A．x﹣1＝2xB．x+2y＝1C．D．x2﹣6＝7x
2．（3分）下列圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若a、b是菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個(gè)根，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為（ ）
A．4B．5C．D．10
4．（3分）將拋物線y＝2x2先向下平移4個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位，得到的新拋物線的解析式為（ ）
A．y＝2（x+4）2+5B．y＝2（x﹣4）2+5
C．y＝2（x+5）2﹣4D．y＝2（x﹣5）2+4
5．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
6．（3分）如圖，在△ABC中，以C為中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，邊ED，AC相交于點(diǎn)F，若∠A＝30°，則∠EFC的度數(shù)為（ ）
A．60°B．65°C．72.5°D．115°
7．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+2x+2，若點(diǎn)，都在該拋物線上，則y1，y2，y3大小關(guān)系為（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
8．（3分）由于疫情得到緩和，餐飲行業(yè)逐漸回暖，某家餐廳重新開(kāi)張，開(kāi)業(yè)第一天收入約為3020元，之后兩天的收入按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，第三天收入約為4350元．設(shè)每天的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A．3020（1﹣x）2＝4350B．3020（1+2x）＝4350
C．3020（1+x）2＝4350D．3020（1﹣2x）＝4350
9．（3分）當(dāng)ab＜0時(shí)，y＝ax+b與y＝ax2的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，AO＝AB，∠OAB＝120°，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2021次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
二．填空題（共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分）
11．（3分）若函數(shù)，則自變量x的取值范圍是 ．
12．（3分）若關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根為﹣1，則另一個(gè)根為 ．
13．（3分）如圖，拋物線y＝x2﹣2mx+2m﹣1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)右側(cè)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，m的值為 ．
14．（3分）等腰三角形的一邊為9，另兩邊恰好是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+9＝0的兩根，則k的值是 ．
15．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AED，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D，AE垂直平分CD于點(diǎn)F，則旋轉(zhuǎn)角度是 °．
16．（3分）在直角坐標(biāo)系中，已知線段MN的端點(diǎn)是M（﹣1，2），N（2，2），若拋物線y＝ax2﹣x+2（a≠0）與線段MN有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．
三．解答題（共9小題，滿(mǎn)分72分）
17．（6分）解下列方程：
（1）（x+1）（x﹣2）＝x+1；
（2）2x2+5x＝3．
18．（6分）如圖，在△ABC中，∠B＝70°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)52°得到△A′B′C′，且AB⊥A'C于點(diǎn)D，求∠A′CB′的度數(shù)．
19．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，0）、B（﹣3，3）、C（﹣4，﹣1）．（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）
（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；
（2）畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；
（3）寫(xiě)出△A1B1C1經(jīng)過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)可直接得到△A2B2C2．
（請(qǐng)將（1）（2）小問(wèn)的圖都作在所給圖中）
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若該方程有一實(shí)數(shù)根大于2，求a的取值范圍．
21．（8分）康輝旅行社推出了一則紅色旅游促銷(xiāo)廣告如下：
我社推出去廣安小平故里紅色旅游，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：
①組團(tuán)人數(shù)不超過(guò)30人，人均收費(fèi)800元；
②組團(tuán)人數(shù)超過(guò)30人，每增加1人，人均收費(fèi)降低10元．但人均收費(fèi)不得低于500元．
在“不忘初心，牢記使命”主題教育活動(dòng)期間，某單位決定分批組織全體職工參觀學(xué)習(xí)，緬懷改革開(kāi)放的總設(shè)計(jì)師鄧小平同志．
（1）如果該單位第一批組織40人去參觀學(xué)習(xí)，則公司應(yīng)向旅行社交費(fèi)多少元？
（2）如果該單位計(jì)劃用29250元組織第一批職工去學(xué)習(xí)，問(wèn)這次參觀學(xué)習(xí)應(yīng)安排多少人參加？
22．（8分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實(shí)數(shù)根，求下列各式的值：
（1）（x1+4）（x2+4）；
（2）x12+x2﹣3．
23．（8分）【閱讀材料1】
為解方程（x2）2﹣5x2+4＝0，我們可以將x2看作一個(gè)整體，然后設(shè)y＝x2，那么原方程可化為y2﹣5y+4＝0，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
們將上述解題的方法叫換元法．
【閱讀材料2】
已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，顯然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：
（1）直接應(yīng)用：
為解方程x4﹣x2﹣6＝0，可設(shè)y＝ ，原方程可化為 ．
經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是 ．
（2）間接應(yīng)用：
已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a4﹣3a2+1＝0，b4﹣3b2+1＝0，且a≠b，求a4+b4的值．
24．（10分）“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．我們一起來(lái)動(dòng)手、動(dòng)腦玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)吧．
折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AE，AF，連接EF，如圖1．
（1）∠EAF＝ °
轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點(diǎn)P，Q，連接PQ，如圖2．
（2）證明：PQ＝BP+DQ；
（3）若正方形的邊長(zhǎng)為6，PQ＝5且DQ＜CQ，求BP的長(zhǎng)．
25．（12分）已知拋物線G：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+1．
（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求拋物線G的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：隨著m的變化，拋物線G的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；
（3）已知點(diǎn)A（3，2），B（3，4），當(dāng)拋物線G與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．
廣東省廣州市天河區(qū)新昌學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）
1． 解：A．方程x﹣1＝2x是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．方程x+2y＝1是二元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．方程＝3是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．方程x2﹣6＝7x是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
2． 解：A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
3． 解：解方程x2﹣14x+48＝0，得x＝6或8，
所以菱形ABCD的對(duì)角線為6和8，
設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于O，
所以AC⊥BD，AO＝OC＝4，OB＝OD＝3，
由勾股定理得：AB＝BC＝CD＝AD＝＝＝5，
即菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5．
故選：B．
4． 解：將拋物線y＝2x2向下平移4個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位所得直線解析式為：y＝2（x+5）2﹣4．
故選：C．
5． 解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，
∴，
∴a＝1．
故選：C．
6． 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝35°，
∴∠EFC＝∠A+∠DCF＝30°+35°＝65°；
故選：B．
7． 解：∵y＝﹣x2+2x+2，
∴a＝﹣1，b＝2，c＝2，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x＝﹣＝﹣＝1，
∵，
∵且二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向向下自變量距離對(duì)稱(chēng)軸越近函數(shù)值越大，
∴y1＜y3＜y2．
故選：C．
8． 解：依題意得：3020（1+x）2＝4350．
故選：C．
9． 解：根據(jù)題意，ab＜0，
當(dāng)a＞0時(shí)，b＜0，y＝ax2開(kāi)口向上，過(guò)原點(diǎn)，y＝ax+b過(guò)一、三、四象限；
此時(shí)，D選項(xiàng)符合，
當(dāng)a＜0時(shí)，b＞0，y＝ax2開(kāi)口向下，過(guò)原點(diǎn)，y＝ax+b過(guò)一、二、四象限；
此時(shí)，沒(méi)有選項(xiàng)符合．
故選：D．
10． 解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥y軸于H．
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝3，
∴AH＝AB?cs60°＝，BH＝AH＝，
∵∠BOH＝30°，
∴OB＝2BH＝3，B（，3），
由題意B1（﹣，3），B2（﹣3，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（3，0），…，6次一個(gè)循環(huán)，
∵2021÷6＝336…5，
∴B2021（3，0），
故選：A．
二．填空題（共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分）
11． 解：若函數(shù)有意義，則x≠0．
故答案為：x≠0．
12． 解：設(shè)關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0的兩根分別為m、n，
由已知得：，
解得：n＝﹣2．
故答案為：﹣2．
13． 解：設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB＝|x2﹣x1|，
令y＝0得x2﹣2mx+2m﹣1＝0，
∴x1+x2＝2m，x1?x2＝2m﹣1，則|x2﹣x1|2＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2，
由拋物線y＝x2﹣2mx+2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）2得頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（m，﹣（m﹣1）2），
拋物線的對(duì)稱(chēng)性知△ABP為等腰直角三角形，
∴|x2﹣x1|＝2（m﹣1）2
即4（m﹣1）2＝4（m﹣1）4．
解得：m＝2或m＝0或m＝l．
∵拋物線y＝x2﹣2mx+2m﹣1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)右側(cè)，
∴2m＞0且m≠1且2m﹣1＞0，即m＞且m≠1，
∴m＝2．
故答案為：2．
14． 解：設(shè)x2﹣kx+9＝0的兩個(gè)根分別為x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝9，
∵等腰三角形的一邊長(zhǎng)為9，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣kx+9＝0的兩根，
∴x1＝9，x2＝1或x1＝x2＝3，
當(dāng)x1＝9，x2＝1時(shí)，三邊為9，9，1，滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)k＝10；
當(dāng)x1＝x2＝3時(shí)，三邊為9，3，3，不滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系，舍去；
∴k＝10，
故答案為：10．
15． 解：∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AED，∠BAC＝20°
∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，
∵AE垂直平分CD于點(diǎn)F，
∴∠DAE＝∠CAE＝20°，
∴∠DAC＝20°+20°＝40°，
即旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是40°，
故答案為：40．
16． 解：如圖，MN∥x軸，與y軸交于P．OP＝2，PM＝1，PN＝2，
由ax2﹣x+2＝2，得ax2﹣x＝0，△＝1＞0．
拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線．
當(dāng)a＜0時(shí)，．
∴a≤﹣1．
當(dāng)a＞0時(shí)，x＝≤1，
∴a≥，
綜上，滿(mǎn)足條件的a的值為a≤﹣1或．
三．解答題（共9小題，滿(mǎn)分72分）
17． 解：（1）（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3；
（2）2x2+5x﹣3＝0，
∴（2x﹣1）（x+3）＝0，
∴2x﹣1＝0或x+3＝0，
∴x1＝，x2＝﹣3．
18． 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠B＝∠B′＝70°，∠ACA′＝52°，
∵AB⊥A'C，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣70°＝20°．
∴∠B′CA′＝∠DCB′+∠ACA′＝72°，
故∠A'CB'的度數(shù)為72°．
19． 解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；點(diǎn)C1的坐標(biāo)（4，1）；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求；點(diǎn)B2的坐標(biāo)（﹣3，﹣3）；
（3）△A1B1C1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2．
20． （1）證明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×（a﹣1）＝（a﹣2）2≥0，
∴無(wú)論a為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1，x2，
解方程得x＝，
∴x1＝a﹣1，x2＝1．
由題意可知a﹣1＞2，即a＞3．
∴a的取值范圍為a＞3．
21． 解：（1）[800﹣10×（40﹣30）]×40
＝[800﹣10×10]×40
＝[800﹣100]×40
＝700×40
＝28000（元）．
答：公司應(yīng)向旅行社交費(fèi)28000元．
（2）設(shè)這次參觀學(xué)習(xí)應(yīng)安排x人參加，則人均費(fèi)用為800﹣10×（x﹣30）＝（1100﹣10x）元，
依題意得：（1100﹣10x）x＝29250，
整理得：x2﹣110x+2925＝0，
解得：x1＝45，x2＝65．
當(dāng)x＝45時(shí)，1100﹣10x＝1100﹣10×45＝650＞500，符合題意；
當(dāng)x＝65時(shí)，1100﹣10x＝1100﹣10×65＝450＜500，不符合題意，舍去．
答：這次參觀學(xué)習(xí)應(yīng)安排45人參加．
22． 解：根據(jù)題意，得x1+x2＝1，x1?x2＝﹣4．
（1）（x1+4）（x2+4）
＝x1?x2+4（x1+x2）+16
＝﹣4+4×1+16
＝16；
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實(shí)數(shù)根，
∴x12﹣x1﹣4＝0，
∴x12＝x1+4．
∴x12+x2﹣3
＝x1+4+x2﹣3
＝（x1+x2）+1
＝1+1
＝2．
23． 解：（1）為解方程x4﹣x2﹣6＝0，可設(shè)y＝x2，原方程可化為y2﹣y﹣6＝0，
分解因式得：（y﹣3）（y+2）＝0，
解得：y＝3或y＝﹣2，
當(dāng)y＝3時(shí)，x2＝3，解得：x＝±；
當(dāng)y＝﹣3時(shí)，x2＝﹣3，無(wú)解，舍去，
經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是x＝±；
故答案為：x2，y2﹣y﹣6＝0，x＝±；
（2）實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a4﹣3a2+1＝0，b4﹣3b2+1＝0，且a≠b，顯然a2，b2是方程x2﹣3x+1＝0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
由韋達(dá)定理可知a2+b2＝3，a2?b2＝1，
則a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝9﹣2＝7．
24． （1）解：由翻折的性質(zhì)可知：∠DAF＝∠FAC，∠BAE＝∠EAC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAD＝∠DAF+∠FAC+∠BAE+∠EAC，
∴∠BAD＝2（∠FAC+∠EAC），
∵∠EAF＝∠FAC+∠EAC，
∴∠EAF＝∠BAD＝×90°＝45°．
故答案為：45；
（2）證明：如圖2中，延長(zhǎng)CB到T，使得BT＝DQ．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝AD，∠ABT＝∠ADQ＝90°，BT＝DQ，
∴△ABT≌△ADQ（SAS），
∴AT＝AQ，∠BAT＝∠DAQ，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PT＝PQ，
∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，
∴PQ＝BP+DQ；
（3）解：∵BC＝CD＝6，PQ＝5，
∴PC＝6﹣BP，
∵PQ＝BP+DQ，
∴DQ＝5﹣BP，
∴CQ＝CD﹣DQ＝1+BP，
在Rt△PQC中，PC2+CQ2＝PQ2，
即（6﹣BP）2+（1+BP）2＝52，
解得BP＝2或BP＝3，
當(dāng)BP＝2時(shí)，DQ＝5﹣2＝3，CQ＝3＝DQ（不符合題意，舍去），
當(dāng)BP＝3時(shí)，DQ＝5﹣3＝2，CQ＝6﹣2＝4，
∴DQ＜CQ，
∴BP＝3．
25． 解：（1）當(dāng)m＝1時(shí)，則拋物線G：y＝﹣x2+2x+1，
∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，求拋物線G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
（2）∵拋物線G：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+1＝﹣（x﹣m）2+m+1，
∴拋物線G頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+1），
∴x＝m，y＝m+1，
∴y﹣x＝m+1﹣m＝1，
∴y＝x+1，
∴這個(gè)函數(shù)關(guān)系式為y＝x+1；
（3）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)A（3，2）時(shí)，
﹣9+6m﹣m2+m+1＝2，
∴m＝5或2．
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)B（3，4）時(shí)，
﹣9+6m﹣m2+m+1＝4，
∴m＝3或4．
∴當(dāng)2≤m≤3或4≤m≤5時(shí)，拋物線與線段AB有交點(diǎn)．

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