?考點19 直線和圓的方程（核心考點講與練）

一、直線與方程
1.直線的傾斜角
(1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角.
(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0；
(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π).
2.直線的斜率
(1)定義：直線y＝kx＋b中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線斜率不存在.
(2)計算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k＝(x1≠x2).若直線的傾斜角為θ(θ≠)，則k＝tan__θ.
3.直線方程的五種形式
名稱
幾何條件
方程
適用條件
斜截式
縱截距、斜率
y＝kx＋b
與x軸不垂直的直線
點斜式
過一點、斜率
y－y0＝k(x－x0)
兩點式
過兩點
＝
與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
截距式
縱、橫截距
＋＝1
不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直線
二、 兩條直線的位置關(guān)系
1.兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行.
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.
2.兩直線相交
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標(biāo)與方程組的解一一對應(yīng).
相交?方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解；
平行?方程組無解；
重合?方程組有無數(shù)個解.
3.距離公式
(1)兩點間的距離公式
平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝.
特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝.
(2)點到直線的距離公式
平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行線間的距離公式
一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
三、 圓的方程
1.圓的定義和圓的方程
定義
在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓
方程
標(biāo)準(zhǔn)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圓心C(a，b)
半徑為r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要條件：D2＋E2－4F＞0
圓心坐標(biāo)：
半徑r＝
2.點與圓的位置關(guān)系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：
(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；
(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；
(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).
四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1.直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由
消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.
方法位置
關(guān)系
幾何法
代數(shù)法
相交
d0
相切
d＝r
Δ＝0
相離
d>r
Δ0，b>0)對稱，則＋的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，由題意可得圓心在直線ax－by＋6＝0上，從而可得a＋3b＝3，所以＋＝ (a＋3b)，化簡后利用基本不等可求得答案
【詳解】由圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝39，
∵圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋6＝0(a>0，b>0)對稱，
∴該直線經(jīng)過圓心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，
∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
∴＋＝ (a＋3b)＝
≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時取等號，
故選：C.

二、多選題
6．（2022·遼寧鞍山·二模）已知M為圓C：上的動點，P為直線l：上的動點，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．直線l與圓C相切 B．直線l與圓C相離
C．|PM|的最大值為 D．|PM|的最小值為
【答案】BD
【分析】根據(jù)圓心到直線l得距離，可知直線l與圓C相離；
∵P、M均為動點，對|PM|先固定點P可得，再看不難發(fā)現(xiàn)，
即．
【詳解】圓C：得圓心,半徑
∵圓心到直線l：得距離
∴直線l與圓C相離
A不正確，B正確；

C不正確，D正確；
故選：BD．
7．（2022·海南?？凇つM預(yù)測）已知a>0，圓C：，則（???????）
A．存在3個不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切
B．存在2個不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等
C．存在2個不同的a，使得圓C過坐標(biāo)原點
D．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分
【答案】ACD
【分析】本題考查圓的方程與性質(zhì)以及函數(shù)圖象．
當(dāng)圓心縱(橫)坐標(biāo)的絕對值等于半徑時，圓與x(y)軸相切，可判定A；當(dāng)圓心到x軸或y軸距離相等時，在軸上截得的線段相等，可判定B；對于C，只要圓心到原點距離等于半徑即可；當(dāng)直線過圓心時，平分圓的面積，可判定D.
【詳解】由條件可知，圓C的半徑為1，圓心坐標(biāo)為（a，lna），即圓心在曲線y＝ln x上運(yùn)動．
對于A，當(dāng)a＝1時，圓C與y軸相切，當(dāng)，即a＝e或時，圓C與x軸相切，所以滿足要求的a有3個，A正確；
對于B，若圓C在x軸和y軸上截得的線段相等，則圓心到x軸和y軸的距離相等，故圓心在上，又圓心在y＝lnx上，作圖可知曲線y＝lnx與y＝x沒有公共點，與y＝-x有一個交點，所以滿足要求的a僅有一個，B錯誤；

對于C，若圓C過坐標(biāo)原點，則，如下圖可知，曲線y＝lnx與有兩個交點，所以滿足要求的a有2個，C正確；

對于D，若圓C的面積被直線平分，則直線經(jīng)過圓心（a，ln a），計算可知曲線y＝lnx在x＝e處的切線恰好為，即滿足要求的a僅有一個，故D正確．
故選：ACD.
【點睛】已知圓C：，有如下結(jié)論：
(1)當(dāng)或時，圓C與y軸或x軸相切；
(2)當(dāng)時，圓心到兩軸距離相等，若與兩軸相交，則截得的線段相等；
(3)若圓C過原點，則；
(4)若直線過圓心，則平分圓的面積.
8．（2022·重慶·二模）已知點，過直線上一點作圓的切線，切點分別為，則（???????）
A．以線段為直徑的圓必過圓心
B．以線段為直徑的圓的面積的最小值為
C．四邊形的面積的最小值為4
D．直線在軸上的截距的絕對值之和的最小值為4
【答案】BC
【分析】利用直線與圓之間的關(guān)系，列出點到直線距離公式，逐個選項進(jìn)行判斷即可
【詳解】由題知，可設(shè)點，則以BC為直徑的圓方程為，
兩圓做差可得直線，易得直線過定點，故圓心到直線的距離不是定值，不恒成立，故選項不正確；
因為直線過定點，故當(dāng)時最小，，故最小半徑為，所以線段為直徑的圓的最小面積為，B選項正確；
四邊形的面積，
，故，C選項正確；
當(dāng)時，直線過原點，兩截距均為0，故選項不正確.
故選：BC
三、填空題
9.（2021浙江省高三高考數(shù)學(xué)預(yù)測卷（二））已知直線，若直線與直線平行，則實數(shù)的值為______，動直線被圓截得弦長的最小值為______．
【答案】 ①. ②.
【分析】根據(jù)兩直線的一般方程，利用直線平行的公式，代入即可求解；首先判斷直線過定點，利用直線與圓的位置關(guān)系，判斷當(dāng)過點且與垂直的弦的弦長最短.
【詳解】由題意得，所以．
當(dāng)時，兩直線重合，舍去，故．
因為圓的方程可化為，
即圓心為，半徑為5．
由于直線過定點，
所以過點且與垂直的弦的弦長最短，
且最短弦長為．
故答案為：；
四、解答題
10．（2022·江西南昌·二模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；
(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求a.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)化為極坐標(biāo)方程，根據(jù)公式將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）根據(jù)圓心角的性質(zhì)得到，即可得到圓心到直線的距離為，利用點到直線的距離公式得到方程，解得，再檢驗即可；
(1)解：因為曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）
所以，所以曲線C的普通方程為，即，
又，所以，
所以曲線C的極坐標(biāo)方程為.
因為直線l的極坐標(biāo)方程為，
所以，
即直線l的直角坐標(biāo)方程為.
(2)解：設(shè)曲線C的圓心為，半徑，因為點O在圓上，且，
所以，則點到直線的距離為，
所以，則或，
當(dāng)時，直線l過原點O，不符合題意；
所以.
圓與圓的位置關(guān)系
1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測）已知圓：截直線所得線段的長度是，則圓與圓：的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離
【答案】C
【分析】由題可知圓的圓心為，半徑為，點到直線的距離為，因為弦長為，則由弦長公式可求得，即可得圓心，半徑.又因為圓的圓心，半徑，則兩圓的圓心距為，故兩圓外切.
【詳解】由題可知圓的圓心為，半徑為，
則到直線距離

則弦長，
解得，則，，
又因為，，
所以圓心距，兩圓外切
故選：C.
2.（2021江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)高三第一次階段考試）已知，分別為圓：與：的直徑，則的取值范圍為________．
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量的加法法則可知，，代入中化簡整理后得，將平面向量進(jìn)行平移后運(yùn)算可推出，，從而得解．
【詳解】解：根據(jù)題意，作出如下所示的圖形，



．
而，，，
，．
故答案為：
直線與圓的綜合問題
1.過x軸上一點P向圓作圓的切線，切點為A、B，則面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一由點P離原點越遠(yuǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處時，的面積趨向于無窮大；當(dāng)點P趨近于原點時，的面積逐漸變小，利用極限法，由點P與原點重合求解； 解法二設(shè)，
，由 求解.
【詳解】解法一（極限法）：如圖所示，

若點P離原點越遠(yuǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處時，越來越長，、也隨著越來越長，
顯然的面積趨向于無窮大；當(dāng)點P趨近于原點時，的面積逐漸變小，
當(dāng)點P與原點重合時，，且此時的為正三角形，面積最小，
其最小面積為，
解法二（直接解法）：設(shè)，則，，
設(shè)，則有，，
于是，
顯然上式是的單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時，取最小值，
故選：A.
2.（2020北京市北京二中高三12月份月考）動點與給定的邊長為1的正方形在同一平面內(nèi)，設(shè)此正方形的頂點為，，，（逆時針方向），且點到，，的距離分別為，，．若，則點的軌跡是________；點到點的最大距離為________．
【答案】 ①. 圓； ②.
【分析】以B為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，得出點P的軌跡是圓，結(jié)合圖象可得P點到D點的最大距離.
【詳解】以B為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，∵，，，，
不妨設(shè)，則，，，
又∵，∴，
整理，可得，
所以點的軌跡是圓，其方程為（注：坐標(biāo)系建立的不同，圓的方程的形式不同）.
結(jié)合圖象可得，點到點的最大距離為，

故答案為：圓；.

1.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（ ）
A. 圓 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 直線
【答案】A
【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.
【詳解】設(shè)，以AB中點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則：，設(shè)，可得：，
從而：，
結(jié)合題意可得：，
整理可得：，
即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.
故選：A.
【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
2.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】B
【分析】當(dāng)直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.
【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，
設(shè)，當(dāng)過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時
根據(jù)弦長公式得最小值為.
故選：B.
【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.
3.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+
【答案】D
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點為，則，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，
設(shè)直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.
4.（2021年全國高考甲卷）拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．
（1）求C，的方程；
（2）設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；
（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點到直線的距離，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，
，
所以拋物線的方程為，
與相切，所以半徑為，
所以的方程為；
（2）[方法一]：設(shè)
若斜率不存在，則方程為或，
若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，
則過與圓相切的另一條直線方程為，
此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；
若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)
則過與圓相切的直線為，
又，
，此時直線關(guān)于軸對稱，
所以直線與圓相切；
若直線斜率均存在，
則，
所以直線方程為，
整理得，
同理直線的方程為，
直線的方程為，
與圓相切，
整理得，
與圓相切，同理
所以為方程的兩根，
，
到直線的距離為：

，
所以直線與圓相切；
綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.
[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．
當(dāng)時，同解法1．
當(dāng)時，直線的方程為，即．
由直線與相切得，化簡得，
同理，由直線與相切得．
因為方程同時經(jīng)過點，所以的直線方程為，點M到直線距離為．
所以直線與相切．
綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．
【整體點評】
第二問關(guān)鍵點：過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；法一是要充分利用的對稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示，法二是利用相切等條件得到的直線方程為，利用點到直線距離進(jìn)行證明，方法二更為簡單，開拓學(xué)生思路

一、單選題
1．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為A，是拋物線上的點.若軸，則以為直徑的圓截直線所得的弦長為(???????)
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】求出M坐標(biāo)及直線AM的方程，根據(jù)圓的弦長公式即可求解．
【詳解】由題知，，，，
∵軸，∴，根據(jù)拋物線對稱性，不妨取，
則，
原點O到直線AM的距離為：，
∴以為直徑的圓截直線所得的弦長為：﹒
故選：B﹒
2．（2022·江西南昌·二模（文））已知直線與直線垂直，則m=（???????）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線垂直，直接列出方程求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時，，
由知，斜率為2，
所以直線與不垂直，不符合題意；
當(dāng)時，，
因為直線與直線垂直，
所以，解得.
故選：C.
3．（2022·天津河西·一模）拋物線的準(zhǔn)線與圓相交于A，B兩點，則（???????）．
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】準(zhǔn)線為，圓心為，，設(shè)圓心到直線的距離為，則，即可求解.
【詳解】由題，拋物線的準(zhǔn)線為，圓的圓心為，，
設(shè)圓心到直線的距離為，易得，
所以，
故選：A
4．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知直線恒過定點M，點N在曲線上，若（O為坐標(biāo)原點），則的面積為（???????）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先由直線過定點求出，再結(jié)合以及N在曲線上求出，直接計算面積即可.
【詳解】易知直線過定點，即，可得，設(shè)，
則，解得或，故，
故的面積為.
故選：A.
5．（2022·安徽·蕪湖一中三模（文））直線平分圓的周長，過點作圓C的一條切線，切點為Q，則（???????）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】由條件求出參數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì).
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
因為直線平分圓的周長，
所以直線經(jīng)過，所以，故，
由已知，，，圓的半徑為3，
所以，
故選：B.

6．（2022·山西臨汾·三模（理））已知直線l過圓的圓心，且與直線2x＋y－3＝0垂直，則l的方程為（???????）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
【答案】D
【分析】利用配方法求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合垂直直線之間斜率的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，所以圓心坐標(biāo)為，
因為直線2x＋y－3＝0的斜率為，
所以與直線2x＋y－3＝0垂直的直線l的斜率為，
所以l的方程為：，
故選：D
二、多選題
7．（2022·江蘇·海安高級中學(xué)二模）已知直線l過點，點，到l的距離相等，則l的方程可能是(???????)
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分直線l斜率存在和不存在進(jìn)行討論﹒當(dāng)l斜率存在時，設(shè)其方程為，根據(jù)點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，解方程即可求直線l的方程．
【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線l的方程為，此時點到直線的距離為5，點到直線的距離為1，此時不成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
∵點到直線的距離相等，
，解得，或，
當(dāng)時，直線的方程為，整理得，
當(dāng)時，直線的方程為，整理得
綜上，直線的方程可能為或
故選：BC．
8．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知直線l過點（3，4），點A（－2，2），B（4，－2）到l的距離相等，則l的方程可能是（???????）
A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0
C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0
【答案】BC
【分析】分A，B在直線l同側(cè)和A，B在直線l異側(cè)兩種情況討論，從而可得出答案.
【詳解】解：A，B在直線l同側(cè)時，，
，即，
A，B在直線l異側(cè)時，l過中點，
∴，，即，
故選：BC．
9．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知Р是圓上的動點，直線與交于點Q，則（???????）
A．
B．直線與圓O相切
C．直線與圓O截得弦長為
D．長最大值為
【答案】ACD
【分析】由兩直線垂直的條件判斷A，由圓心到直線的距離判斷B，由到直線的距離結(jié)合勾股定理求弦長判斷C，求出到圓心的距離的最大值加圓半徑判斷D．
【詳解】圓半徑為2，
，所以，A正確；
圓心到的距離為，與圓相離，B錯誤；
圓心到直線的距離為，所以弦長為，C正確；
由，得，即，
所以，
所以長最大值為，D正確
故選：ACD．
10．（2022·湖北·二模）設(shè)動直線交圓于A，B
兩點（點C為圓心），則下列說法正確的有（???????）
A．直線l過定點
B．當(dāng)取得最小值時，
C．當(dāng)最小時，其余弦值為
D．的最大值為24
【答案】AD
【分析】對A：將原方程轉(zhuǎn)化為，從而即可求解；對B：當(dāng)取得最小值時，，從而即可求解；對C：當(dāng)最小，即取得最小值時，，從而即可求解；對D：由，從而即可求解.
【詳解】解：由題意，圓心坐標(biāo)為，半徑，
對A：直線，即，
由，可得直線l過定點，故選項A正確；
對B：當(dāng)取得最小值時，，所以，即，
所以，故選項B錯誤；
對C：當(dāng)最小，即取得最小值時，，此時，
從而可得，所以，故選項C錯誤；
對D：，
所以當(dāng)取得最大值，即為直徑時，，此時，故選項D正確.
故選：AD.
11．（2022·廣東深圳·二模）P是直線上的一個動點，過點P作圓的兩條切線，A，B為切點，則（???????）
A．弦長的最小值為 B．存在點P，使得
C．直線經(jīng)過一個定點 D．線段的中點在一個定圓上
【答案】ACD
【分析】設(shè)，則為的中點，且，再根據(jù)勾股定理、等面積法及銳角三角函數(shù)得到、，根據(jù)的范圍，即可判斷A、B，設(shè)，求出以為直徑的圓的方程，兩圓方程作差，即可得到切點弦方程，從而判斷C，再根據(jù)圓的定義判斷D；
【詳解】解：依題意，即，設(shè)，則為的中點，且，
所以，所以，，又，
所以，，所以，，故A正確，B不正確；
設(shè)，則，所以以為直徑的圓的方程為，
則，即，所以直線的方程為，所以直線過定點，故C正確；
又，，所以的中點在以為直徑的圓上，故D正確；
故選：ACD

三、填空題
12．（2022·河北唐山·二模）若圓的圓心在直線上，則C的半徑為______．
【答案】
【分析】先求得參數(shù)D，再去求C的半徑即可解決.
【詳解】圓的圓心為
則有，則，則C的半徑為
故答案為：
13．（2022·上海寶山·二模）已知直線與直線互相平行且距離為.等差數(shù)列的公差為，且，令，則的值為__．
【答案】52
【分析】根據(jù)平行線的距離求出d和m的值，利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)求出通項公式，進(jìn)而求和即可.
【詳解】由題意知，，
因為兩直線平行，所以，解得，
由兩平行直線間距離公式得，
由，解得或.
又，所以，即，
解得，所以.
所以
．
故答案為：52.
14．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知點A為圓和在第一象限內(nèi)的公共點，過點A的直線分別交圓，于C，D兩點（C，D異于點A），且，則直線CD的斜率是___________.
【答案】1或5
【分析】先求出.設(shè)直線CD為：.過作于F，過作于E. 由垂徑定理表示出，
.根據(jù)列方程，解出k的值.
【詳解】因為點A為圓和在第一象限內(nèi)的公共點，
所以由解得：（y=-1舍去）故.
由題意可知，直線CD的斜率存在，設(shè)其為k，則直線CD為：.
過作于F，過作于E.

則，
由垂徑定理得：，.
因為，所以，
解得：或.
故答案為：1或5.
四、解答題
15．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，且．
(1)求實數(shù)m的值及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)不過點M的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若直線MA，MB的斜率之積為-2，試判斷直線l能否與圓相切？若能，求此時直線l的方程；若不能，請說明理由．
【答案】(1)；(2)能與圓相切；.
【分析】(1)根據(jù)點在拋物線上和拋物線的定義列出關(guān)于m、p的方程組，解之即可；
(2)設(shè)點和直線AB方程，根據(jù)兩點坐標(biāo)表示直線斜率和韋達(dá)定理求得，可知直線AB恒過定點且該定點在圓上M上，根據(jù)點M、N坐標(biāo)求出k即可.
(1)由題意得，
因為點在拋物線上，所以，
由拋物線的定義，得，
則，解得，
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)由(1)得，設(shè)點，
則，所以，
得；設(shè)直線AB方程為，
有，
所以，所以，
得，所以直線AB方程為，
即直線AB恒過拋物線內(nèi)部的定點，
又圓正好經(jīng)過點，
當(dāng)且僅當(dāng)直線AB與半徑MN垂直時直線AB與圓M相切，
此時，所以直線AB方程為.
16．（2022·安徽·安慶一中模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左、右焦點分別為、，動直線過與相交于，兩點．
(1)當(dāng)軸時，求的內(nèi)切圓的方程；
(2)求內(nèi)切圓半徑的最大值．
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）易求，的坐標(biāo)，進(jìn)而求得內(nèi)切圓的圓心和半徑（2）設(shè)直線的方程為：，以為參數(shù)，運(yùn)用等面積法將內(nèi)切圓半徑表示為的函數(shù)，求其最值即可
(1)由，可得，，，，
由已知直線，則由
不妨設(shè)，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則．解得
因為為等腰三角形，故圓心坐標(biāo)為，
所以的內(nèi)切圓的方程為：
化簡得：
(2)設(shè)內(nèi)切圓半徑為，面積為，，，
則，又．
所以
設(shè)直線的方程為：，
與橢圓聯(lián)立整理得，
則，
由，所以
所以，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號
故內(nèi)切圓半徑的最大值為1



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