冀教版八年級上冊數(shù)學第十七章特殊三角形（B卷）含解析答案-試卷下載-教習網(wǎng)

第十七章?特殊三角形（B卷）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 1．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（????） A．3，4，7 B．7，24，25 C．，， D．3，-4，5 2．用反證法證明命題“在三角形中，至少有一個內(nèi)角大于或等于60°”時，第一步應(yīng)先假設(shè)（????） A．三角形中有一個內(nèi)角小于 B．三角形中有一個內(nèi)角大于 C．三角形的三個內(nèi)角都小于 D．三角形的三個內(nèi)角都大于 3．如圖，是等邊三角形，為中線，，若，則的長為（????） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如圖，在中，點D是上的點，，將沿翻折得到，若，則等于（　　） A． B． C． D． 5．如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（　?。? A． B． C． D． 6．如圖，中，，．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．使點的對應(yīng)點恰好落在邊上，則的度數(shù)是（　?。? A． B． C． D． 7．如圖，已知中，，在直線BC或射線AC取一點P，使得是等腰三角形，則符合條件的點P有（????） A．2個 B．4個 C．5個 D．7個 8．如圖，在中，，，點為邊上一點，過點A作交延長線于點，若滿足，那么的度數(shù)為（） A． B． C． D． 9．如圖，在第1個中，，；在邊上任取一點，延長到，使，得到第2個；在邊上任取一點，延長到，使，得到第3個，…按此做法繼續(xù)下去，則第2021個三角形中以為頂點的底角度數(shù)是（?。? A． B． C． D． 10．如圖，等腰中，，，于點，的平分線分別交、于、兩點，為的中點，的延長線交于點，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③；④；⑤，其中正確結(jié)論有（　　） A．個 B．個 C．個 D．個 11．如圖，點是的內(nèi)角和外角的兩條角平分線的交點，過點作，交于點，交于點，若，則線段的長度為． 12．如圖，中，，以為邊作等邊，過D作，交延長線于E，若，則______________． 13．如圖，AB，BC，CD，DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點A，C，E共線．若cm，，則 cm2． 14．如圖，是邊長為2的等邊三角形，直線經(jīng)過頂點，且與邊平行，在直線上有一點，當?shù)闹禐? 時，使得． 15．已知，M是邊OA上的一個定點，且，N、P分別是邊、上的動點，則的最小值是． 16．如圖，是等邊三角形，為的中點，點在線段上，連接，以為邊在的右下方作等邊，的延長線交于，連，當點在線段上（不與，重合）運動時： ①與互補；②；③是定值；④是定值．以上結(jié)論中正確的有． 17．如圖，中，，垂直平分，交于點，交于點，且． (1)若，則_________； (2)若周長，，求的長． 18．如圖，在等腰直角三角形中，，是斜邊上任一點，于，交的延長線于，于，交于．求證： (1)； (2)． 19．如圖，在ΔABC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，DG⊥CE，垂足為G． (1)求證：CD=AB； (2)若∠AEC=66°，求∠BCE的度數(shù)． 20．如圖，中，，，點O在邊上運動（O不與B、C重合），點D在線段上，連結(jié)，．點O運動時，始終滿足． (1)當時，判斷的形狀并說明理由； (2)當?shù)淖钚≈禐?時，此時； (3)在點O的運動過程中，的形狀是等腰三角形時，求此時的度數(shù)． 21．【問題提出】如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點P，，，，求的度數(shù)． (1)【嘗試解決】將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形． ∵，，， ∴ ∴為三角形 ∴的度數(shù)為． (2)【類比探究】如圖2，在等邊三角形ABC外部有一點P，若∠BPA＝30°，求證． (3)【聯(lián)想拓展】如圖3，在中，，．點P在直線上方且，，求的長． 22．如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線運動．設(shè)點P的運動時間為t秒． (1)求斜邊的長和斜邊上的高的長． (2)當點P在上時． ①用含t的代數(shù)式表示的長為； ②若點P在的角平分線上，求t的值． (3)在整個運動過程中，直接寫出是等腰三角形時t的值． 23．如圖a，圓柱的底面半徑為，圓柱高為，是底面直徑，求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設(shè)計了兩條路線：路線1：高線＋底面直徑，如圖a所示，設(shè)長度為．路線2：側(cè)面展開圖中的線段，如圖b所示，設(shè)長度為． (1)你認為小明設(shè)計的哪條路線較短？請說明理由； (2)小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為，高為”繼續(xù)按前面的路線進行計算．（結(jié)果保留） ①此時，路線1的長度，路線2的長度； ②所以選擇哪條路線較短？試說明理由．評卷人得分一、單選題評卷人得分二、填空題評卷人得分三、解答題評卷人得分四、計算題參考答案： 1．B 【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義(凡是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù).)及勾股定理的逆定理計算判斷即可．【詳解】A.因為,所以3，4，7不是勾股數(shù)； B.因為,所以7，24，25是勾股數(shù)； C.因為,所以，，不是勾股數(shù)； D.因為勾股數(shù)不能為負數(shù)，所以3，-4，5不是勾股數(shù)；故選B．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，靈活運用平方差公式計算是解題的關(guān)鍵． 2．C 【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進行判斷．【詳解】解：用反證法證明命題“三角形中至少有一個角大于或等于60°”時，第一步應(yīng)假設(shè)這個三角形中三個內(nèi)角內(nèi)角都小于60°，故選：C．【點睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確． 3．C 【分析】根據(jù)等邊三角形及為中線，可得：,,再根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)可得出，，即可得出答案．【詳解】解：在等邊三角形ABC中，為中線， ∴,, ∴ ∵, ∴, ∴ ∴, 在中：, ∴，在中, ∴， ∴．故答案為：C．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解． 4．A 【分析】根據(jù)等邊對等角得到，根據(jù)翻折的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得到，再利用外角性質(zhì)得到，進一步求出．【詳解】解：∵， ∴ ∵將沿翻折得到， ∴， ∵， ∴，故選：A 【點睛】此題考查翻折的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角性質(zhì)． 5．A 【分析】設(shè)出正方形的邊長，利用勾股定理，解出各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗算，看哪三條邊能夠成直角三角形．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為1，則，，，，因為，所以能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵． 6．C 【分析】由題意可得：，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：由題意可得：，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：， ∴ ∴ 故選：C 【點睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)． 7．C 【分析】分為三種情況：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．【詳解】解：①作線段AB的垂直平分線，交AC于點P，交直線BC于一點，此時PA＝PB，共2個點符合條件； ②是以A為圓心，以AB長為半徑作圓，交直線BC于兩點（B和另一個點），交射線AC于一點，此時AB＝AP，共2個點符合條件； ③以B為圓心，以BA長為半徑作圓，交直線BC于兩點，交射線AC于一點，共3個點 ∵作線段AB的垂直平分線交直線BC的點，以A為圓心，AB長為半徑作圓交直線BC的點，以及以B為圓心，AB長為半徑作圓交直線BC與右側(cè)的點，這三個點是同一個點． ∴符合條件的一共有：2＋2＋3?2＝5個點，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定來解決實際問題以及垂直平分線的性質(zhì)，主要考查學生的理解能力和動手操作能力． 8．C 【分析】延長、交于點，證，得，再證，則，然后由等腰三角形的性質(zhì)得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長、交于點，，，，，， ∴，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵． 9．A 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由，，得，，那么．由，得．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，由，得．以此類推，運用特殊到一般的思想解決此題．【詳解】解∶∵，， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．同理可得：． … 以此類推，以為頂點的內(nèi)角度數(shù)是． ∴以為頂點的內(nèi)角度數(shù)是．故選 A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及特殊到一般的猜想歸納思想是解決本題的關(guān)鍵． 10．D 【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，進而證得，故①正確；連接，證明是的垂直平分線，可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，可得到為等腰三角形，故②正確；先證得，可得，可證得，可得到，故③正確；由①知：，可得，故④正確；由③知：，可得到，從而得到為等腰直角三角形，進而得到，可得到，故⑤正確，即可．【詳解】解：，，，，，，，平分，，，，，，，，在和中，，，，故①正確；連接，如圖，，，，．，是的垂直平分線，，，為斜邊上的中線，，為等腰三角形，故②正確；連接，如圖，，，，．在和中，，，，故③正確；由①知：，，，故④正確；由③知：，，，，為等腰直角三角形，，，故⑤正確，綜上，正確的結(jié)論有：①②③④⑤，故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得到全等三角形是解題的關(guān)鍵． 11．6 【分析】根據(jù)角平分線的意義與平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，即可得解．【詳解】解：點是的內(nèi)角和外角的兩條角平分線的交點，，，，，，，即；故答案為：6．【點睛】此題考查了角平分線的意義、平行線的性質(zhì)與等腰三角形的判定等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定進行邏輯推理是解答此題的關(guān)鍵． 12．7 【分析】首先作輔助線，延長使得，連接交CA的延長線于，再證明，利用直角三角形的性質(zhì)求，進而求得，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長到使得，連接交CA的延長線于是等邊三角形，在和中，，故答案為7．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)建兩三角形全等． 13．【分析】作，，垂足分別為G、H，利用證明得到，，利用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)求出，,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長度，再結(jié)合三角形的面積公式即可得出答案．【詳解】解：作，，垂足分別為、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴，故答案為：【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，證得是解決問題的關(guān)鍵． 14．2或4/4或2 【分析】在直線上分別截取，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：當或4時，使得，理由如下： ∵是邊長為2的等邊三角形， ∴，如下圖，在直線上分別截取，點為中點，連接， ∴， ∵直線經(jīng)過頂點，且與邊平行， ∴， ∴， ∴， ∴；如圖，連接， ∵， ∵， ∴是等邊三角形， ∴，， ∴， ∴． ∴當AP的值為2或4時，使得．故答案為：2或4．【點睛】本題主要考查了作圖—尺規(guī)作圖、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是靈活運用所學知識． 15．4 【分析】作M關(guān)于的對稱點Q，過Q作于N，交于P，則此時的值最小，連接，得出，，，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．【詳解】解：作M關(guān)于的對稱點Q，過Q作于N，交于P，連接，如圖， ∵作點M、點Q關(guān)于的對稱， ∴， ∴，根據(jù)垂線段最短可知：當時，最小， ∴根據(jù)作圖可知此時：最小，且最小為， ∵，作點M、點Q關(guān)于的對稱，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中有：， ∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，軸對稱?最短路線問題，垂線段最短的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定P、N的位置． 16．①②③ 【分析】在四邊形中，運用對角互補，證得①正確；如圖，在線段上截取，使得，證，推導(dǎo)出，，從而得到②③正確．【詳解】解：∵是等邊三角形，是等邊三角形， ∴， ∴，在四邊形中， ∵，又∵，， ∴，即與互補，選項①說法正確，符合題意；如圖，在線段上截取，使得， ∵是等邊三角形， ∴， ∵， ∴是等邊三角形， ∴， ∵是等邊三角形， ∴， ∵，， ∴，，即， ∵是等邊三角形，是等邊三角形， ∴，，在與中， ∵， ∴， ∴ 選項②說法正確，符合題意；同理，如圖，在線段上截取，使得， ②中已證，， ∴， ∵是等邊三角形，為的中點， ∴， ∴， ∵是等邊三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，選項③說法正確，符合題意；點在線段上運動，的延長線交于，無法證明是定值，選項④說法錯誤，不符合題意；綜上，說法正確的為①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，其中添加正確的輔助線是解題的關(guān)鍵． 17．(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出，，利用三角形內(nèi)角和求出，再利用三角形外角和求出即可；（2）根據(jù)得出的長，再推出，即可列式求解．【詳解】（1），， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴，故答案為：；（2）∵周長，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生綜合運行性質(zhì)進行推理和計算的能力． 18．(1)見解析 (2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義及各角之間的關(guān)系得出，然后利用全等三角形的判定證明即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的定義得出，，結(jié)合圖形得出，再利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）∵等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，在和中， ∴；（2）是等腰直角三角形，，，．，，．，，．在和中，，．．【點睛】本題利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理． 19．(1)見解析 (2)∠BCE =22° 【分析】（1）連接DE．由G是CE的中點，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=AB，即可得到CD=AB．（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，則∠B=2∠BCE，由此根據(jù)外角的性質(zhì)即可求得∠BCE的度數(shù)．【詳解】（1）如圖，連接DE， ∵是的中點，DG⊥CE， ∴是的垂直平分線， ∴， ∵是高，是中線， ∴是的斜邊上的中線， ∴， ∴；（2）∵DC=DE， ∴∠DEC=∠BCE， ∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE， ∵DE=BE， ∴∠B=∠EDB， ∴∠B=2∠BCE， ∴∠AEC=3∠BCE=66°， ∴∠BCE=22°．【點睛】本題考查直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵． 20．(1)直角三角形 (2)3 (3)的度數(shù)是60°或105° 【分析】（1）證明即可解答；（2）根據(jù)垂線段最短可知時，的值最小，求出，的值即可解答；（3）分三種情況，由等腰三角形的性質(zhì)分別求出的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：為直角三角形，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴為直角三角形．（2）解：當時，的值最小，如圖，在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．故答案為：3．（3）解：的形狀可以是等腰三角形，理由如下，分三種情況： ①時，， ∴； ②時，， ∴； ③時，， ∴，點O與C重合，不合題意，綜上所述，的度數(shù)是60°或105°．【點睛】本題考查三角形綜合題，涉及等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵． 21．(1)直角； (2)見詳解 (3) 【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到的度數(shù)．（2）如圖2中，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．證明，利用勾股定理證明即可．（3）過點C作于T，連接，設(shè)交于O．證明是等腰直角三角形，，設(shè)，則，利用勾股定理構(gòu)建方程求出m，即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形． ∵，，， ∴， ∴為直角三角形． ∴的度數(shù)為．故答案為：直角；．（2）證明：如圖2中，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接． ∵，， ∴是等邊三角形， ∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴．（3）解：過點C作于T，連接，設(shè)交于O．∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，設(shè)，則， ∵， ∴，解得或（負值舍棄）， ∴， ∴．【點睛】本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵． 22．(1)的長為10，斜邊上的高為 (2)①；② (3)t的值為4或5或或22 【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求出的值；設(shè)斜邊上的高為h，由面積法可求得答案；（2）①的長度等于和長度之和減去運動的路程，②過點P作，證明，用含t的代數(shù)式分別表示各線段，利用勾股定理解即可求得t的值；（3）由圖可知，當是等腰三角形時，點P必在線段或線段上，當點P在線段上時，分三種情況：，，，分別求得點P運動的路程，再除以速度即可得出答案．【詳解】（1）解：在中，，，，；設(shè)邊上的高為h，則，，，即斜邊的長為10，斜邊上的高為；（2）解：①當點P在BC上時，點P運動的長度為，則，故答案為：； ②當點P在的角平分線上，過點P作，如圖：平分，，，，由①知，，，，在和中，，，，又，，在中，由勾股定理得：，即，解得：．（3）解：由圖可知，當是等腰三角形時，點P必在線段或線段上， ①當點P在線段上時，此時是等腰直角三角形，則，，，即，； ②當點P在線段上時，若，則，又點P運動的長度為，；若，如圖，過點C作于點H，則，在中，，，，在中，由勾股定理得：，，點P運動的長度為：，；若，如圖所示，則，，，，，，，，又點P運動的長度為，；綜上，t的值為4或5或或22．【點睛】本題主要考查了三角形中的動點問題，涉及角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握上述性質(zhì)、定理，并熟練運用分類討論思想． 23．(1)選擇路線1較短，理由見解析 (2)①8，；②選擇路線2較短，理由見解析【分析】（1）利用勾股定理計算后，比較大小即可；（2）把條件改成：“圓柱底面半徑為，高為”繼續(xù)按前面的路線進行計算即可．【詳解】（1）解：剪開前，，， ∴，剪開后，，， ∴； ∵ ∴即所以選擇路線1較短；（2）解：①，． ②， ∴即所以選擇路線2較短．【點睛】此題主要考查了平面展開最短路徑問題，比較兩個數(shù)的大小，有時比較兩個數(shù)的平方比較簡便，比較兩個數(shù)的平方，通常讓這兩個數(shù)的平方相減．注意運用類比的方法做類型題．