2022-2023學(xué)年甘肅省蘭州市等3地高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知兩個非零向量，，則這兩個向量在一條直線上的充要條件是（    ）．A． B．C． D．存在非零實(shí)數(shù)，使【答案】D【解析】分析各選項(xiàng)中、的位置關(guān)系，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】若非零向量，在同一條直線上，則、共線.對于A選項(xiàng)，，且是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，所以，、同向，所以，是、在一條直線上的充分不必要條件；對于B選項(xiàng)，取，，則，但、不共線；對于C選項(xiàng)，若，則，可知；對于D選項(xiàng)，“存在非零實(shí)數(shù)，使”“”.故選：D.2．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦距為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】B【詳解】，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，說明，則，∴雙曲線的方程為故選:B3．若點(diǎn)是直線：外一點(diǎn)，則方程表示（    ）A．過點(diǎn)且與平行的直線B．過點(diǎn)且與垂直的直線C．不過點(diǎn)且與平行的直線D．不過點(diǎn)且與垂直的直線【答案】C【解析】易知點(diǎn)的坐標(biāo)不在直線上，根據(jù)兩直線方程的一般形式中的系數(shù)相同，但不同，可得直線平行；【詳解】∵點(diǎn)不在直線：上，∴，∴直線不過點(diǎn)，又直線與直線：平行，故選：C.4．已知、是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線、的斜率分別為、()，若的最小值為，則橢圓的離心率為（    ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓方程及斜率坐標(biāo)公式，借助均值不等式求解作答.【詳解】設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)，則點(diǎn)，顯然，  由與，相減得，整理得，而，于是，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，因此，即，橢圓的離心率為.故選：D5．點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（    ）.A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓上任意一點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得，代入圓的方程即可求得軌跡方程．【詳解】設(shè)圓上任意一點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，可得，代入得，化簡得．故選：A．6．已知橢圓的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓的離心率為（     ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】過點(diǎn)傾斜角為的直線方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，整理可得：則：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．7．如圖所示，是棱長為的正方體，、分別是棱、上的動點(diǎn)，且.當(dāng)、、、共面時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角的余弦．【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，由題意知：當(dāng)、時，、、、共面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，解得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，解得，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為，故選：B. 二、多選題8．給出下列命題，其中正確的有（    ）A．空間任意三個向量都可以作為一個基底B．已知向量，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C．，，，是空間中的四個點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，那么，，，共面D．已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底【答案】BCD【分析】作為空間中基底的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤即可.【詳解】A：空間中共面的三個向量不能作為基底，故錯誤；B：向量，即，可平移到一條直線上，它們與其它任何向量都會共面，故不能作為基底，正確；C：，，不能構(gòu)成空間的一個基底，即它們共面，則，，，共面，正確；D：是空間的一個基底，即它們不共面，由即共面，故與不共面，則是空間的一個基底，正確.故選：BCD9．已知經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實(shí)數(shù)（    ）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】對參數(shù)分類討論，根據(jù)直線垂直，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，直線的斜率為，直線不存在斜率，此時滿足直線互相垂直；當(dāng)時，直線的斜率為，直線的斜率為，若兩直線垂直，則，解得，滿足題意.綜上所述：或.故選：BC.10．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)，則拋物線C的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】結(jié)合拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，求得，由此求得拋物線的方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€C的方程為，所以焦點(diǎn)，設(shè)，由拋物線的性質(zhì)知，得．因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得圓心的橫坐標(biāo)為，由已知得圓的半徑也為，故該圓與y軸相切于點(diǎn)，故圓心的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，即，代入拋物線方程，得，解得或．所以拋物線C的方程為或．故選：AC11．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（    ）.A． B． C． D．【答案】AC【分析】由題意，分、兩種情況，分別求解，設(shè)，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求的b的值，代入離心率公式，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時，設(shè)，則，設(shè)，如圖，  雙曲線的漸近線方程為，即，在中，，設(shè)，又，則，又雙曲線中，即有，于是，，，，則，，，代入得，即，解得，則，A正確；當(dāng)時，設(shè)，，設(shè)，如圖，    則，，在中，，設(shè)，又，則，又雙曲線中，即，于是，，，，則，，，而，即，因此，即，解得，則，C正確.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式即可；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)． 三、填空題12．已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線：反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為        ．【答案】【詳解】試題分析：關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，所以反射光線所在直線的方程是直線的方程: 【解析】反射直線13．過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓：和圓：()作切線，切點(diǎn)分別為、，若的最小值為，則        .【答案】【解析】根據(jù)已知條件可得、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，由圓切線的性質(zhì)可得，由雙曲線的幾何性質(zhì)可求出最小值，即可求出.【詳解】解：由得，，則、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，也是題中圓的圓心，∴，當(dāng)在軸上時，最小為，則最小值為，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形和雙曲線的定義，明確何時取最小值，從而結(jié)合已知條件即可求出半徑.14．是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為        【答案】【分析】以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，的坐標(biāo)，利用距離公式，即可得到結(jié)論.【詳解】解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量是，，∴由，可得取得，，∴到平面的距離.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.15．如圖所示，已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F且依次交拋物線及圓2于A，B，C，D四點(diǎn)，則|AB|+4|CD|的最小值為     ．【答案】13【分析】當(dāng)直線l的斜率不存在時，計算出,當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣2） ，代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理以及拋物線的定義可求得|AB|+4|CD|＝x1+4x2+5,再利用基本不等式可得最小值為13,比較可得答案.【詳解】拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F（2，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣2，圓2的圓心為F ，半徑為，當(dāng)直線l的斜率不存在時，x＝2，聯(lián)立 解得y2＝32，即y＝±4，所以,所以,所以,當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣2） ，代入拋物線方程可得k2x2﹣（84k2）x+8k2＝0，k≠0，設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），可得x1+x2＝4，x1x2＝8，由拋物線的定義可得|AB|+4|CD|＝|AF|4（|DF|）＝x1+24（x2+2）＝x1+4x2+52513，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝4，x2，上式取得最小值13，綜上可得，|AB|+4|CD|的最小值為13，故答案為: 13【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線相交的問題,考查了拋物線的定義,考查了利用圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑,考查了基本不等式求和的最小值,考查了韋達(dá)定理,利用拋物線的定義求和是解題關(guān)鍵,屬于中檔題. 四、解答題16．已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn).(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(x－1)2＋y2＝1(2)x2＋y2－x－y－1＝0 【分析】（1）設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入已知圓方程可得結(jié)論；（2）設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，由，再由可得軌跡方程．【詳解】（1）設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x－2，2y).因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.（2）設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y).在中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，如圖，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.17．已知點(diǎn)，點(diǎn)Р是圓C：上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線CP交于點(diǎn)E．(1)求點(diǎn)E的軌跡方程；(2)若直線與點(diǎn)E的軌跡有兩個不同的交點(diǎn)F和Q，且原點(diǎn)О總在以FQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】(1)根據(jù)題意列出等量關(guān)系，再結(jié)合橢圓的定義即可求出答案；（2）將直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系得，，然后把代入題中其他條件化簡計算【詳解】（1）由題意知，，，所以，所以E的軌跡是以C，A為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓E的方程為，則，，所以，所以E的軌跡方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，消去y得，由得①，所以，．因?yàn)樵c(diǎn)О總在以FQ為直徑的圓的內(nèi)部，所以，即．而，所以，即，所以，且滿足①式，所以m的取值范圍是．【點(diǎn)睛】（1）求軌跡方程是用定義法，即確定軌跡的形狀﹐然后再求軌跡方程，求軌跡方程還有其他方法，如直接法、動點(diǎn)轉(zhuǎn)移法、交軌法等；（2）直線與橢圓相交問題﹐采取的是設(shè)而不求思想，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，將直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系得，，然后把這個結(jié)論代入題中其他條件化簡計算．18．已知直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）在，條件下，求的面積的最大值；（2）當(dāng)，時，求直線的方程.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，，所以，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，設(shè)，，列出的面積，然后，利用基本不等式求出最值（2）當(dāng)時，設(shè)，利用橢圓的弦長公式，聯(lián)立方程求解即可【詳解】（1）當(dāng)時，，所以兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，設(shè)，所以所以所以當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號成立，所以的面積的最大值為1（2）當(dāng)時，設(shè)，得所以，所以又因?yàn)?/span>所以所以所以直線的方程為【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題，以及求解橢圓中的弦長問題，屬于基礎(chǔ)題19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯位相減求和法求得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，當(dāng)時，，，故解得，，，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以(常數(shù))，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.（2）由題得，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查錯位相減求和法.20．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)公差為，由成等比數(shù)列，求得，然后可得通項(xiàng)公式；（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得，用分組求和法求得，其中一組用裂項(xiàng)相消法求和，一組用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和．【詳解】解：（1）設(shè)公差為，由成等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以．所以；（2）由（1）得，所以所以所以．【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，分組求和法，裂項(xiàng)相消法，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．21．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，通過取中點(diǎn)，可證得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，，分別為，中點(diǎn)    為的中位線且又為中點(diǎn)，且 且 四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形    則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：，，，D（0，-1,0）取中點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形且    為等邊三角形 又平面，平面 平面，即平面為平面的一個法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，     二面角的正弦值為：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型. 

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