考點16  空間幾何體（核心考點講與練）空間幾何體的表面積、體積1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點 軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán) 2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱圓錐圓臺
側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l3.空間幾何體的表面積與體積公式　　名稱幾何體　　　　表面積體積柱　體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐　體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝S底h臺　體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3 1.求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積2.求體積的常用方法直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算
割補(bǔ)法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換3.幾何體的外接球：一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.幾何體的內(nèi)切球：求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.4.截面問題：在高考立體幾何考點中涉及到空間幾何體的截面的地方較多， 如:判斷截面的形狀、計算出空間幾何體的截面周長或面積、或者求與之相關(guān)的體積問題、以及最值問題都在考察之列，但是要順利地解決前面所提到的諸多問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出截面，并判斷其形狀. 空間幾何體的表面積一、單選題1．（2022·海南?？?/span>·模擬預(yù)測）已知圓柱的側(cè)面積等于上、下底面積之和，圓柱的體積與表面積的數(shù)值相同，則該圓柱的高為（       ）A．8 B．4 C．2 D．12．（2022·福建·模擬預(yù)測）已知某圓臺的高為，上底面半徑為，下底面半徑為，則其側(cè)面展開圖的面積為（       ）A． B． C． D．3.（2021湖北省黃石市高三上學(xué)期9月調(diào)研）已知圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的底面面積是（    ）．A．    B．    C．    D．二、多選題 
4．（2022·山東聊城·二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項正確的是（       ）A．底面橢圓的離心率為B．側(cè)面積為C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為D．底面積為5．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知正四棱臺（上下底面都是正方形的四棱臺）．下底面ABCD邊長為2，上底面邊長為1，側(cè)棱長為，則（       ）A．它的表面積為B．它的外接球的表面積為C．側(cè)棱與下底面所成的角為60°D．它的體積比棱長為的正方體的體積大三、填空題6.（2021貴州省貴陽市五校高三上學(xué)期聯(lián)合考試）學(xué)生到工廠參加勞動實踐，用薄鐵皮制作一個圓柱體，圓柱體的全面積為，則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是__________________.7．（2022·廣東廣州·二模）在梯形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為__________．此時該三棱錐的外接球的表面積為__________． 空間幾何體的體積一、單選題1．（2022·遼寧沈陽·二模）現(xiàn)有一個側(cè)面展開圖為半圓形的圓錐，其內(nèi)部放有一個小球，當(dāng)小球體積最大時，該圓錐與小球的體積之比是（       ）A． B． C． D． 2.（2021重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考）在棱長為2的正方體中，點，，，分別為棱，，，的中點，若平面平面，且平面與棱
，，分別交于點，，，其中點是棱的中點，則三棱錐的體積為（    ）A．1    B．    C．    D．3.（2021廣東省廣州市荔灣區(qū)高三上學(xué)期調(diào)研）若圓臺的下底面半徑為4，上底面半徑為1，母線長為5，則其體積為（    ）A.  B.  C.  D. 二、多選題4．（2022·海南?？?/span>·模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，，E，F分別是棱，的中點，則（       ）A．△BDF是等邊三角形 B．直線與BF是異面直線C．平面BDF D．三棱錐與三棱錐的體積相等5．（2022·福建·模擬預(yù)測）已知三棱錐外接球的球心為，外接球的半徑為，，，（為正數(shù)），則下列命題是真命題的是（       ）A．若，則三棱錐的體積的最大值為B．若不共線，則平面平面C．存在唯一一點，使得平面D．的最大值為   三、解答題6．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，且，
，，．(1)求證：；(2)在線段PD上是否存在一點M，使二面角的余弦值為？若存在，求三棱錐體積；若不存在，請說明理由．     與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題1.（2021河南省聯(lián)考高三核心模擬卷）在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為___________.2.（2021江西省臨川一中、臨川一中實驗學(xué)校高三第一次月考）如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為_____________.3．（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些球的最大半徑為（       ）
A． B． C． D． 柱錐臺的軸截面問題一、單選題1．（2022·山東·模擬預(yù)測）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則它的體積為（       ）A． B． C． D．二、多選題2．（2021·廣東中山·模擬預(yù)測）正四棱錐的所有棱長為2，用垂直于側(cè)棱的平面截該四棱錐，則（       ）A．截面可以是三角形B．與底面所成的角為C．與底面所成的角為D．當(dāng)平面經(jīng)過側(cè)棱中點時，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：1三、填空題3．（2022·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知圓錐底面圓半徑為2，母線與底面成角為60°，則圓錐側(cè)面積為__________，若圓錐底面圓周及頂點均在一球上，則該球體積為__________.4．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面PAB是邊長為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則______；若M，N是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為______.5.（2021上海市高三春考模擬卷）已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，過此圓錐的頂點作一截面，則截面面積最大為__________   四、解答題6．（2021·湖南·雅禮中學(xué)二模）在空間直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為圓心，為半徑的球體上任意一點，它到坐標(biāo)原點的距離，可知以坐標(biāo)原點為球心，
為半徑的球體可用不等式表示.還有很多空間圖形也可以用相應(yīng)的不等式或者不等式組表示，記滿足的不等式組{?2+?2+?2?16,??0表示的幾何體為.（1）當(dāng)表示的圖形截所得的截面面積為時，求實數(shù)的值；（2）祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.記滿足的不等式組{?2??2+?2?16,0???4所表示的幾何體為請運用祖暅原理求證與的體積相等，并求出體積的大小.       1.（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（    ）A.  B.  C.  D. 2.（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)試題）已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（    ）A.  B.  C.  D. 3.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（    ）
A.  B.  C.  D. 4.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅰ））已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（    ）A.  B.  C.  D. 一、單選題1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（理））正方體棱長為，動點在線段上（含端點），以下結(jié)論不正確的為（       ）A．三棱錐的體積為定值B．過，，三點若可作正方體的截面，則截面圖形為三角形或平面四邊形C．當(dāng)點和重合時，三棱錐的外接球體積為D．直線與面所成角的正弦值的范圍為2．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）底面半徑為3，表面積為的圓錐的體積為（       ）A． B． C． D．  3．（2022·天津·一模）已知一個圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上?下底面的圓周均在球面上，若球的體積為，則圓柱的體積為（       ）A． B． C． D．
4．（2022·天津河西·一模）一個圓錐的高與底面圓的半徑相等，體積為，圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，則這個正方體的體積為（       ）．A． B．C． D．5．（2022·新疆昌吉·二模（文））在三棱錐中，，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球體積為（       ）A． B． C． D．6．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模（文））攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是底邊長為6 m，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫?cè)面積約為(       )A． B． C． D．二、填空題7．（2022·天津紅橋·一模）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1、、3，則此球的體積為______．  8．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（理））如圖，是邊長為4的正三角形的一條中位線，將沿直線翻折至，當(dāng)三棱錐的體積最大時，過的中點M作該四棱錐的外接球的截面圓，則該截面圓的面積的最小值為___________.
9．（2022·陜西·安康市高新中學(xué)三模（理））已知四面體ABCD中，AC=3，其余棱長均為2，則該四面體外接球的表面積是______．10．（2022·江西贛州·二模（理））我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》把上下兩個面平行且均為矩形的六面體稱為芻童，已知芻童ABCD—中四邊形?四邊形及四邊形都是正方形，，則芻童ABCD—外接球的表面積為___________.11．（2022·四川遂寧·三模（文））稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的體積為，則它的側(cè)面積________.12．（2022·山西臨汾·三模（理））已知四邊形ABCD為菱形，AB=1，∠BAD=60°，將其沿對角線BD折成四面體，使，若四面體的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積為_______．13．（2021·上海·模擬預(yù)測）已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，過此圓錐的頂點作一截面，則截面面積最大為__________14．（2021·全國·模擬預(yù)測）2020年底，中國科學(xué)家成功構(gòu)建了76個光子的量子計算機(jī)“九章”，推動全球量子計算的前沿研究達(dá)到一個新高度.該量子計算機(jī)取名“九章”，是為了紀(jì)念中國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》.在《九章算術(shù)》中，底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”.如圖，棱柱為一“塹堵”，是的中點，，設(shè)平面過點且與平行，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：
①當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為等腰梯形時，該圖形的面積等于；②當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為直角梯形時，該圖形的面積等于；③異面直線與所成角的余弦值為；④三棱錐的體積是該“塹堵”體積的.所有正確結(jié)論的序號是___________.三、雙空題15．（2022·山東濰坊·二模）根據(jù)高中的解析幾何知識，我們知道平面與圓錐面相交時，根據(jù)相交的角度不同，可以是三角形、圓、橢圓、拋物線、雙曲線．如圖，AB是圓錐底面圓O的直徑，圓錐的母線，，E是其母線PB的中點．若平面過點E，且PB⊥平面，則平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的拋物線的一部分，此時拋物線的焦點F到底面圓心O的距離為______；截面把圓錐分割成兩部分，在兩部分內(nèi)部，分別在截面的上方作一個半徑最大的球M，在截面下方作一個半徑最大的球N，則球M與球N的半徑的比值為______．.    四、解答題
16.（2021湖北省金太陽百校聯(lián)考高三上學(xué)期10月月考）如圖，在三棱錐中，平面，，與的長度之和為6米，，現(xiàn)要給三棱錐的側(cè)面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆價格為60元/升.（1）設(shè)米，三棱錐的側(cè)面共需要油漆升，試寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）刷油漆需要請油漆工來完成，工費按照每平方米10元計算，若油漆工工費及油漆費用的總預(yù)算為400元，試問最后油漆工工費及油漆費用是否有可能會超預(yù)算？說明你的理由.    17. 已知圓錐的底面半徑為2，母線長為，點C為圓錐底面圓周上的一點，O為圓心，D是的中點，且．（1）求三棱錐的表面積；（2）求A到平面的距離．  

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