2021 - 2022學年第一學期福州市高一期末質量抽測數學試卷（完卷時間120分鐘，滿分：150分）友情提示：請將所有答案填寫到答題卡上!請不要錯位、難界答題!一、選擇題：本照共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項提符合題目要求的.1. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據誘導公式以及特殊角的三角函數值，即可容易求得結果.【詳解】因為.故選：D.2. 設集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，利用交集定義和運算計算即可．【詳解】由題意可得，則故選：D3. 命題“，”的否定是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】利用全稱量詞的命題的否定解答即可.【詳解】解：因為全稱量詞的命題的否定是存在量詞的命題，命題“，”是全稱量詞的命題，所以其否定是“，”.故選：C4. “四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由菱形和平行四邊形的定義可判斷.【詳解】解：四邊形是菱形則四邊形是平行四邊形，反之，若四邊形是平行四邊形則四邊形不一定是菱形，所以“四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”充分不必要條件.故選：A.5. 已知函數以下關于的結論正確的是（    ）A. 若，則B. 的值域為C. 在上單調遞增D. 的解集為【答案】B【解析】【分析】A選項逐段代入求自變量的值可判斷;B選項分別求各段函數的值域再求并集可判斷;C選項取特值比較大小可判斷不單調遞增;D選項分別求各段范圍下的不等式的解集求并集即可判斷.【詳解】解:A選項:當時, 若,則;當時, 若,則,故A錯誤;B選項: 當時, ;當時, ,故的值城為,B正確;C選項: 當時, ,當時, ,在上不單調遞增,故C錯誤;D選項: 當時, 若,則;當時, 若,則,故解集為,故D錯誤;故選:B.6. 已知函數，則的大致圖像為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】計算的值即可判斷得解.【詳解】解：由題得，所以排除選項A,D.,所以排除選項C.故選：B7. 設，，，則a，b，c的大小關系為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據指數函數和對數函數的單調性得出的范圍，然后即可得出的大小關系.【詳解】由題意知，，即，，即，，又，即，∴．故選：A8. 已知函數的零點，（），則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】將函數化為，根據二次函數的性質函數的單調性，利用零點的存在性定理求出兩個零點的分布，進而得出零點的取值范圍，依次判斷選項即可.【詳解】由題意知，，則函數圖象的對稱軸為，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，，所以，因為，，所以，所以，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題口算求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 下列函數是奇函數的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】先求函數的定義域，再判斷 與的關系即可求解【詳解】對A，函數的定義域為R,關于（0,0）對稱，且，故函數為奇函數，符合題意；對B，函數的定義域為R,關于（0,0）對稱，且，故函數為非奇非偶函數，不符合題意；對C, 函數的定義域為R,關于（0,0）對稱，且，故函數為奇函數，符合題意；對D,函數定義域為，不關于（0,0）對稱，故函數為非奇非偶函數，不符合題意；故選：AC10. 在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于直線對稱，則以下結論一定正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】利用三角函數的定義可判斷AB選項；利用特殊值法可判斷C選項；利用兩角和的正弦公式以及同角三角函數的基本關系可判斷D選項.【詳解】設角的終邊與單位圓的交點為，則角的終邊與單位圓的交點為，則，，A錯B對；取，，則角與角的終邊關于直線對稱，此時，C錯；，D對.故選：BD.11. 若x，．且，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】根據題意，由基本不等式和不等式的性質依次分析選項，綜合可得答案．【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，若，，，當且僅當時等號成立，A正確；對于B，，，，B正確；對于C，，當且僅當時等號成立，C錯誤；對于D，，則有，變形可得，故，當且僅當時，取等號，故D正確；故選：ABD．12. 邊際函數是經濟學中一個基本概念，在國防、醫(yī)學、環(huán)保和經濟管理等許多領域都有十分廣泛的應用，函數的邊際函數定義為．某公司每月最多生產75臺報警系統裝置，生產臺的收入函數（單位：元），其成本的數（單位：元），利潤是收入與成本之差，設利潤函數為，則以下說法正確的是（    ）A. 取得最大值時每月產量為臺B. 邊際利潤函數的表達式為C. 利潤函數與邊際利潤函數不具有相同的最大值D. 邊際利潤函數說明隨著產量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少【答案】BCD【解析】【分析】求出函數、的解析式，可判斷B選項；利用二次函數的基本性質可判斷A選項；求出利潤函數與邊際利潤函數的最大值，可判斷C選項；利用邊際利潤函數的單調性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，二次函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，因，所以，取得最大值時每月產量為臺或臺，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，因為函數為減函數，則，C對；對于D選項，因為函數為減函數，說明邊際利潤函數說明隨著產量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少，D對.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小圈5分，共20分.13. ______________.【答案】2【解析】【分析】由對數的運算法則直接求解.【詳解】故答案為：214. 要在半徑cm的圓形金屬板上截取一塊扇形板，使弧AB的長為m，那么圓心角_________ ．（用弧度表示）【答案】【解析】【分析】由弧長公式變形可得：，代入計算即可.【詳解】解：由題意可知：（弧度）.故答案為：.15. 函數的部分圖像如圖所示，軸，則 _________ ， _________ ．【答案】    ①. 2    ②. ##【解析】【分析】根據最低點的坐標和函數的零點，可以求出周期，進而可以求出的值，再把最低點的坐標代入函數解析式中，最后求出的值.【詳解】通過函數的圖象可知，點B、C的中點為，與它隔一個零點是，設函數的最小正周期為，則，而，把代入函數解析式中，得.故答案為：；16. 寫出一個同時具有下列性質①②③的函數 _________ ．①在R上單調遞增；②；③．【答案】（答案不唯一，形如均可）【解析】【分析】由指數函數的性質以及運算得出.【詳解】對函數，因為在R上單調遞增，所以在R上單調遞增；，.故答案為：（答案不唯一，形如均可）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；    （2）-2.【解析】【分析】（1）先利用三角函數的坐標定義求出，再利用誘導公式求解；（2）求出，再利用差角正切公式求解.【小問1詳解】解：由于角的終邊過點，由三角函數的定義可得，則．【小問2詳解】解：由已知得，則．18. 已知函數，且．（1）求a的值；（2）判斷在區(qū)間上單調性，并用單調性的定義證明你的判斷．【答案】（1）4    （2）在區(qū)間上單調遞減，證明見解析【解析】【分析】（1）直接根據即可得出答案；（2）對任意，且，利用作差法比較的大小關系，即可得出結論.【小問1詳解】解：由得，解得；【小問2詳解】解：在區(qū)間內單調遞減，證明：由（1）得，對任意，且，有，由，，得，，又由，得，于是，即，所以在區(qū)間上單調遞減．19. 已知函數．（1）求的最小正周期；（2）將的圖象上的各點________得到的圖象，當時，方程有解，求實數m的取值范圍．在以下①、②中選擇一個，補在（2）中的橫線上，并加以解答，如果①、②都做，則按①給分.①向左平移個單位，再保持縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半．②縱坐標保持不變，橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移個單位．【答案】（1）；    （2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據三角恒等變換化簡，再求其最小正周期即可；（2）選擇不同的條件，根據三角函數的圖象變換求得的解析式，再求其在區(qū)間上的值域即可.【小問1詳解】因為所以函數的最小正周期．【小問2詳解】若選擇①，由（1）知，那么將圖象上各點向左平移個單位，再保持縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半，得到．當時，可得，，，由方程有解，可得實數m的取值范圍為．若選擇②，由（1）知，那么將圖象上各點縱坐標保持不變，橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移個單位，得到．當時，，，由方程有解，可得實數m的取值范圍為．20. 已知函數是定義在上的偶函數，當時，．（1）求的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用偶函數的定義可求得函數在上的解析式，綜合可得出函數的解析式；（2）令，則所求不等式可變?yōu)?/span>，求出的取值范圍，可得出關于的不等式，解之即可.【小問1詳解】解：因為數是定義在R上的偶函數，當，，則當時，，.因此，對任意的，.【小問2詳解】解：由（1）得，所以不等式，即，令，則，于是，解得，所以，得或，從而不等式的解集為．21. 筒車是我國古代發(fā)哪的一種水利灌溉工具，因其經濟環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到使用．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖1是一個半徑為R（單位：米），有24個盛水筒的筒車，按逆時針方向勻速旋轉，轉一周需要120秒，為了研究某個盛水筒P離水面高度h（單位，米）與時間t（單位：秒）的變化關系，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy．已知時P的初始位置為點（此時P裝滿水）. （1）P從出發(fā)到開始倒水入槽需要用時40秒，求此刻P距離水面的高度（結果精確到0.1）；（2）記與P相鄰的下一個盛水筒為Q，在筒車旋轉一周的過程中，求P與Q距離水面高度差的最大值（結果精確到0.1）．參考數據：，，，．【答案】（1）m    （2）m【解析】【分析】（1）根據題意P從出發(fā)到開始倒水入槽用時40秒，可知線段OA按逆時針方向旋轉了，由，可求圓的半徑，由題意可知以OA為終邊的角為，由此即可求出P距離水面的高度；（2）由題意可知P轉動的角速度為rad/s，易知P開始轉動t秒后距離水面的高度的解析式，設P，Q兩個盛水筒分別用點B，C表示，易知，點C相對于點B始終落后rad，求出Q距離水面的高度，可得則P，Q距離水面的高度差，再根據三角函數的性質，即可求出結果.【小問1詳解】解：由于筒車轉一周需要120秒，所以P從出發(fā)到開始倒水入槽的40秒，線段OA按逆時針方向旋轉了，因為A點坐標為，得，以OA為終邊的角為，所以P距離水面的高度m．【小問2詳解】解：由于筒車轉一周需要120秒，可知P轉動的角速度為rad/s，又以OA為終邊的角為，則P開始轉動t秒后距離水面的高度，．如圖，P，Q兩個盛水筒分別用點B，C表示，則，點C相對于點B始終落后rad，此時Q距離水面的高度．則P，Q距離水面的高度差，．利用，可得．當或，即或時，最大值為．所以，筒車旋轉一周的過程中，P與Q距離水面高度差的最大值約為m．22. 已知函數．（1）證明：；（2）若存在一個平行四邊形的四個頂點都在函數的圖象上，則稱函數具有性質P，判斷函數是否具有性質P，并證明你的結論；（3）設點，函數．設點B是曲線上任意一點，求線段AB長度的最小值．【答案】（1）證明見解析；    （2）函數具有性質P，證明見解析；    （3）.【解析】【分析】（1）直接利用對數的運算求解；（2）取函數圖象上四個點，證明函數具有性質P；（3）設（或），求出,再換元利用二次函數求函數的最值得解.【小問1詳解】解：【小問2詳解】解：由（1）知，的圖象關于點中心對稱，取函數圖象上兩點，，顯然線段CD的中點恰為點M；再取函數圖象上兩點，，顯然線段EF的中點也恰為點M．因此四邊形CEDF的對角線互相平分，所以四邊形CEDF為平行四邊形，所以函數具有性質P．【小問3詳解】解：，則（或），則，記（或），則，記，則，所以，當，即時，． 
 

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