2＝MN2．
（3）【拓展應(yīng)用】2BE2+2DF2＝EF2．
證明：如圖4，延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，
將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連接HM，HE．
則△ADF≌△AGH．
則DF＝GH，AG＝AD，AF＝AH，∠DAF＝∠HAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠HAE＝∠HAG+∠GAE＝∠DAF+∠GAE＝45°，
在△AEH和△AFE中，
，
∴△AEH≌△AEF（SAS），
∴EF＝HE，
過點H作HO⊥CB交CB于點O，過點H作HG⊥BM交BM于點M，則四邊形OHGB為矩形．
∴OH＝BG，OB＝HG，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠DFN＝∠DNF＝∠BME＝∠BEM＝45°，
∴△BME，△DNF，△CEF，△AMN是等腰直角三角形，
∴CE＝CF，BE＝BM，DN＝DF，AN＝AM，
∴AM﹣AG＝AN﹣AD，
∴GM＝DN＝DF＝HG，
∴∠HMG＝45°，
∴∠HME＝45°+45°＝90°，
在Rt△OHE中，OE2+OH2＝HE2，（OB+BE）2+BG2＝EH2，
∴（GH+BE）2+BG2＝EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2＝EH2，
又∴EF＝HE，DF＝GH＝GM，BE＝BM，
∴（GH+BE）2+（BE﹣GH）2＝EF2，
即2（DF2+BE2）＝EF2．
【點評】本題是四邊形的綜合題，考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用旋轉(zhuǎn)變換作圖，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
25．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于A、C兩點，其中A（﹣1，0），C（4，0），與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連結(jié)BC，過點D作DE⊥BC于點E，延長DE與直線y＝﹣2交于點F，求DE的最大值及此時點D的坐標(biāo)；
（3）若將原拋物線繞原點O旋轉(zhuǎn)180°得到新的拋物線y′，P是新拋物線y′上的一個動點，H是直線y＝﹣2上的一個動點，在平面直角坐標(biāo)系上，是否存在一點K，使得四邊形OPKH為正方形？請直接寫出滿足條件的所有K的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)題意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx+4，即可求解；
（2）證明DM＝DF，得到DF+DE＝DG+DM＝﹣m2+4m﹣m2+3m+6＝﹣2m2+7m+6＝﹣2（m﹣）2+，即可求解；
（3）證明△PON≌△HOM（AAS），得到PN＝HM＝2，ON＝OM．則P點的坐標(biāo)為（2，6）或（﹣2，﹣6），H（6，﹣2），再分類求解即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx+4，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4；
（2）過點D作DM⊥直線y＝﹣2于M，交直線BC于G，
∴DM∥y軸，
∴∠DGE＝∠OBC，
∵拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A、C兩點，其中A（﹣1，0），與y軸交于點B．
令y＝0，則0＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣1，x2＝4，令x＝0，則y＝4，
∴B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠DGE＝∠OBC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDG＝∠DGE＝45°，
∴DE＝EG，
∴DG＝DE，
∵DM⊥直線y＝﹣2，
∴∠EDG＝∠DFM＝45°，
∴DM＝DF，
由點B、C的坐標(biāo)得，直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
設(shè)直線DM交x軸于N，D（m，﹣m2+3m+4），則G（m，﹣m+4），M （m，﹣2），
∴DG＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣2）＝﹣m2+3m+6，
∴DF+DE＝DG+DM＝﹣m2+4m﹣m2+3m+6＝﹣2m2+7m+6＝﹣2（m﹣）2+，
∴DF+DE的最大值為，此時點D的坐標(biāo)為（，）；
（3）如圖，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)得拋物線y'過點（0，﹣4），（1，0），（﹣4，0），
∴y'＝x2+3x﹣4，
設(shè)P（n，n2+3n﹣4），
∵四邊形OPKH為正方形，
∴OP⊥OH，OP＝OH，
∴∠PON+∠NOH＝90°，
過點H作HM⊥x軸于M，過點P作PN⊥y軸于N，
∴∠PNO＝∠HMO＝90°，
∴∠HOM+∠NOH＝90°，
∴∠PON＝∠HOM，
∴△PON≌△HOM（AAS），
∴PN＝HM＝2，ON＝OM．
∴n＝±2，
∴P點的坐標(biāo)為（2，6）或（﹣2，﹣6），H（6，﹣2），
①當(dāng)P點的坐標(biāo)為（2，6）時，
∵O（0，0），P（2，6），H（6，﹣2），四邊形OPKH為正方形，
∴點K的坐標(biāo)為（8，4）；
②當(dāng)P點的坐標(biāo)為（﹣2，﹣6）時，
∵O（0，0），P（2，6），H（6，﹣2），四邊形OPKH為正方形，
∴點K的坐標(biāo)為（4，﹣8）；
綜上，存在，點K的坐標(biāo)為（8，4）或（4，﹣8）．
【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標(biāo)和相關(guān)線段長度是解題的關(guān)鍵．
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…
如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E在邊BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的長．
解：如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連結(jié)ED′．
由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°．
∵∠BAD＝∠CAD′，
∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．
∴∠DAE＝∠D′AE．
在△DAE和△D′AE中，
AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，
∴①_____．
∴DE＝D′E．
又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，
∴在Rt△ECD′中，②_____．
∵CD′＝BD＝3，CE＝4，
∴DE＝D′E＝③_____．
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…
如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E在邊BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的長．
解：如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連結(jié)ED′．
由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°．
∵∠BAD＝∠CAD′，
∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．
∴∠DAE＝∠D′AE．
在△DAE和△D′AE中，
AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，
∴①_____．
∴DE＝D′E．
又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，
∴在Rt△ECD′中，②_____．
∵CD′＝BD＝3，CE＝4，
∴DE＝D′E＝③_____．

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2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)仲元中學(xué)附屬學(xué)校九年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)仲元中學(xué)附屬學(xué)校九年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析），共20頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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