一、單選題
1．過(guò) 兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的范圍即可得出結(jié)果.
【詳解】由已知直線的斜率為 ，
所以傾斜角．
故選：D.
2．已知點(diǎn)，且是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】結(jié)合橢圓的定義求得的最小值
【詳解】，
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，
，
當(dāng)在的正上方時(shí)，等號(hào)成立.
故選：D
3．過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．無(wú)數(shù)條
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，當(dāng)直線與軸平行和過(guò)點(diǎn)有且僅有一條切線，即可求解.
【詳解】由題意，拋物線方程，點(diǎn)恰好再拋物線上，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)直線與軸平行時(shí)，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意；
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)有且僅有一條切線，滿足與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線只有2條.
故選：B.
4．三棱錐中，平面，為直角三角形，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)線段垂直關(guān)系，將三棱錐置于長(zhǎng)方體中，根據(jù)各棱長(zhǎng)可求得其外接球的半徑，即可求得其外接球的表面積．
【詳解】由于三棱錐中，平面ABC，，，
故將該三棱錐置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如下圖所示：
則體對(duì)角線即為外接球的直徑，
所以，
故三棱錐的外接球表面積為．
故選：D
5．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線E的兩條漸近線的夾角為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】先根據(jù)離心率求出，進(jìn)而可得漸近線的斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系可得漸近線的夾角.
【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，解得，
則雙曲線
此時(shí)漸近線的斜率為，所以漸近線的傾斜角為和，
所以雙曲線E的兩條漸近線的夾角為；
當(dāng)，即時(shí)，，解得，
則雙曲線
此時(shí)漸近線的斜率為，所以漸近線的傾斜角為和，
所以雙曲線E的兩條漸近線的夾角為；
故選：B.
6．已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差整理可得弦所在直線的斜率，寫出直線方程的點(diǎn)斜式，化為一般式得答案．
【詳解】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，
則，
①﹣②得：，
即，
所以．
故以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y，
整理得：.
故選：C.
7．已知點(diǎn)M（0，4），點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線和圓的幾何性質(zhì)分析取最小值時(shí)，就是取得最大，設(shè)點(diǎn)代入求解.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，該點(diǎn)就是的圓心，設(shè)，
要使最小，則取得最大，
的最小值即的最小值，令
即 ，
當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí).
故選：C
8．如圖所示，，是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿足，與的左支的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】在和中，由正弦定理結(jié)合條件得到，設(shè)（），由雙曲線的定義和勾股定理得到，結(jié)合即可求解.
【詳解】在中，由正弦定理得：①，
在中，由正弦定理得：②，
又，則，
所以得：，
又，則，即；
設(shè)（），由雙曲線的定義得：，，，
由得：，解得：，
所以，，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，即雙曲線的離心率，
故選：C.
二、多選題
9．已知直線，，，以下結(jié)論正確的是（ ）.
A．不論a為何值時(shí)，與都互相垂直；
B．當(dāng)，與x軸的交點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為
C．不論a為何值時(shí)，與都關(guān)于直線對(duì)稱
D．如果與交于點(diǎn)M，則的最大值是
【答案】AD
【分析】對(duì)A，根據(jù)直線方程可判斷；對(duì)B，可直接求出交點(diǎn)A可判斷；對(duì)C，取特殊的點(diǎn)代入即可判斷；對(duì)D，聯(lián)立直線求出交點(diǎn)即可表示出即可求出最值.
【詳解】對(duì)于A，恒成立，l1與l2互相垂直恒成立，故A正確；
對(duì)于B，與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在l1上任取點(diǎn)，關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入l2：x＋ay＋1＝0，則左邊不等于0，故C不正確；
對(duì)于D，聯(lián)立，解得，即，
所以，所以的最大值是，故D正確.
故選：AD.
10．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8
B．橢圓上不存在點(diǎn)，使得
C．直線與橢圓恒有公共點(diǎn)
D．為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為3
【答案】ACD
【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A正確；結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)直線恒過(guò)定點(diǎn)以及點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系可知點(diǎn)在橢圓內(nèi)，由此可判斷C正確；結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可判斷D正確.
【詳解】解：
對(duì)于A選項(xiàng)：由橢圓的定義：
的周長(zhǎng)為：，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：設(shè)，則，，
，
，解得
橢圓上存在點(diǎn)，使得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)：直線恒過(guò)定點(diǎn)
，故該定點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過(guò)該定點(diǎn)的直線和橢圓一定有交點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)，則P點(diǎn)到圓的圓心的距離
，故
，故D正確.
故選：ACD
11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)為的中點(diǎn)
B．三棱錐的體積為
C．直線與平面所成的角的正弦值為
D．過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面，所得截面的面積是
【答案】ABC
【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到點(diǎn)為的中點(diǎn)；
B選項(xiàng)，求出點(diǎn)到平面EFG的距離，利用余弦定理及三角形面積公式得到，得到三棱錐的體積；
C選項(xiàng)，利用空間向量求解線面角的大?。?br>D選項(xiàng)，作出輔助線得到過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面為正六邊形，得到其面積即可.
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面EFG的法向量為，
則，
令，則，故，
A選項(xiàng)，設(shè)，則，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，即，
解得：，
故，故，
，
所以，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，A正確；
設(shè)點(diǎn)到平面EFG的距離為d，
則，
又，，，
即，
由余弦定理得：，
故，則，
由三角形面積公式可得：，
故三棱錐的體積為，B正確；
，設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為，C正確；
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
則過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長(zhǎng)為，
正六邊形的面積為
則截面面積為，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（ ）
A．直線的斜率為B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；
對(duì)于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．在線段上運(yùn)動(dòng)，已知，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】表示線段上的點(diǎn)與連線的斜率，畫出圖形，結(jié)合圖形求解即可
【詳解】表示線段上的點(diǎn)與連線的斜率，
因?yàn)?br>所以由圖可知的取值范圍是．
故答案為：
14．已知圓：，圓：，、分別是圓，上動(dòng)點(diǎn)是軸上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 .
【答案】/
【分析】由兩圓方程寫出圓心、半徑，進(jìn)而判斷兩圓的位置關(guān)系，再根據(jù)圓的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為兩圓上動(dòng)點(diǎn)的距離最大問(wèn)題，即可得答案.
【詳解】由題設(shè)，且半徑，且半徑，
所以，即圓包含圓，
又、分別是圓，上動(dòng)點(diǎn)是軸上動(dòng)點(diǎn)，
要使的最大，共線且在的兩側(cè)，
所以.
故答案為：
15．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，其一條漸近線傾斜角為，若點(diǎn)P在雙曲線上，且，則 ．
【答案】13
【分析】根據(jù)漸近線的傾斜角可得，再根據(jù)雙曲線的定義求解即可
【詳解】由題意，，故，雙曲線，，因?yàn)樾∮诘接翼旤c(diǎn)的距離，故在雙曲線的左支上，由雙曲線的定義可得，解得
故答案為：13
16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).平面區(qū)域W由所有滿足的點(diǎn)P組成，則四面體的體積的取值范圍 .
【答案】
【分析】連接，由線面垂直的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出，即可得到以為圓心2為半徑的圓面上，再根據(jù)得到當(dāng)在邊上時(shí)四面體的體積最大，當(dāng)在邊的中點(diǎn)時(shí)四面體的體積最小，再根據(jù)面體的體積公式計(jì)算可得取值范圍.
【詳解】連接，如圖所示，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>∵，由，，則；
所以在以為圓心2為半徑的圓面上，由題意可知，，
所以當(dāng)在邊上時(shí)，四面體的體積的最大值是.
所以當(dāng)在邊的中點(diǎn)時(shí)，的面積取得最小值，此時(shí)，
所以四面體的體積的最小值是，所以，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
求解三棱錐體積的最值問(wèn)題，要找準(zhǔn)突破口，也即是按三棱錐的體積公式，
通常會(huì)有以下兩種：
①如果底面積固定，則通過(guò)找高的最值來(lái)進(jìn)行求解；
②如果高已知確定，則求底面積的最值來(lái)進(jìn)行求解（如本題）.
四、解答題
17．已知圓M的圓心在直線上，圓M與y軸相切，且圓M截x軸正半軸所得弦長(zhǎng)為．
(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l交圓M于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為，求直線l的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，解出圓心、半徑即可得解；
（2）利用圓心距，半徑求出弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，根據(jù)面積建立方程求解k即可得解.
【詳解】（1）設(shè)圓M的圓心，半徑為r，則由已知可得，
所以，所以圓的方程為．
（2）根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為，
則圓心M到直線l的距離，則，
又由，則P到直線l的距離，
若的面積為，則有，
解可得：，則直線l的方程為．
18．直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；
（2）利用空間向量法可求得直線與平面夾角的正弦值；
（3）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.
【詳解】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、、、，則，
易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，
平面，故平面.
（2）解：，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，.
因此，直線與平面夾角的正弦值為.
（3）解：，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，則，
因此，平面與平面夾角的余弦值為.
19．已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與拋物線交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義可求出的值，從而可求出拋物線的方程，
（2）設(shè)，將直線方程代入橢圓方程中消去，整理利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合列方程可求出，從而可得直線方程
【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，
所以，解得，
所以拋物線方程為
（2）拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，
由，得，
由，得，
，
因?yàn)?，，?br>所以，
所以，
所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，得，
所以直線的方程為，即
20．已知橢圓C：（）右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，M是直線上一點(diǎn)，且直線軸.
(1)求橢圓C的方程：
(2)記直線與橢圓另一交點(diǎn)為Q，直線是否過(guò)x軸上一定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)：若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)；
(2)過(guò)定點(diǎn)N.
【分析】（1）根據(jù)，由，得到，再根據(jù)的周長(zhǎng)為求解；
（2），設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，得到直線QM的方程為，令，得，結(jié)合韋達(dá)定理求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，且，
所以，即，
又，，
解得，
所以橢圓方程為；
（2），易知直線PQ斜率為0時(shí)，QM為x軸，
則若QM過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)位于x軸上，
當(dāng)直線PQ斜率不為0時(shí)，設(shè)，
與橢圓方程聯(lián)立，得，
設(shè)，
則，
，
所以直線QM的方程為，
令，得，
因?yàn)椋?br>所以，
故直線QM過(guò)定點(diǎn)N.
21．如圖1，在平面四邊形PDCB中，，，，.將沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如圖2所示.
(1)設(shè)平面SDC與平面SAB的交線為l，求證：BC⊥l；
(2)點(diǎn)Q在線段SC上（點(diǎn)Q不與端點(diǎn)重合），平面QBD與平面BCD夾角的余弦值為，求線段BQ的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）由題可得平面，進(jìn)而證得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式列出方程，即可求解.
【詳解】（1）依題意，，
因?yàn)?，所以?br>由于平面平面ABCD，且交線為AB，平面ABCD，
所以平面SAB，
因?yàn)閘是平面SDC與平面SAB的交線，
所以平面SAB，
故.
（2）由上可知，平面SAB，所以，
由題意可知，，
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB，AS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，
設(shè)，則，，
設(shè)是平面QBD的一個(gè)法向量，
則，令，可得
由于是平面CBD的一個(gè)法向量，
依題意，二面角的余弦值為，
所以，
解得，
此時(shí)，，
即線段BQ的長(zhǎng)為.
22．已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的兩條漸近線分別為和.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)雙曲線C的左?右焦點(diǎn)分別為?，過(guò)左焦點(diǎn)作直線l交雙曲線的左支于A?B兩點(diǎn)，求周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為，代入坐標(biāo)可得答案；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得A?B的坐標(biāo)及的周長(zhǎng)；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，的周長(zhǎng)利用韋達(dá)定理得到，設(shè)，根據(jù)的范圍可得答案.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為，
代入點(diǎn)，得，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）雙曲線C的左焦點(diǎn)為，
設(shè)?，
①若直線l的斜率不存在，則，得A?B的坐標(biāo)分別為和，
此時(shí)的周長(zhǎng)為.
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，
由得，
因?yàn)橹本€l交雙曲線的左支于A?B兩點(diǎn)，
所以，
得
設(shè)的周長(zhǎng)為z，
，
設(shè)，由，得，
，，
所以，
綜上，由①②可得的周長(zhǎng)的取值范圍.

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