一、單選題
1．（2022春·甘肅白銀·八年級統(tǒng)考期末）下列等式從左到右的變形是因式分解的是( )
A．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1
B．（2x+3）（2x﹣3y）＝4x2﹣9y2
C．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
D．x2+6x+9＝（x+3）2
2．（2022秋·甘肅武威·八年級統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（ ）
A．a(chǎn)2+1＝a（a+1）B．
C．a(chǎn)2+a﹣5＝（a﹣2）（a+3）+1D．
3．（2022秋·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）已知a-b=2，a=3，則等于（ ）
A．1B．4C．5D．6
4．（2022秋·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）如果，那么代數(shù)式的值為（ ）
A．14B．10C．7D．6
5．（2022秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）下列運算錯誤的是（ ）
A．B．C．D．（a≠0）
6．（2022春·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）若實數(shù)、滿足，，則的值是（ ）
A．-2B．2C．-50D．50
7．（2022春·甘肅張掖·八年級期末）下列多項式中能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022春·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）下列多項式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．C．D．
9．（2022秋·甘肅天水·八年級統(tǒng)考期末）在探索因式分解的公式時，可以借助幾何圖形來解釋某些公式．如圖，從左圖到右圖的變化過程中，解釋的因式分解公式是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022秋·甘肅金昌·八年級期末）下列因式分解正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022秋·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）小明是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：分別對應(yīng)下列六個字：西，愛，我，數(shù)，學(xué)，定．現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（ ）
A．我愛定西B．愛定西C．我愛學(xué)D．定西數(shù)學(xué)
二、填空題
12．（2022春·甘肅張掖·八年級期末）已知a?b=3，ab=2，則的值為 ．
13．（2022春·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）若實數(shù)x滿足，則 ．
14．（2022秋·甘肅天水·八年級期末）分解因式 ．
15．（2022秋·甘肅武威·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：x－x＝ .
16．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壠谀┓纸庖蚴剑?5x2﹣16y2＝ ．
17．（2022秋·甘肅慶陽·八年級期末）分解因式： ．
18．（2022秋·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）若，則的值為 ．
19．（2022春·甘肅張掖·八年級期末）分解因式a2－10a＋25的結(jié)果是 ．
20．（2022春·甘肅張掖·八年級期末）分解因式：＝ ．
三、解答題
21．（2022秋·甘肅金昌·八年級期末）已知，．
求：（1）的值；
（2）的值．
22．（2022秋·甘肅慶陽·八年級期末）因式分解：
(1)
(2)
23．（2022秋·甘肅武威·八年級期末）分解因式：
(1)；
(2)．
24．（2022春·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）張明和李曉一起將一個二次三項式分解因式，張明因看錯了一次項系數(shù)而分解成，李明因看錯了常數(shù)項而分解成，那么請你將原多項式寫出來，并將因式分解正確的結(jié)果寫出來．
25．（2022秋·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）我們在課堂上學(xué)習(xí)了運用提取公因式法、公式法等分解因式的方法，但單一運用這些方法分解某些多項式的因式時往往無法分解．例如，通過觀察可知，多項式的前三項符合完全平方公式，通過變形后可以與第四項結(jié)合再運用平方差公式分解因式，解題過程如下：，我們把這種分解因式的方法叫做分組分解法．利用這種分解因式的方法解答下列各題：
(1)分解因式：．
(2)若三邊滿足，試判斷的形狀，并說明理由．
26．（2022春·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解（也叫作分解因式）．它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具．
把分解因式．該因式只有兩項，而且屬于平方和的形式，要使用公式就必須添一項，再將此項減去，即可得
．這種方法叫填項法．
任務(wù)：
請你仿照上面的做法，將下列各式分解因式．
(1)；
(2)．
27．（2022春·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．
28．（2022秋·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）把下列多項式分解因式．
(1)；
(2)．
29．（2022秋·甘肅武威·八年級期末）分解因式：
(1)；
(2)．
30．（2022秋·甘肅金昌·八年級期末）因式分解：
(1)
(2)
31．（2022秋·甘肅天水·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：
(1)
(2)
32．（2022春·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與思考：
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式因式分解．
例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：這個式子的常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
請仿照上面的方法，解答下列問題：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
33．（2022春·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：
由多項式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 請用上述方法分解因式：
(1)x2-3x-4；
(2)x2-7x+12．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)因式分解的定義，即可求解．
【詳解】解：A、等式從左到右的變形不是因式分解，故本選項不符合題意；
B、等式從左到右的變形是整式乘法，故本選項不符合題意；
C、等式從左到右的變形不是因式分解，故本選項不符合題意；
D、等式從左到右的變形是因式分解，故本選項符合題意；
故選：D
【點睛】本題主要考查了因式分解的定義，熟練掌握把一個多項式變形為幾個整式乘積的形式的過程叫做因式分解是集體的關(guān)鍵．
2．D
【分析】根據(jù)因式分解的定義嚴格判斷即可．
【詳解】∵+1≠a（a+1）
∴A分解不正確；
∵，不是因式分解，
∴B不符合題意；
∵（a﹣2）（a+3）+1含有加法運算，
∴C不符合題意；
∵，
∴D分解正確；
故選D．
【點睛】本題考查了因式分解，即把一個多項式寫成幾個因式的積，熟練進行因式分解是解題的關(guān)鍵．
3．D
【分析】將原式因式分解可得：，再整體代入計算即可．
【詳解】解：∵，a-b=2，a=3，
∴原式，
故選：D．
【點睛】本題考查因式分解以及代數(shù)式求值，掌握提公因式法因式分解和整體代入思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】先去括號，再合并同類項，然后把代入，即可求解．
【詳解】解：



∵，
∴原式．
故選：B
【點睛】本題主要考查了整式的四則混合運算，因式分解，熟練掌握整式的四則混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
5．A
【分析】根據(jù)積的乘方法則，同底數(shù)冪的乘除法法則，提取公因式分解因式，即可判斷．
【詳解】解：A. ，故該選項錯誤，符合題意；
B. ，故該選項正確，不符合題意；
C. ，故該選項正確，不符合題意；
D. （a≠0），故該選項正確，不符合題意，
故選A．
【點睛】本題主要考查積的乘方法則，同底數(shù)冪的乘除法法則，提取公因式分解因式，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
6．A
【分析】利用提取公因式法對已知等式進行化簡，然后代入求值即可得．
【詳解】，
，
，
，
解得，
故選：A．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，對已知等式正確進行因式分解是解題關(guān)鍵．
7．A
【分析】根據(jù)能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．
【詳解】解：A、，能用平方差公式因式分解，故A符合題意；
B、，用提取公因式法因式分解，故B不符合題意；
C、，不能用平方差公式因式分解，故C不符合題意；
D、，不能用平方差公式因式分解，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題主要考查了平方差公式分解因式，關(guān)鍵是正確把握平方差公式的特點：．
8．C
【分析】能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反，根據(jù)平方差公式分解因式的特點進行分析即可．
【詳解】A.能用平方差公式因式分解，故不符合題意；
B. 能用平方差公式因式分解，故不符合題意；
C. 不能用平方差公式因式分解，故符合題意；
D. 能用平方差公式因式分解，故不符合題意；
故選擇：C
【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，關(guān)鍵是掌握平方差公式分解因式的特點．
9．B
【分析】由面積相等列式可得答案．
【詳解】解：從左圖到右圖的變化過程中，由面積相等可得，
故選：B．
【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，利用兩個圖形的面積相等列式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
10．D
【分析】利用提取公因式法、完全平方公式逐項進行因式分解即可．
【詳解】解：
A、原式 = ，故本選項不符合題意；
B、原式 = ，故本選項不符合題意；
C、原式 = ，故本選項不符合題意；
D、原式 = ，故本選項符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．
11．A
【分析】先提取公因式，再根據(jù)平方差公式對這個多項式進行因式分解，從而得到呈現(xiàn)的密碼信息．
【詳解】解：2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）
＝2（a2﹣1）（x﹣y）
＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y）
＝2（x﹣y）（a+1）（a﹣1），
結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛定西，
故選：A．
【點睛】本題考查了因式分解﹣分組分解法，一定要注意把每一個多項式分解到不能再分解為止．
12．6
【分析】將提取公因式ab，再將，代入進行計算求解．
【詳解】解：∵，，
∴


．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，理解提取公因式法是解答關(guān)鍵．
13．2022
【分析】將x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入計算可求解．
【詳解】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x?x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
故答案為：2022
【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，適當?shù)倪M行因式分解，整體代入是解題的關(guān)鍵．
14．
【分析】直接提取公因式m，進而分解因式得出答案．
【詳解】解：
=m（m+6）．
故答案為：m（m+6）．
【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
15．x(x-1)
【分析】確定公因式是x，然后提取公因式即可．
【詳解】解：x2-x=x（x-1）．
故答案為：x(x-1).
16．/
【分析】利用平方差公式計算即可．
【詳解】解：原式==，
故答案為：．
【點睛】本題考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特征是解題的關(guān)鍵．
17．
【分析】根據(jù)完全平方公式的特點：兩項平方項的符號相同，另一項是兩底數(shù)積的兩倍，本題可以用完全平方公式．
【詳解】原式．
故答案為：．
【點睛】本題根據(jù)完全平方公式法進行因式分解，能熟練掌握用完全平方公式法進行因式分解的式子的特點需熟練掌握．
18．1
【分析】根據(jù)因式分解的應(yīng)用即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，本題的解題關(guān)鍵是，把代入即可得出答案．
19．（a－5）2
【分析】直接用完全平方公式進行因式分解即可.
【詳解】a2－10a＋25=（a－5）2
故答案為：（a－5）2.
【點睛】此題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
20．
【分析】先提取公因式2，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了分解因式，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式．
21．（1）48；（2）52
【分析】（1）原式提取公因式，將已知等式代入計算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式變形后，將各自的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：（1）∵，．
∴；
（2）∵，．
∴．
【點睛】此題考查了因式分解，完全平方公式變形，代數(shù)式求值，熟練掌握因式分解方法，完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
22．(1)
(2)
【分析】（1），，再運用平方差公式進行因式分解即可；
（2）將轉(zhuǎn)換成，再提取公因式即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
.
【點睛】本題主要考查了運用提取公因式法和公式法進行因式分解，正確計算是解答本題的關(guān)鍵．
23．(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式進行因式分解即可；
（2）用平方差公式進行因式分解即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法：提公因式法與公式法是解題的關(guān)鍵．
24．
【分析】分別計算出兩個式子的原式，一次項從第二個式子中取，常數(shù)從第一個式子中取，即可得到原多項式．
【詳解】∵，
，
∴原多項式為，
∴．
【點睛】本題考查多項式的乘法和因式分解，解題的關(guān)鍵是是熟練掌握多項式的乘法法則和因式分解的方法．
25．(1)
(2)等腰三角形，見解析
【分析】（1）先分組，再利用完全平方公式和平方差公式繼續(xù)分解即可；
（2）先把所給等式左邊利用分組分解法得到，由于，則，即，然后根據(jù)等腰三角形的判定方法進行解題．
【詳解】（1）解：原式；
（2）的為等腰三角形．
理由：，
，
是等腰三角形．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定、因式分解的應(yīng)用等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
26．(1)
(2)
【分析】（1）原式仿照題意添一項，再減去，利用乘法公式分解因式即可；
（2）仿照題意求解即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解題的關(guān)鍵．
27．
【分析】利用平方差公式先將原式進行分解因式得到，再提取公因式2即可得到答案．
【詳解】解：
．
【點睛】本題主要考查了分解因式，正確利用平方差公式將原式分解成是解題的關(guān)鍵．
28．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再用公式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再用公式法分解因式即可．
【詳解】（1）解：

；
（2）解：

．
【點睛】本題主要考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
29．(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式3x，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式3y，再利用完全平方公式因式分解即可；
（1）
解：原式=
=；
（2）
解：原式=
=．
【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
30．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式xy，再利用平方差公式分解因式求解即可；
（2）先提公因式-4x，再利用完全平方公式分解因式求解即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【點睛】本題考查提公因式法和公式法分解因式，熟記公式，正確求解是解答關(guān)鍵．
31．(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式x，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解；
（2）先提取公因式x，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．
【詳解】（1）解：原式
（2）解：原式
【點睛】此題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解．注意一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
32．(1)
(2)±2，±7
(3)
【分析】（1）仿照例題的方法，這個式子的常數(shù)項?18＝?9×2，一次項系數(shù)7＝?2＋9，然后進行分解即可；
（2）仿照例題的方法，這個式子的常數(shù)項，然后進行計算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例題的方法，這個式子的常數(shù)項，一次項系數(shù)，然后進行分解計算即可．
【詳解】（1）解：＋7x?18
＝＋（?2＋9）x＋（?2）×9
＝（x?2）（x＋9）
故答案為：（x?2）（x＋9）．
（2）解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是：±2，±7．
故答案為：±2，±7．
（3）解：?6x+8＝0，
（x?2）（x-4）＝0，
（x?2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
【點睛】本題考查了因式分解?十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解題的關(guān)鍵．
33．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)-4=1×(?4)，1-4=-3即可分解因式；
（2）根據(jù)-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式．
【詳解】（1）解：x2?3x?4
=x2+(1-4)x+1×(?4)
=(x+1)(x?4)；
（2）解：x2?7x+12
=x2+(?3?4)x+(?3)×(?4)
=(x?3)(x?4)．
【點睛】本題考查了十字相乘法，解題的關(guān)鍵是把常數(shù)項拆成兩個數(shù)的積，而兩個數(shù)的和正好等于一次項的系數(shù)．

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