2022-2023學(xué)年甘肅省蘭州市西北師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由交集的定義與區(qū)間的概念求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：D2．已知，則“”是“”的（　?。?/span>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解不等式得出的范圍，再由充分必要條件的定義得出結(jié)論即可.【詳解】由，得或，所以“”是“或”的子集，所以“”能推出“或”，“或”不能推出“”，所以“”是的充分不必要條件，故選：A.3．下列不等式中成立的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】A，如時(shí)，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；BCD，利用作差法比較大小分析得解.【詳解】A. 若，則錯(cuò)誤，如時(shí)，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；    B. 若，則，所以該選項(xiàng)正確；C. 若，則，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D. 若，則，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B4．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.故選：B5．函數(shù).若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口朝上，由題意可得， 從而可求得的取值范圍．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，且開口朝上，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以區(qū)間在對(duì)稱軸的右側(cè)即，得 故選：B6．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B．或4 C． D．或4【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分別求解，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，解得（舍）或；當(dāng)時(shí)，由，解得．則實(shí)數(shù)的值為或4故選：B7．已知正數(shù)，滿足，則取得最小值時(shí)，的值為（    ）A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，2【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式，由等號(hào)成立的條件即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值，所以取得最小值時(shí)，的值為4，2，故選：D.8．已知二次函數(shù)且對(duì)任意的都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】的對(duì)稱軸為，開口向下由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞減則，解得故選：B 二、多選題9．下列函數(shù)定義域和值域相同的是（    ）A．=5x+1 B．=x2+1 C．= D．=【答案】ACD【分析】根據(jù)解析式直接分析函數(shù)的定義域及值域即可求解.【詳解】對(duì)A，=5x+1定義域及值域都為R,對(duì)B，=x2+1的定義域?yàn)?/span>R,值域?yàn)?/span>，對(duì)C，=的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，對(duì)于D，=的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>.故選：    ACD10．下列敘述中不正確的是（    ）A．若，則“”的充要條件是“”B．已知為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的既不充分也不必要條件C．“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件D．“”是“”的充分不必要條件【答案】AB【分析】取，，可判斷A；由充分條件和必要條件的定義可判斷B；由兩根之積小于以及求出的范圍結(jié)合充分條件和必要條件的定義可判斷C；解不等式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判斷D，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】對(duì)于A：若，，，滿足，但不成立，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：因?yàn)?/span>，，由，可得，即，可得所以充分性成立；當(dāng)時(shí)，取，，此時(shí)，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：設(shè)方程的兩根分別為，，若方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則 ，可得，所以“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由可得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)D正確；所以AB不正確，故選：AB.11．若“，使得成立”是假命題，則實(shí)數(shù)可能的值是（    ）A．1 B． C．3 D．【答案】AB【分析】由題意可得：“，使得成立”是真命題，即不等式恒成立，由求得的范圍即可得正確選項(xiàng).【詳解】若“，使得成立”是假命題，則“，使得成立”是真命題，可得，解得：，故選項(xiàng)AB正確；故選：AB.12．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)成立的是（    ）A．B．在和上是減函數(shù)C．是上的偶函數(shù)D．的對(duì)稱軸是和【答案】BC【分析】，畫出的圖象，由圖象即可求解【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，畫出的圖象，如圖所示：由圖象可知：當(dāng)或時(shí)，，故A錯(cuò)誤；由圖象可知：在和上是減函數(shù)，故B正確；由圖象可知：的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故是上的偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC 三、填空題13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>___________.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，所以，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.故答案為：.14．不等式的解集是______________ .【答案】【分析】移項(xiàng)后可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來求解.【詳解】等價(jià)于即，故，故解集為.故答案為：.15．已知是定義在R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是___.【答案】【分析】利用函數(shù)在上是減函數(shù)，可列出不等式組，由此求得a的取值范圍.【詳解】由于是定義在R上的減函數(shù)，∴，求得，故答案為：.16．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】利用函數(shù)為偶函數(shù)，可得，在上單調(diào)遞減，可得，求解即可【詳解】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，故又在上單調(diào)遞減，故故答案為： 四、解答題17．（1）若正數(shù)，滿足，求的最小值；（2）若正數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】（1）;（2）.【分析】（1）利用“的代換”的方法求得的最小值.（2）結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）,，由于為正數(shù)，所以不等式解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.18．分別求下列條件下函數(shù)的解析式：(1)是一次函數(shù)，且；(2)已知.【答案】(1)(2) 【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）用換元法求解即可【詳解】（1）設(shè)，則，又所以，解得，所以；（2）令，則，所以，所以19．解關(guān)于的不等式：.【答案】當(dāng)時(shí)，原不等式的集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的集為或，當(dāng)時(shí)，原不等式的集為.【詳解】試題分析：不等式中含有參數(shù)，對(duì)分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得即可，當(dāng)時(shí)，原不等式化為一元二次不等式，再對(duì)分和兩種情況分別求解.試題解析：原不等式整理得.當(dāng)時(shí)，原不等式為，∴；當(dāng)時(shí)，原不等式為，∴當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，當(dāng)時(shí)，原不等式為，原不等式的集為或，若，則，原不等式的集為或，當(dāng)時(shí)，原不等式的集為.綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的集為或，當(dāng)時(shí)，原不等式的集為.【解析】不等式的解法. 20．已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1)＝－.（1）求證：f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù).（2）求f(x)在[－3，3]上的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)設(shè)x1，x2是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則x2－x1>0，由已知條件得出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得證； (2)由(1)得出的函數(shù)的單調(diào)性知，f(x)在[－3，3]上也是減函數(shù)，可求得最小值.【詳解】(1)證明：設(shè)x1，x2是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則x2－x1>0，因?yàn)?/span>x>0時(shí)，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，又因?yàn)?/span>x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)<f(x1).所以f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù).(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x)在[－3，3]上也是減函數(shù)，所以f(x)在[－3，3]上的最小值為f(3). 而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.所以函數(shù)f(x)在[－3，3]上的最小值是－2.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，單調(diào)性的應(yīng)用求函數(shù)在某區(qū)間上的最值，屬于中檔題.21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求a，b的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于t的不等式，.【答案】（1）；（2）在上遞增，證明見解析；（3）.【分析】（1）由題意，令，代入求解，再檢驗(yàn)是奇函數(shù)，即得解；（2）利用單調(diào)性的定義按照步驟作差證明即可；（3）利用奇函數(shù)原式等價(jià)于，再結(jié)合單調(diào)性、定義域列出不等式求解即可.【詳解】（1）依題意函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，所以檢驗(yàn)：，為奇函數(shù)滿足題意（2）在上遞增，證明如下：任取，其中，所以，故在上遞增.（3）由可得，因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>是增函數(shù)，所以，即，解得：，所以不等式的解集為. 

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