福州一中2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題（共8小題）1. 已知全集，集合，集合，則集合A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【詳解】,,則,故選B.考點(diǎn)：本題主要考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算. 2. 命題“”的否定為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.【詳解】解：因?yàn)槿Q命題的否定為特稱命題，所以命題“”的否定為“”，故選：C.3. 下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可求解.【詳解】解：對(duì)A：是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，符合題意；對(duì)B：不具有奇偶性，是增函數(shù)，不符合題意；對(duì)C：不具有奇偶性，是增函數(shù)，不符合題意；對(duì)D：是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，符合題意；故選：AD4. 設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先設(shè)，得到，再代入，利用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，即：.故選：D5. 某高校為加強(qiáng)學(xué)科建設(shè)，制定了第“十四五”（2021-2025）規(guī)劃，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入，已知該校計(jì)劃2021年全年投入科研資金20萬元，2025年全年投入科研資金28萬元，則第“十四五”期間，投入科研資金年均增長(zhǎng)率約為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)年增長(zhǎng)率為，由題意可得，從而即可求解.【詳解】解：設(shè)年增長(zhǎng)率為，由題意可得，即，所以，解得，所以投入科研資金的年均增長(zhǎng)率約為，故選：A.6. 函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義證明是偶函數(shù)，可排除B、C；再由可排除D.【詳解】由題意知，函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，，則，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，故可排除B和C；當(dāng)時(shí)，，故可排除D.故選：A7. 岡珀茨模型是由岡珀茨（Gompertz）提出，可作為動(dòng)物種群數(shù)量變化的模型，并用于描述種群的消亡規(guī)律.已知某珍稀物種t年后的種群數(shù)量y近視滿足岡珀茨模型：（當(dāng)時(shí)，表示2020年初的種群數(shù)量），若年后，該物種的種群數(shù)量將不足2020年初種群數(shù)量的一半，則m的最小值為（    ）A. 9 B. 7 C. 8 D. 6【答案】D【解析】【分析】由已知模型列出不等式后，取對(duì)數(shù)變形求解．【詳解】由已知，顯然，，兩邊取自然對(duì)數(shù)有：，，所以，．的最小值為6．故選：D．8. 設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】對(duì)于a，b的比較，構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行比較，對(duì)于a，c或b，c的比較通過作差法來進(jìn)行比較【詳解】，故；，故；，令，（），則因?yàn)?/span>，所以，，，故恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，故綜上：故選：C二?多選題（共4小題）9. 下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】AD選項(xiàng)應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，B選項(xiàng)利用根式化簡(jiǎn)法則進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，利用指數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算【詳解】錯(cuò)誤，正確的應(yīng)該是，故A錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10. 下列四個(gè)命題中，真命題是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)分別對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤； 已知，即，左右兩邊同時(shí)平方即可得到，故B正確.；當(dāng)同號(hào)時(shí)， ，當(dāng)異號(hào)時(shí)，，故C錯(cuò)誤； ，故D正確.故選：BD.11. 下列命題中真命題的是（    ）A. “”是“”的充分不必要條件B. 若是偶函數(shù)，則圖像關(guān)于直線軸對(duì)稱C. 若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D. ，使得方程有解的充要條件是【答案】AD【解析】【分析】解不等式，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷A；根據(jù)偶函數(shù)的圖像的特征及函數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系即可判斷B；由，可得，再根據(jù)函數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系即可判斷C；根據(jù)方程有解，求得的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，由，得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B，若是偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，的圖像是由函數(shù)向右平移1個(gè)單位得到的，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，所以，令，則，所以函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又是由函數(shù)向右平移1個(gè)單位得到的，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，使得方程有解，當(dāng)時(shí)，不成立，舍去，當(dāng)時(shí)，即，則，所以，綜上所述，所以，使得方程有解的充要條件是，故D正確.故選：AD.12. 已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】依題意可得，，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用基本不等式判斷C，利用零點(diǎn)存在性定理得到、，再利用作差法及函數(shù)的單調(diào)性判斷B、D；【詳解】解：函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，可得，，即有，由的反函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，與直線的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，可得，即，故A正確；由基本不等式得，，而，等號(hào)不成立，故，故正確；因?yàn)?/span>，，所以所以，所以，故B錯(cuò)誤；又，，所以則，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：ACD三?填空題（共4小題）13. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>___________，值域?yàn)?/span>___________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】由真數(shù)大于0和被開方數(shù)大于等于0，可得不等式組，解不等式組，即可得定義域，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域可知的值域.【詳解】由題意得：，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,,,,即的值域?yàn)?/span>.故答案為：；14. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則___________.【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)可得，列出方程，進(jìn)而解出a的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，又，所以，即，所以.故答案為：-115. 已知，函數(shù).若，使得，則實(shí)數(shù)a的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)，得到在上恒成立，故求出在的最小值，讓即可【詳解】，即，因?yàn)?/span>，所以，所以恒成立，其中在時(shí)單調(diào)遞減，故，所以，所以，故實(shí)數(shù)a的最大值是故答案為：16. 已知函數(shù)滿足，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________.【答案】或【解析】【分析】令，則方程轉(zhuǎn)化為，作出函數(shù)的圖象，由題意，原問題等價(jià)于有兩個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根的分布列出不等式組求解即可得答案.【詳解】解：令，則方程轉(zhuǎn)化為，    作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由題意，方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根，令，則解得或，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為或，故答案為：或.四?解答題（共6小題）17. 已知全集，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）在①；②；③中任選一個(gè)條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）首先解指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及絕對(duì)值不等式求出集合、，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；（2）根據(jù)所選條件，得到不等式組，即可求出參數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】解：由，即，解得，即，由，即，所以，即或，解得或，即或當(dāng)時(shí)或所以【小問2詳解】解：由（1）可知或，；若選①，，則或，解得或，即；若選②，若，則，解得，所以時(shí)；若選③，因?yàn)?/span>，所以或，因?yàn)?/span>，所以，所以，解得；18. 設(shè)函數(shù).（1）若在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式.【答案】（1）    （2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .【解析】【分析】（1）根據(jù)是否為0分類討論，不等于0時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可；（2）根據(jù)與0的大小分類討論求解即可.【小問1詳解】當(dāng)實(shí)數(shù)，，在單調(diào)遞增，符合題意.當(dāng)實(shí)數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，要使得在單調(diào)遞增，則，解得綜上述，.【小問2詳解】當(dāng)實(shí)數(shù)，，時(shí)，.當(dāng)實(shí)數(shù)，如果，即時(shí)，得，如果，時(shí)，得.當(dāng)實(shí)數(shù)，此時(shí)，，解得或綜上述，的解集為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .19. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求m，n的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義加以證明；（2）求使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），增函數(shù)，證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，又，由此可得，的值，再由單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2），即，根據(jù)定義域及單調(diào)性列出不等式組，從而可得出答案.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，又因，所以，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，在上任取，，且，則，因?yàn)?/span>，所以，，所以，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；【小問2詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，解得.20. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）如果對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得值域；（2）設(shè)換元，分類時(shí)不等式成立，在時(shí)，分離參數(shù)后應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求得最小值得結(jié)論．【小問1詳解】設(shè)，由得，，所以時(shí)，，或0時(shí)，，所以所求值域?yàn)?/span>；【小問2詳解】設(shè)，又，所以，不等式為，即，，不等式顯然成立，時(shí)，不等式化為，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．綜上，．21. 已知福州地鐵號(hào)線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，地鐵的載客量與發(fā)車的時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為人；當(dāng)時(shí)，載量會(huì)減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的載客量為人，記地鐵的載客量為.（1）求的表達(dá)式，并求發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元）.問：當(dāng)?shù)罔F發(fā)車時(shí)間間隔多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？【答案】（1），發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量為人.    （2）當(dāng)?shù)罔F發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，由可求出的值，結(jié)合已知條件可得出函數(shù)的函數(shù)解析式，進(jìn)而可求得的值；（2）分、兩種情況討論，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，利用基本不等式以及函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得.由題意可得.所以，發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量為（人）.【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，（元），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，當(dāng)?shù)罔F發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大.22. 對(duì)定義在上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件函數(shù)稱為G函數(shù).①對(duì)任意的，總有；②當(dāng)時(shí)，總有成立.已知函數(shù)與是定義在上的函數(shù).（1）試問函數(shù)是否為G函數(shù)？并說明理由；（2）若函數(shù)是G函數(shù)，（i）求實(shí)數(shù)a的值；（ii）討論關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù)情況.【答案】（1）是，理由見解析；    （2）（i）1；（ii）詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)G函數(shù)的定義求解； （2）（i）根據(jù)函數(shù)是G函數(shù)，由，總有成立，求得再由②當(dāng)時(shí)，總有成立，由，對(duì)時(shí)成立，求得求解；（ii）將方程，轉(zhuǎn)化為，令，轉(zhuǎn)化為求解.【小問1詳解】解：函數(shù)是為G函數(shù)，理由如下：①對(duì)任意的，總有；②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是為G函數(shù)，【小問2詳解】（i）因?yàn)楹瘮?shù)是G函數(shù)，則①，總有成立，即，對(duì)成立，所以②當(dāng)時(shí)，總有成立，即，對(duì)時(shí)成立因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>不同時(shí)為1，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，綜上：，（ii）方程，即為，令，則方程為，當(dāng)或時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解.
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