廣東省廣州市天河區(qū)大觀學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程的是（）
A．2x+y＝2B．x+y2＝0C．2x（2﹣x）＝1D．
2．（3分）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）矩形ABCD的對角線長為5，邊AB的長是方程x2﹣7x+12＝0的一個根，則該矩形的面積為（）
A．6B．12C．6或12D．8或12
4．（3分）將二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的圖象向上平移4個單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式是（）
A．y＝（x+5）2﹣2B．y＝（x﹣3）2﹣2
C．y＝（x+1）2﹣6D．y＝（x+1）2+2
5．（3分）一元二次方程4x2﹣4x+1＝0根的情況是（）
A．有兩個相等的實數(shù)根
B．有兩個不相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根
D．無法確定
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使點B的對應(yīng)點E恰好落在邊AC上，點A的對應(yīng)點為D，延長DE交AB于點F，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A．AE＝ECB．AB＝CDC．∠B＝∠DD．∠AEF＝∠B
7．（3分）拋物線y＝x2﹣2圖象與y軸交點的坐標(biāo)是（）
A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）
8．（3分）某地2018年為做好“精準扶貧”，投入資金1480萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2020年在2018年的基礎(chǔ)上增加投入資金2000萬元．若設(shè)從2018年到2020年該地投入異地安置資金的年平均增長率為x，則下列方程正確的是（）
A．1480（1+x）2＝2000
B．1480（1+2x）＝3480
C．1480（1+x）2＝3480
D．1480（1+x）+1480（1+x）2＝3480
9．（3分）如圖，在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+c與一次函數(shù)y＝ax+c的圖象大致是（）
A．B．
C．D．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，0），∠OAB＝120°，AB＝AO，且點B在第一象限內(nèi)，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2024次旋轉(zhuǎn)后，點B的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍．
12．（3分）已知x1，x2為一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，那么x12+x22＝．
13．（3分）已知函數(shù)y＝x2﹣x﹣3在平面直角坐標(biāo)系中與x軸的一個交點為（m，0），則代數(shù)式2m2﹣2m+2019的值為．
14．（3分）若等腰三角形的一邊長是4，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2﹣6x+n＝0的兩個根，則n的值為．
15．（3分）如圖，C為線段AB的中點，D為AB垂直平分線上一點，連接BD，將BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接AE，若AB＝2，AE＝4，則CD的長為．
16．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④點（﹣3，y1），（1，y2）都在拋物線上，則有y1＞y2．其中正確的結(jié)論是．
三．解答題（共9小題，滿分72分）
17．（6分）解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
18．（6分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α，得到△ADE，點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上．且點A、B、E在同一條直線上．
（1）求證：DA平分∠BDE；
（2）若AC⊥DE，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．
19．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（2，0），C（1，2），D（3，3）．
（1）作出△ABC繞點D旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C1；
（2）作出點B1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點E；
（3）在y軸上存在點P，使得|PE﹣PB1|最大，直接寫出點P的坐標(biāo)．
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有兩個實數(shù)根，求n的取值范圍．
21．（8分）樂奇童裝店在服裝銷售中發(fā)現(xiàn)：進貨價每件60元，銷售價每件100元的某童裝平均每天可售出20件．為了慶祝國慶節(jié)，童裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）童裝店降價前每天銷售該童裝可盈利多少元？
（2）如果童裝店想每天銷售這種童裝盈利1200元，同時又要讓顧客得到更多的實惠，每件童裝應(yīng)降價多少元？
22．（8分）已知拋物線L：y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是直線x＝2，交y軸于（0，4a）．
（1）求拋物線的頂點坐標(biāo)；
（2）直線y＝kx﹣2k+4（k≠0）與拋物線L相交A，B兩點（A在B的左側(cè)），拋物線L的頂點記為點C；
①若點A的橫坐標(biāo)為1，△ABC的面積為10，求a的值；
②過點A作AE⊥x軸，垂足為E，延長AE交直線BC于F，求線段EF的長．
23．（8分）閱讀下面的材料：
老師出了一道家庭作業(yè)題，題目是：已知關(guān)于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0的兩根為x1，x2，且+＝136，求正數(shù)m的值．
小玉的解法如下：
解：∵x1+x2＝4m﹣8，x1x2＝4m2，又∵+＝（x1+x2）2﹣2x1x2，∴（4m﹣8）2﹣2×4m2＝136，解得m1＝﹣1，m2＝9．
問題：
小玉的解法對嗎？如果不對，她錯在哪里？應(yīng)如何改正？
24．（10分）如圖1，點E是正方形ABCD外的一點，以DE為邊構(gòu)造正方DEFG，點M是△ADE邊AE上的動點，點N是△CDG的邊CG上的動點．
（1）證明：△ADE≌△CDG；
（2）如圖（1）：當(dāng)DM和DN分別是△ADE和△CDG的中線時，試猜想DM和DN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
類比猜想：
小亮解決完上述問題后，進行了積極的思考，他認為：在（2）問中，當(dāng)DM、DN分別是△ADE和△CDG的高（如圖2），其他條件不變時，問題（2）的結(jié)論依然成立．請你說明小亮的觀點是否正確，并說明理由．
感悟發(fā)現(xiàn)：
小惠認為：在問題（2）中，當(dāng)DM⊥AD，DN⊥CD時，問題（2）的結(jié)論依然成立．請你思考：
1）小惠的說法是否正確？答：．（填寫“正確”或“不正確”，不需要證明）
2）思考上面的探究過程，當(dāng)DM和DN還滿足什么條件（其他條件不變）時，使得（2）中的結(jié)論依然成立？請直接寫出DM、DN滿足的條件（寫出一個即可，不要求證明）．
25．（12分）已知拋物線．
（1）若此拋物線與x軸只有一個公共點且過點．
①求此拋物線的解析式；
②直線y2＝﹣x+k與該拋物線交于點A（﹣2，m）和點B．若y1＜y2，求x的取值范圍．
（2）若a＞0，將此拋物線向上平移c個單位（c＞0）得到新拋物線y3，當(dāng)x＝c時，y3＝0；當(dāng)0＜x＜c時，y3＞0．試比較ac與1的大小，并說明理由．
廣東省廣州市天河區(qū)大觀學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．解：A．方程2x+y＝2是二元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
B．方程x+y2＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
C．方程2x（2﹣x）＝1是一元二次方程，故本選項符合題意；
D．方程x+＝7不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
故選：C．
2．解：A、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；
B、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、圖形是中心對稱圖形，符合題意；
D、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：C．
3．解：∵邊AB的長是方程x2﹣7x+12＝0的一個根，
x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
當(dāng)AB＝3時，利用勾股定理可求得相鄰的邊為＝4，此時矩形ABCD的面積為3×4＝12；
當(dāng)AB＝4時，利用勾股定理可求得相鄰的邊為＝3，此時矩形ABCD的面積為3×4＝12；
故選：B．
4．解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的圖象向上平移4個單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式是y＝（x+1）2﹣2+4，即y＝（x+1）2+2．
故選：D．
5．解：Δ＝16﹣4×1×4＝0，
故選：A．
6．解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠CED，∠A＝∠D，
∴∠AEF＝∠CED＝∠B，
故選：D．
7．解：令x＝0，得y＝﹣2，
故與y軸的交點坐標(biāo)是：（0，﹣2）．
故選：C．
8．解：依題意得：1480（1+x）2＝1480+2000，
即1480（1+x）2＝3480．
故選：C．
9．解：A、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，不一致；
B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，不一致；
都過點（0，c），正確；
C、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＜0，不交于y軸同一點，不一致；
D、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＞0，都過點（0，c），一致；
故選：D．
10．解：由題知，
過點B作x軸的垂線，垂足為H，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAH＝60°．
又∵A（2，0），且AB＝AO，
∴AB＝AO＝2．
在Rt△ABH中，
∵∠ABH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴BH＝，
∴OB＝2BH＝，
∴點B的坐標(biāo)為（3，）．
將OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，得線段OM，
∵∠BOA＝，
∴∠MOA＝60°﹣30°＝30°，
又∵OB＝OM，
∴點M和點B關(guān)于x軸對稱，
∴點M的坐標(biāo)為（3，﹣）．
依次類推，
再旋轉(zhuǎn)60°時，點N的坐標(biāo)為（0，）；
再旋轉(zhuǎn)60°時，點P與點B關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，
∴點P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣）；
再旋轉(zhuǎn)60°，點B對應(yīng)點的坐標(biāo)為（﹣3，）；
再旋轉(zhuǎn)60°，點B對應(yīng)點的坐標(biāo)為（0，）；
再旋轉(zhuǎn)60°，點B對應(yīng)點的坐標(biāo)為（3，）；
再旋轉(zhuǎn)60°，點B對應(yīng)點的坐標(biāo)為（3，﹣）；
…，
由此可見，點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)按（3，﹣），（0，﹣2），（﹣3，﹣），（﹣3，），（0，），（3，）循環(huán)出現(xiàn)，
又因為2024÷6＝337余2，
所以第2024次旋轉(zhuǎn)后點B對應(yīng)點的坐標(biāo)為（0，）．
故選：B．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．解：由題意得：x﹣1≥0，x﹣3≠0，
解得：x≥1且x≠3，
故答案為：x≥1且x≠3．
12．解：∵x1，x2為一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣，x1?x2＝＝﹣．
∵x12+x22＝﹣2x1?x2，
∴x12+x22＝﹣2×（﹣）＝．
故答案為：．
13．解：拋物線y＝x2﹣x﹣3與x軸的一個交點為（m，0），
∴m2﹣m﹣3＝0，
即：m2﹣m＝3．
∴2m2﹣2m+2019
＝2（m2﹣m）+2019
＝6+2019
＝2025．
故答案為：2025．
14．解：當(dāng)4為腰長時，將x＝4代入x2﹣6x+n＝0，得：42﹣6×4+n＝0，
解得：n＝8，
當(dāng)n＝8時，原方程為x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵2+4＞4，
∴n＝8符合題意；
當(dāng)4為底邊長時，關(guān)于x的方程x2﹣6x+n＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×n＝0，
解得：n＝9，
當(dāng)n＝9時，原方程為x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
∵3+3＝6＞4，
∴n＝9符合題意．
∴n的值為8或9．
故答案為：8或9．
15．解：連接AD，過D作DF⊥AE于F，延長BA交DF的延長線于H，
∵D為AB垂直平分線上一點，AB＝2，
∴BD＝AD，AC＝AB＝，
∴∠ADC＝ADB，
∵將BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，
∴DE＝BD，
∴DE＝AD，
∴∠ADF＝ADE，AF＝AE＝2，
∴∠HDC＝∠ADF+∠ADC＝BDE＝30°，
∵∠HCD＝∠AFH＝90°，
∴∠H＝60°，
∴∠CDH＝30°，AH＝，
∴CH＝AH+AC＝，
∴CD＝CH＝7，
故答案為：7．
16．解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵﹣＜0，
∴b＞0，
∵拋物線交y軸于負半軸，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正確，
∵﹣＞﹣1，a＞0，
∴b＜2a，
∴2a﹣b＞0，故②錯誤，
∵x＝1時，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∵x＝﹣1時，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∴b2＞（a+c）2，故③正確，
∵點（﹣3，y1），（1，y2）都在拋物線上，
觀察圖象可知y1＞y2，故④正確．
故答案為①③④．
三．解答題（共9小題，滿分72分）
17．解：（1）∵3x2﹣7x﹣10＝0，
∴（x+1）（3x﹣10）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝．
（2）方程整理得，x2+4x﹣12＝0，
∴（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣6．
18．（1）證明：如圖：
由旋轉(zhuǎn)得：∠1＝∠B，AD＝AB，
∴∠2＝∠B，
∴∠1＝∠2，
∴DA平分∠EDB；
（2）解：如圖，設(shè)AC與DE交于點O，
由旋轉(zhuǎn)得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，
∵AC⊥DE，
∴∠AOE＝90°，
∴∠C＝∠E＝90°﹣∠4＝90°﹣α，
∵AB＝AD，
∴∠2＝∠B＝＝＝90°﹣α，
∵∠4是△ABC的一個外角，
∴∠4＝∠B+∠C，
∴α＝90°﹣α+90°﹣α，
解得：α＝72°，
∴旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為72°．
19．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求作．
（2）如圖，點E即為所求作．
（3）如圖，點P即為所求作．
∵E（7，7），B1（4，6），
設(shè)直線EB1的解析式為y＝kx+b，
則有，
解得，
∴直線EB1的解析式為y＝x+，
∴P（0，）．
20．解：根據(jù)題意得Δ＝22﹣4×[﹣（n﹣1）]≥0，
解得n≥0．
21．解：（1）根據(jù)題意得：（100﹣60）×20
＝40×20
＝800（元）．
答：童裝店降價前每天銷售該童裝可盈利800元；
（2）設(shè)每件童裝降價x元，則每件的銷售利潤為（100﹣x﹣60）元，平均每天可售出（20+2x）件，
根據(jù)題意得：（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵要讓顧客得到更多的實惠，
∴x＝20．
答：每件童裝應(yīng)降價20元．
22．解：（1）∵拋物線L：y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是直線x＝2，交y軸于（0，4a），
∴﹣＝2，c＝4a，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+4a＝a（x﹣2）2，
∴拋物線的頂點為（2，0）；
（2）①過點D作DM∥y軸，交直線AB于M，
∵D（2，0），
∴M的橫坐標(biāo)為2，
把x＝2代入y＝kx﹣2k+4得，y＝4，
∴DM＝4，
∵△ABC的面積為10，
∴×4?（xB﹣xA）＝10，
∴xB﹣xA＝5，
∵點A的橫坐標(biāo)為1，
∴點B的橫坐標(biāo)為6，
∴A（1，﹣k+4），B（6，4k+4），
把A、B的坐標(biāo)代入y＝a（x﹣2）2，得，
解得a＝1；
②聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式成方程組，得：，
解得：，，
∴點A的坐標(biāo)為（，），點B的坐標(biāo)為（，+4）．
∵點C的坐標(biāo)為（2，0）．
∴直線BC的解析式為y＝x﹣k﹣．
∵過點A作AE⊥x軸，垂足為E，與直線BD交于點F，
∴點E的坐標(biāo)為（，0），點F的坐標(biāo)為（，﹣4），
∴EF＝4．
23．解：小玉的解法不正確．理由如下：
解出的m值中，m＝9時，Δ＝b2﹣4ac＜0，應(yīng)舍去．
m是正數(shù)，因此m＝﹣1也應(yīng)舍去．
綜上，m的值不存在．
24．（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝DG，
∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS）；
（2）解：DM＝DN，DM⊥DN，理由如下：
由（1）得：△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG，AE＝CG，
∵DM和DN分別是△ADE和△CDG的中線，
∴AM＝AE，CN＝CG，
∴AM＝CN，
又∵AD＝CD，
∴△ADM≌△CDN（SAS），
∴DM＝DN，∠ADM＝∠CDN，
∴∠MDC+∠CDN＝∠MDC+∠ADM＝∠ADC＝90°，
∴DM⊥DN；
類比猜想：
解：小亮的觀點正確，理由如下：
由（1）得：△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG，AE＝CG，
∵DM和DN分別是△ADE和△CDG的高，
∴∠AMD＝∠CND＝90°，
又∵AD＝CD，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴DM＝DN，∠ADM＝∠CDN，
∴∠MDC+∠CDN＝∠MDC+∠ADM＝∠ADC＝90°，
∴DM⊥DN；
感悟發(fā)現(xiàn)：
解：1）小惠的說法正確，理由如下：
當(dāng)DM⊥AD，DN⊥CD時，如圖4所示：
則∠ADM＝∠CDN＝90°，
∴DM⊥DN，
由開頭（1）得：△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAM＝∠DCN，
又∵AD＝CD，
∴△ADM≌△CDN（ASA），
∴DM＝DN；
故答案為：正確；
2）當(dāng)DM、DN分別是△ADE和△CDG的角平分線時，問題（2）中的結(jié)論依然成立，如圖3，理由如下：
同1）得：△ADM≌△CDN（ASA），
∴DM＝DN，∠ADM＝∠CDN，
∴∠MDC+∠CDN＝∠MDC+∠ADM＝∠ADC＝90°，
∴DM⊥DN．
25．解：（1）①∵拋物線與x軸只有一個公共點，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2＝0，
∴b＝0，
又∵拋物線過點．
∴a＝﹣，
∴拋物線的解析式y(tǒng)1＝﹣x2；
②當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣×（﹣2）2＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣2），
∴﹣2＝2+k，
∴k＝﹣4，
∴y2＝﹣x﹣4，
聯(lián)立方程組，
解得或，
∴A（﹣2，﹣2），B（4，﹣8），
∴當(dāng)y1＜y2時，x＜﹣2或x＞4；
（2）ac≤1，理由：
由題知a＞0，將此拋物線y＝ax2+bx向上平移c個單位（c＞0），
其解析式為y＝ax2+bx+c，且過點（c，0），
∴ac2+bc+c＝0，
∴ac+b+1＝0，
∴﹣b＝ac+1，
且當(dāng)x＝0時，y＝c，
對稱軸：x＝﹣，拋物線開口向上，畫草圖如右所示．
由題知，當(dāng)0＜x＜c時，y＞0．
∴﹣≥c，
∴﹣b≥2ac，
∴ac+1≥2ac，
∴ac≤1；

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多