1.橢圓的定義
平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.
其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a＞c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a＜c，則集合P為空集.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1.橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于|F1F2|，避免了動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段或不存在的情況.
2.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系數(shù)法).先“定位”，就是先確定橢圓和坐標(biāo)系的相對(duì)位置，以橢圓的中心為原點(diǎn)的前提下，看焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；再“定量”，就是根據(jù)已知條件，通過解方程(組)等手段，確定a2，b2的值，代入所設(shè)的方程，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.若不能確定焦點(diǎn)的位置，這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程常可設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.解決中點(diǎn)弦、弦長(zhǎng)及最值與范圍問題一般利用“設(shè)而不求”的思想，通過根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)建方程求解參數(shù)、計(jì)算弦長(zhǎng)、表達(dá)函數(shù).
4.求橢圓離心率的3種方法
(1)直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．
(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．
(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．
橢圓的定義
一、單選題
1．（2022·內(nèi)蒙古通遼·二模（理））橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓方程可得，再結(jié)合三角形周長(zhǎng)，得，進(jìn)而可得離心率.
【詳解】因?yàn)?，所?
因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，所以，
所以橢圓的離心率為，
故選：B.
2．（2022·天津市第四十七中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知分別是橢圓和雙曲線的公共的左右焦點(diǎn)，是的離心率，若在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且滿足，則的關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先確定，再利用勾股定理、橢圓、雙曲線的定義，即可得出結(jié)論.
【詳解】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，所以，
所以.
故選：A.
3.（2021廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)等九校聯(lián)考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率為，點(diǎn)A是橢圓上位于x軸上方的一點(diǎn)，且，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】依題意可得，根據(jù)橢圓的定義可得，即可得到為等邊三角形，從而得到，即可得到直線的斜率；
【詳解】解：依題意，即，又，，，所以，所以為等邊三角形，即為橢圓的上頂點(diǎn)，所以，所以故選：B
二、多選題
4．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為，．P是橢圓上異于，的點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．周長(zhǎng)為4B．面積的最大值為
C．的最小值為D．若面積為2，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為
【答案】BC
【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A，利用橢圓的性質(zhì)可得面積最大值判斷B，由可判斷C，由三角形面積求得點(diǎn)坐標(biāo)后可判斷D．
【詳解】由題意，，，短軸一個(gè)端點(diǎn)，
對(duì)于A，由題知，故周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，利用橢圓的性質(zhì)可知面積最大值為，故B正確；
對(duì)于C，，設(shè)，從而,所以，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>則，，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
5．（2022·山東濟(jì)寧·二模）設(shè)橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為?，上?下頂點(diǎn)分別為?，點(diǎn)P是C上異于?的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若C的離心率為，則直線與的斜率之積為
B．若，則的面積為
C．若C上存在四個(gè)點(diǎn)P使得，則C的離心率的范圍是
D．若恒成立，則C的離心率的范圍是
【答案】BD
【分析】A. 設(shè)，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 求出的面積為所以該選項(xiàng)正確；
C. 求出，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. 若恒成立，所以，所以該選項(xiàng)正確.
【詳解】解：A. 設(shè)，所以，因?yàn)椋?br>所以.所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 若，則所以則的面積為所以該選項(xiàng)正確；
C. 若C上存在四個(gè)點(diǎn)P使得，即C上存在四個(gè)點(diǎn)P使得的面積為，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. 若恒成立，所以，所以，所以該選項(xiàng)正確.
故選：BD
三、填空題
6．（2022·寧夏·銀川一中二模（文））已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，為橢圓C上任意一點(diǎn)，則的最小值為______．
【答案】1
【分析】由題知，故，進(jìn)而得的最小值為.
【詳解】解：由橢圓C：知：，故，
所以，
所以，的最小值為.
故答案為：
四、解答題
7．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（文））是橢圓的右焦點(diǎn)，其中.點(diǎn)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，圓過點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，且的周長(zhǎng)小于.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)連接與圓交于點(diǎn)，若與交于點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得出，由橢圓的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可得出的周長(zhǎng)小于，可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得，即可求得、的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，可得出，求出點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合可求得結(jié)果.(1)解：因?yàn)閳A過點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)，.
設(shè)的左焦點(diǎn)為，則的周長(zhǎng)
，
所以，，則，且，故，所以，，.
因此，橢圓的坐標(biāo)方程為.
(2)解：設(shè)，其中，其中，且，
直線的斜率為，所以，直線的方程為，
同理可知直線的方程為，
又，所以，直線的方程為.
聯(lián)立直線、的方程，
可得，解得，
聯(lián)立直線、的方程，
可得，解得.
所以，
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過OA的中點(diǎn)且與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，若四邊形OMAN是正方形，則C的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】待定系數(shù)法去求橢圓C的方程
【詳解】由橢圓方程可知，由四邊形OMAN是正方形可知，
又點(diǎn)M在橢圓C上，則有，解得，
又橢圓C的右焦點(diǎn)為，則，
結(jié)合橢圓中，解得，，則橢圓C的方程為.
故選：A
2.（2021福建省莆田市第十五中學(xué)二模）阿基米德(公元前年—公元前年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“通近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為則橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于a、b的方程組，求解方程組即可得答案．
【詳解】解：由題意，設(shè)橢圓C的方程為，
因?yàn)闄E圓的離心率為，面積為，
所以?=??=1??2?2=7412?=???，解得，
所以橢圓C的方程為，
故選：A.
二、多選題
3．（2022·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，（如圖），離心率為，過的直線垂直于x軸，且在第二象限中交E于點(diǎn)A，直線交E于點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），則下列說法正確的是（ ）
A．若橢圓E的焦距為2，則短軸長(zhǎng)為
B．的周長(zhǎng)為4a
C．若的面積為12，則橢圓E的方程為
D．與的面積的比值為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)橢圓方程的求解以及橢圓的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對(duì)：若橢圓E的焦距為2，則，由離心率，則，
所以，則短軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：根據(jù)橢圓的定義，的周長(zhǎng)為4a，故B正確；
對(duì)：由，故可得，，所以橢圓的方程可寫為，
易知，則，則，
所以，，，則橢圓E的方程為，故C正確；
對(duì)：因?yàn)?，所以，過點(diǎn)B作，
則，，即，
設(shè)，，，則，
代入橢圓方程，整理得，
解得或（舍），
所以，故正確.
故選：BCD．
4．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半徑為2，，則（ ）
A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4
B．橢圓的離心率為
C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是
D．橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)給定圖形，求出橢圓長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)，，再逐項(xiàng)計(jì)算、判斷作答.
【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，橢圓長(zhǎng)軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，
則由截面與圓柱底面成銳二面角得：，解得，A不正確；
顯然，則，離心率，B正確；
當(dāng)以橢圓長(zhǎng)軸所在直線為y軸，短軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，C正確；
橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，D正確.
故選：BCD
5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E的方程為，離心率為，為E上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作兩條直線分別與E交于B，C兩點(diǎn)，且直線AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
B．直線BC的斜率為定值
C．點(diǎn)O到直線BC的距離為定值
D．若，則直線BC的方程為
【答案】BD
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用點(diǎn)在曲線上和橢圓離心率公式及橢圓中的關(guān)系即可求解.
對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)出直線AB的方程與橢圓聯(lián)立，消去，得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，代入直線AB求出點(diǎn)B縱坐標(biāo)，利用已知條件寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)求斜率公式即可求解.
對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)出直線BC的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立直線BC與橢圓的方程, 消去，得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出橫坐標(biāo)的關(guān)系，由，利用兩直線垂直的充要條件即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意得，，結(jié)合，得，，所以橢圓E的長(zhǎng)周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)B，由A得橢圓E的方程為，設(shè)，，由題意知直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，
得，
則，得，，即.
因?yàn)橹本€AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ)，所以直線AC的斜率為﹣k，同理可得，故直線BC的斜率，為定值，故B正確.
對(duì)于選項(xiàng)C，由B知可設(shè)直線BC的方程為，則原點(diǎn)O到直線BC的距離，不是定值，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立直線BC與橢圓的方程，得，
整理得，，即，則，，
由，得，整理得，得，，此時(shí)直線BC的方程為，故D正確.
故選：BD.
三、填空題
6．（2022·遼寧鞍山·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，存在非零實(shí)數(shù)，使得，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為________．
【答案】
【分析】設(shè)，先說明是的重心，點(diǎn)為的內(nèi)心，求出，得到即得解.
【詳解】解：設(shè)，因?yàn)?，所以是的重心?br>因?yàn)椋裕?br>所以, 所以點(diǎn)在的角平分線上，
因?yàn)椤螦CB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，所以點(diǎn)為的內(nèi)心.
所以點(diǎn)，即，
又，所以與軸平行，又，
所以,
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，，
當(dāng)是橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，所以不能取到橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)；
當(dāng)是橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)，與已知存在非零實(shí)數(shù)，使得矛盾，所以不能取到橢圓的短軸的端點(diǎn).
又橢圓的焦距為2，所以橢圓的方程為.
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：
四、解答題
7．（2022·山東泰安·二模）已知橢圓C：過點(diǎn)，過其右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l：與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為Q，在y軸上是否存在定點(diǎn)P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，
【分析】（1）直接由橢圓C過點(diǎn)和解方程即可；
（2）先聯(lián)立直線和橢圓，通過∠EQP＝2∠EFP得到點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF，表示出，由解出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.
(1)由題知，橢圓C過點(diǎn)和，
所以，解得
所以橢圓C的方程為．
(2)
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，設(shè)，，
由，得，∴，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF
，
∴
∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定點(diǎn)，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用∠EQP＝2∠EFP得到點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，進(jìn)而得到，表示出，，聯(lián)立直線和橢圓后，由韋達(dá)定理及建立方程解出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.
8．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率，且點(diǎn)，在橢圓上．
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且在橢圓位于x軸上方的部分，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，，直線與橢圓交于點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）由題意列方程組，求出，即可得橢圓C的方程；
（2）先設(shè)直線的方程為()，求出的坐標(biāo)，再由題設(shè)得到直線的方程為，求出的坐標(biāo)，由面積求出
的值，即可得到直線的方程
（1）由已知，有，解得，
所以橢圓C的方程為；
(2)由（1）知，，.設(shè)直線的方程為()，
則，
直線與橢圓C的交點(diǎn)滿足方程組，
消去y得到，
解得.
設(shè)，由題意，
有，解得.
進(jìn)而得到直線的方程為，
其與橢圓C的交點(diǎn)滿足方程組
消去x得到：，
解得，進(jìn)而.
，
點(diǎn)G到直線的距離為.
因此，，
化簡(jiǎn)得，解得或，
所以直線的方程為或
橢圓的幾何性質(zhì)
1.（2021天津市第二中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓離心率e的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題設(shè)易知，設(shè)有，應(yīng)用勾股定理得到關(guān)于的方程，利用方程有解，結(jié)合判別式構(gòu)造不等式求橢圓離心率e的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)，知：，若，則，
∴，整理得，
∴，可得，又，
∴.
故選：D
直線與橢圓的位置關(guān)系
1.（2022北京市一六一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，直線.
（1）若橢圓W的左頂點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，求m的值；
（2）過F的直線與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C，D（不與點(diǎn)A，B重合），直線與直線相交于點(diǎn)M，求證：A，D，M三點(diǎn)共線.
【答案】（1）（2）證明見解析.
【分析】(1)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，根據(jù)題意可得的中點(diǎn)在直線上且，列出方程組，解方程組即可；
(2)對(duì)直線斜率是否存在分類討論，當(dāng)直線CD斜率k不存在時(shí)，求出點(diǎn)A、M、C、D坐標(biāo)，
利用可證得A、D、M三點(diǎn)共線；當(dāng)直線CD斜率存在時(shí)，設(shè)直線
：，，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消y得到關(guān)于x
的一元二次方程，將表示為含有k的算式，得出即可.
（1）由題意知，
直線的斜率存在，且斜率為，
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，
所以線段的中點(diǎn)在直線上，又，，
有?1?×?6=?11+?×?2?4=0，解得或，
所以；
（2）已知，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：x=1，此時(shí)，
有，所以直線，當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，所以，
即A、D、M三點(diǎn)共線；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，
則，得，
，
設(shè)，則，
直線BC方程為，令，得，
所以直線AD、AM的斜率分別為，
，
上式的分子
，
所以，即A、D、M三點(diǎn)共線.
綜上，A、D、M三點(diǎn)共線.
【規(guī)律方法技巧】直線與橢圓的位置關(guān)系問題，一般需要聯(lián)立方程組、用判別式、韋達(dá)定理.證明三點(diǎn)共線可以利用直線的斜率相等或向量共線處理.
2.（2021四川省成都市嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓C： (a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A作斜率為的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB⊥OB，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的離心率e；
（2）若b＝1，過點(diǎn)F作與直線AB平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，
①求直線OP的斜率與直線OQ的斜率乘積；
②點(diǎn)M滿足2＝，直線MQ與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求的值.
【答案】（1）； （2）①－；②
【分析】（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合，進(jìn)而可得離心率；
（2）①由（1）可得橢圓的方程，寫出直線方程，設(shè)，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，，，再計(jì)算，即可得答案；
②設(shè)點(diǎn)，，由，可得，再由，推出點(diǎn)坐標(biāo)，再用坐標(biāo)表示，，求出點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)，，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)即可得答案．
【小問1詳解】
解：已知，，，則，，
代入橢圓的方程有，所以，即，
所以，
所以．
【小問2詳解】
解：①由（1）可得，，所以橢圓的方程為，
設(shè)直線，，，，，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，
所以△，，，
所以，
所以．
②設(shè)點(diǎn)，， ，則，
又因?yàn)?，所以點(diǎn)，，
所以，，，，
則，所以，即，
因?yàn)辄c(diǎn)，，在橢圓上，
所以，，，，
所以，
由①可知，
所以，則，
所以．
1.（2021年全國(guó)高考乙卷）設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn)，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?，所?br>，
而，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題解題關(guān)鍵是熟悉橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，由兩點(diǎn)間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．易錯(cuò)點(diǎn)是容易誤認(rèn)為短軸的相對(duì)端點(diǎn)是橢圓上到上定點(diǎn)B最遠(yuǎn)的點(diǎn)，或者認(rèn)為是橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)距離最大，這些認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數(shù)后，自變量的取值范圍是一個(gè)閉區(qū)間，而不是全體實(shí)數(shù)上求最值.．
2.（2021年全國(guó)高考乙卷）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．
【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以
，
因?yàn)?，?dāng)，即 時(shí)，，即 ，符合題意，由可得，即 ；
當(dāng)，即時(shí)， ，即，化簡(jiǎn)得， ，顯然該不等式不成立．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．
3.（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A. 13B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．
【詳解】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】橢圓上的點(diǎn)與橢圓的兩焦點(diǎn)的距離問題，常常從橢圓的定義入手，注意基本不等式得靈活運(yùn)用，或者記住定理：兩正數(shù)，和一定相等時(shí)及最大，積一定，相等時(shí)和最小，也可快速求解.
4.（2021年全國(guó)高考甲卷）已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．
【答案】
【分析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.
【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，
且，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
所以，
，即四邊形面積等于.
故答案為：.
一、單選題
1．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)（理））?是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，滿足，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由可解得，然后利用角平分線的性質(zhì)可求得；在中利用余弦定理即可求出離心率的值.
【詳解】由題意可設(shè)，，，（）；
則：，
，
由可得：，解得，即；
由可知是的角平分線，
可得：，
又，則；
在中：，解得；
故選：A
2．（2022·湖北武漢·二模）若橢圓的離心率為，則的值為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】分和，利用離心率的定義求解.
【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，則，解得；
當(dāng)，即時(shí)，則，解得，
綜上：的值為或，
故選：C
3．（2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下列與橢圓焦點(diǎn)相同的橢圓是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：“焦點(diǎn)跟著大的走”，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】由題意得，橢圓C中，，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為和；
對(duì)于A選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，不滿足題意；
對(duì)于B選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，，不滿足題意；
對(duì)于C選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，不滿足題意；
對(duì)于D選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，，滿足題意；
故答案為：D.
4．（2022·廣東汕頭·二模）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線AB過與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)為正三角形時(shí)，該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為，
設(shè)，則有，
由橢圓的定義可知：，
，解得：，，
在中，由余弦定理可知：，
故選：B
5．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)自主研發(fā)的“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器成功著陸月球，并通過“鵲橋”中繼星傳回了月球背面影像圖．假設(shè)“嫦娥四號(hào)”在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，其軌道的離心率為e，設(shè)月球的半徑為R，“嫦娥四號(hào)”到月球表面最近的距離為r，則“嫦娥四號(hào)”到月球表面最遠(yuǎn)的距離為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)離月球表面的距離分別為，根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及離心率得出“嫦娥四號(hào)”到月球表面最遠(yuǎn)的距離.
【詳解】橢圓的離心率，設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)離月球表面的距離分別為
則
故選：B
二、多選題
6．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）已知曲線：，焦點(diǎn)為? ，，過的直線與交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的有（ ）
A．是的一條對(duì)稱軸
B．的離心率為
C．對(duì)C上任意一點(diǎn)P皆有
D．最大值為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為在曲線判斷A；根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)在曲線得該曲線為橢圓，對(duì)稱軸為直線和直線，進(jìn)而求頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求離心率判斷B；結(jié)合C選項(xiàng)求焦點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證判斷C；設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，二次函數(shù)最值求解判斷D.
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入曲線方程滿足，故是的一條對(duì)稱軸，正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，由于點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)亦在曲線上，且該曲線是封閉的曲線，
故該曲線為橢圓，其對(duì)稱軸為直線和直線，且橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，
故其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，，，
由于點(diǎn)到橢圓中心的距離為，到橢圓中心的距離，
所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，
所以橢圓的焦距為，故其離心率為，故正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，由B知，半焦距為，且焦點(diǎn)?在直線上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
故，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，由題知直線斜率存在，故設(shè)方程為，則聯(lián)立方程得得，
故，即或，
設(shè)，則，
所以，
到直線的距離為，
所以
令，由于得，故，
所以，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，故正確.
故選：ABD
7．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）“出租車幾何”或“曼哈頓距離”（Manhattan Distance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ)．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對(duì)于任意兩點(diǎn)、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，則為定值
B．對(duì)于平面上任意一點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C．對(duì)于平面上任意三點(diǎn)、、，都有
D．若、為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則最大值為
【答案】AC
【分析】利用題中定理可判斷A選項(xiàng)；作出點(diǎn)的軌跡圖形，求其周長(zhǎng)可判斷B選項(xiàng)；利用絕對(duì)值三角不等式可判斷C選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)、，不妨設(shè)，，利用輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，
則，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，
當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則；
當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則.
作出點(diǎn)的軌跡如下圖所示：
由圖可知，點(diǎn)的軌跡是邊長(zhǎng)為的正方形，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、、，
由絕對(duì)值三角不等式可得，
同理可得，
所以，，即，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，
不妨設(shè)，，
則
，其中為銳角，且，
取，，等號(hào)成立，D錯(cuò).
故選：AC.
8．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，記，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A．的周長(zhǎng)與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)
B．當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值
C．的外接圓半徑最小為
D．的內(nèi)切圓半徑最大為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)橢圓的定義、橢圓離心率的意義，結(jié)合正弦定理和內(nèi)切圓的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】由橢圓定義知，的周長(zhǎng)為，故A正確；顯然當(dāng)位于短軸端點(diǎn)時(shí)的面積最大，由知此時(shí)，故B錯(cuò)誤；由正弦定理知外接圓直徑，由知最大為鈍角，故時(shí)取最小值，故的最小值為，故C正確；設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由知，越大則越大，，故，
故選：ACD
9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上.若是直角三角形，則的面積為（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】AC
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出，再根據(jù)對(duì)稱性只需考慮或.當(dāng)時(shí)，將代入雙曲線方程，求出，即可求出三角形面積，當(dāng)時(shí)，由雙曲線的定義可知，再由勾股定理求出，即可得解；
【詳解】解：由雙曲線可得.根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性只需考慮或.
當(dāng)時(shí)，將代入可得，所以的面積為.
當(dāng)時(shí)，由雙曲線的定義可知，
，由勾股定理可得.
因?yàn)椋?br>所以，此時(shí)的面積為
綜上所述，的面積為4或.
故選：.
三、填空題
10．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為F，A為C上一點(diǎn)，AF與x軸垂直．若的面積為，則C的離心率為__________．
【答案】##0.5
【分析】根據(jù)求解即可.
【詳解】由題知：，解得，即.
故答案為：
11．（2022·湖南衡陽(yáng)·二模）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為橢圓與雙曲線的第一象限的交點(diǎn)，且，則的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】設(shè)，則由橢圓和雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，設(shè)，則可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其范圍
【詳解】解：設(shè)，
由橢圓的定義得①，
由雙曲線的定義得②，
①②得，，
①②得，，
由余弦定理可得，
所以③，
設(shè)，則，解得?∈0,?3
所以，
當(dāng)時(shí)，最大值為時(shí)，的值為2，
所以的取值范圍是.
故答案為：
12．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）橢圓：的左、下頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，則的離心率為____________．
【答案】##
【分析】由題得直線的方程為，直線的方程為，進(jìn)而聯(lián)立方程得，再結(jié)合在曲線上得，即，再解方程即可得答案.
【詳解】解：由題知，，，
所以，直線的方程為，直線的方程為，
因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，
所以，聯(lián)立方程解得，即，
由于點(diǎn)在曲線上，
所以，，整理得，
所以，解得，即的離心率為.
故答案為：
13．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)二模）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是平面上兩點(diǎn)，|F1F2|＝10，圖中的一系列圓是圓心分別為F1，F(xiàn)2的兩組同心圓，每組同心圓的半徑依次是1，2，3，…，點(diǎn)A，B，C分別是其中兩圓的公共點(diǎn)．請(qǐng)寫出一個(gè)圓錐曲線的離心率的值為_____________，使得此圓錐曲線可以同時(shí)滿足：
①以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)；
②恰經(jīng)過A，B，C中的兩點(diǎn)．
【答案】5（或）（答案不唯一）
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合圓錐曲線的定義，分過A，C兩點(diǎn)和過B，C兩點(diǎn)兩種情況求解即可
【詳解】因?yàn)椋?br>若過A，C兩點(diǎn)，則由題意得，
此時(shí)離心率．
若過B，C兩點(diǎn)，則由題意得，
此時(shí)離心率．
故答案為：5（或）（答案不唯一）14．（2022·天津市第四中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，下頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，是等邊三角形.
（1）橢圓的離心率為___________；
（2）設(shè)直線：，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若.
（i）___________；
（ii）已知點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，則橢圓的方程___________.
【答案】
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和離心率公式，即可求出，設(shè)橢圓方程為，聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)，，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，結(jié)合．即可求出的值，根據(jù)四邊形為平行四邊形，可得，即可求出橢圓方程．
【詳解】解：由題意可知，，
，
．
．
，
設(shè)橢圓方程為，
聯(lián)立得解得：，則，
為中點(diǎn)，
，
所以，
則所在的直線方程為，
令，
解得，，
，
解得或（舍．
直線的斜率為1．
，
設(shè)，，
四邊形為平行四邊形，
，
，，，
即，
又點(diǎn)，在橢圓上，，
解得，
，
該橢圓方程為：．
故答案為：；；
15．（2022·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)（理））已知曲線的焦距為8，則___________.
【答案】25或
【分析】由題意知半焦距，再分，討論求解.
【詳解】解：由題意知半焦距，
當(dāng)時(shí)，則曲線C為橢圓，又，
所以；
當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，
所以，
所以.
故a的值為25或.
故答案為：25或
四、解答題16．（2022·湖南衡陽(yáng)·二模）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)為橢圓上異于點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線的斜率之積為.
①證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)；
②求面積的最大值.
【答案】(1)(2)①證明見解析，定點(diǎn)；②
【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓的方程，
（2） ①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合化簡(jiǎn)可得，從而可得或進(jìn)而可求出定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，若直線過定點(diǎn)，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，求解即可，
②設(shè)直線過定點(diǎn)為，則的面積，直線的方程為，代入橢圓方程中，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示出，化簡(jiǎn)換元后利用基本不等式可求得結(jié)果
(1)由于，①
又，②
由①②解得，
橢圓的方程為.
(2)①在（1）的條件下，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由，消去得：，
設(shè)，則，.
又，由題知，
則，且，則.
，
則，
或
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)直線過定點(diǎn)，顯然不適合題意，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為.
此時(shí)直線過定點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，若直線過定點(diǎn)，
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.
滿足.
綜上，直線過定點(diǎn).
②不妨設(shè)直線過定點(diǎn)為.則的面積，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程消去得，
則
所以.
令，則
因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)即），
所以，即面積的最大值為.
17．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知P是離心率為 的橢圓 上任意一點(diǎn)，且P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A是橢圓C的左頂點(diǎn)，直線AP交y軸于點(diǎn)D，E為線段AP的中點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得直線DM與OE交于Q，且點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上，若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)與該圓的方程；若不存在，說明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）由橢圓定義和離心率可得答案；
（2）設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)出直線AP的方程為．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得直線OE的方程、直線DM方程，再聯(lián)立兩個(gè)方程可得答案.
(1)因?yàn)?，所以?br>又，所以，
故橢圓方程為：．
(2)設(shè)存在定點(diǎn)，滿足條件．由已知，
設(shè)直線AP的方程為，
由消去y整理得，
，
所以，，
時(shí)，，
所以直線OE的方程為，①
由中，令，得，從而，
又，所以，
所以直線DM方程為，②
由①②消去參數(shù)k，得，即，③
方程③要表示圓，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)圓的方程為，
時(shí)，在上述圓上，
所以存在定點(diǎn)使直線DM與OE的交點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上，
且定圓方程為：.
18．（2022·河北唐山·二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，橢圓．
(1)求的離心率；
(2)如圖：直線交橢圓于A，D兩點(diǎn)，交橢圓E于B，C兩點(diǎn)．
①求證：；
②若，求面積的最大值．
【答案】(1)(2)①證明過程見解析；②.
【分析】（1）直接將橢圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后代入離心率公式即可；
（2）分別求出、的中點(diǎn)坐標(biāo)，得出中點(diǎn)重合即可證明①；對(duì)于②，分別求出被橢圓截得的弦長(zhǎng)以及到的距離，得出面積表達(dá)式，通過變形式子求出最值.
(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
則橢圓的離心率為
(2)對(duì)于①，設(shè)，，，，
直線與聯(lián)立整理得
則
則的中點(diǎn)坐標(biāo)
同理可知的中點(diǎn)坐標(biāo).
所以與中點(diǎn)重合，故.
對(duì)于②，由①知，直線被橢圓截得弦長(zhǎng)為
把代入得，
把代入得，
到的距離為，
則面積為：

當(dāng)時(shí)，的面積最大值是.
【點(diǎn)睛】本題考查離心率的求法，考查弦長(zhǎng)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、面積公式等幾何關(guān)系的應(yīng)用，解析幾何解題時(shí)應(yīng)注重幾何關(guān)系的尋找，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，屬于難題.
19．（2022·廣東·二模）已知橢圓C：，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線，分別與直線：交于P，Q兩點(diǎn)，證明：四邊形為菱形．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）與x軸垂直時(shí)M的坐標(biāo)代入橢圓方程和聯(lián)立可得答案；
（2）設(shè)的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得直線的方程、直線的方程，再由求出、，可證得可得答案．
(1)由題可知．
當(dāng)與x軸垂直時(shí)，不妨設(shè)M的坐標(biāo)為，
所以，
解得，．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)設(shè)的方程為，，，
聯(lián)立得消去x，得，
易知恒成立，由韋達(dá)定理得，，
由直線的斜率為，得直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，，
由直線的斜率為，得直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，，
若四邊形為菱形，則對(duì)角線相互垂直且平分，下面證，
因?yàn)椋?br>代入韋達(dá)定理得
，
所以，即PQ與相互垂直平分，所以四邊形為菱形．標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
圖形
性質(zhì)范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2

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