教學(xué)目標：


１、經(jīng)歷三角形中位線的性質(zhì)定理形成過程，掌握定理，并能利用它解決簡單的問題。


２、通過命題的教學(xué)了解常用的輔助線的作法,并能靈活運用它解題。


３、進一步訓(xùn)練說理的能力。


４、通過學(xué)習，進一步培養(yǎng)自主探究和合作交流的學(xué)習習慣；進一步了解特殊與一般的辯證唯物主義觀點；轉(zhuǎn)化的思想。


教學(xué)重點：


經(jīng)歷三角形中位線的性質(zhì)定理形成過程，掌握定理，并能利用它解決簡單的問題。


教學(xué)難點：


進一步訓(xùn)練說理的能力。


教學(xué)過程：


一、三角形的中位線


（一）問題導(dǎo)入


在23．3中，我們曾解決過如下的問題：


如圖24．4．1，△ABC中，DE∥BC，則△ADE∽△ABC。由此可以進一步推知，當點D是AB的中點時，點E也是AC的中點。


現(xiàn)在換一個角度考慮，





如果點D、E原來就是AB與AC的中點，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE與BC之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？


（二）探究過程


1、猜想


從畫出的圖形看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC．





2、證明：如圖24．4．2，△ABC中，點D、E分別是AB與AC的中點，


∴ ．


∵ ∠A＝∠A，


∴ △ADE∽△ABC（如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似），


∴ ∠ADE＝∠ABC，（相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例），


∴ DE∥BC且.


思考：本題還有其他的解法嗎？


已知： 如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC。


求證： DE∥BC，DE＝BC。


分析: 要證DE∥BC，DE ＝BC，可延長DE到F，使EF＝DE，于是本題就轉(zhuǎn)化為證明DF＝BC，DE∥BC，


故只要證明四邊形BCFD為平行四邊形。


還可以作如下的輔助線作法。








3、概括


我們把連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，并且有三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。


介紹三角形的中位線時，強調(diào)指出它與三角形中線的區(qū)別。


（三）應(yīng)用


例1求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分。





已知： 如圖24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。


求證： AE、DF互相平分。


證明連結(jié)DE、EF．因為AD＝DB，BE＝EC，


所以DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）。


同理EF∥AB。


所以四邊形ADEF是平行四邊形。


因此AE、DF互相平分（平行四邊形的對角線互相平分）。


例2如圖24．4．4，△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點，AD、CE相交于G。


求證： 。





證明連結(jié)ED，


∵ D、E分別是邊BC、AB的中點，


∴ DE∥AC，（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）。


∴ △ACG∽△DEG，


∴ 。


∴ 。





小結(jié)：


如果在圖24．4．4中，取AC的中點F，假設(shè)BF與AD交于G′，如圖24.4.5所示，那么我們同理有，所以有，即兩圖中的點G與G′是重合的。


于是，我們有以下結(jié)論：


三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線的長是對應(yīng)中線長的。


［同步訓(xùn)練］ 如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點．求證：四邊形ADEF是菱形。

















小結(jié)與作業(yè)


小結(jié)：談一下你有哪些收獲？


作業(yè)：Ｐ79 練習1,2 習題23.4 1,3,4

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊電子課本 舊教材

23.4 中位線

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