高三年級(jí)10月份階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘2023.10一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式可求得集合，由集合的元素個(gè)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】由得：，又，，共個(gè)元素，的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C.2. 已知向量，，則（    ）A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示求出向量夾角，進(jìn)而求解幾何角.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，所以，又，所以，所以，所以.故選：B.3. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合余弦二倍角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：C4. 如果不等式的正整數(shù)解是1，2，3，那么m的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)椴坏仁?/span>的正整數(shù)解是1，2，3，所以，故選：C5. 垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、投放和搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．垃圾分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，減少垃圾處理量和處理設(shè)備的使用，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等方面的效益．已知某種垃圾的分解率與時(shí)間（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中a，b為非零常數(shù)）．若經(jīng)過(guò)12個(gè)月，這種垃圾的分解率為20%，經(jīng)過(guò)24個(gè)月，這種垃圾的分解率為40%，那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過(guò)（    ）（參考數(shù)據(jù)）A. 64個(gè)月 B. 40個(gè)月 C. 52個(gè)月 D. 48個(gè)月【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得以及，根據(jù)題目要求列方程，化簡(jiǎn)求得正確答案.【詳解】依題意，，兩式相除得，則，由兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，由，得，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得個(gè)月.故選：B6. “中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（    ）A. 30 B.  C.  D. 41【答案】B【解析】【分析】由題意數(shù)列是以首先為，公差為的等差數(shù)列，由此可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和為，進(jìn)而結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排列為：，該數(shù)列即為，被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排列為：，該數(shù)列即為，數(shù)列的第一個(gè)公共項(xiàng)為，由題意被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列所構(gòu)成的數(shù)列也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)即為數(shù)列的第一個(gè)公共項(xiàng)，其公差為數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由等差數(shù)列前項(xiàng)公式得，所以，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.7. 方程（x，，）解的組數(shù)為（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 無(wú)數(shù)組【答案】C【解析】【分析】將方程整理為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得到的圖象，然后結(jié)合且求解即可.【詳解】由題意得，即，即，令，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，圖象如下所示：因?yàn)?/span>，，所以當(dāng)時(shí)成立，又，，所以或，即或，所以方程的解的組數(shù)為2組.故選：C.8. 已知圓的半徑為2，是圓上任意兩點(diǎn)，且是圓的一條直徑，若點(diǎn)滿足（），則的最小值為（    ）A. -1 B. -2 C. -3 D. -4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，得到,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>,由于圓的半徑為，是圓的一條直徑，所以，，又，所以,所以當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運(yùn)算法則，以及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9. 下列結(jié)論正確的是（    ）A. “”是“”的充分不必要條件B. “”是“”的必要不充分條件C. “，有”的否定是“，使”D. “是方程的實(shí)數(shù)根”的充要條件是“”【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)充分條件與必要條件，逐一檢驗(yàn)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由不等式，則或，所以，但，所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B，由，則且；當(dāng)，時(shí)，則，顯然，，所以“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對(duì)于C，“，有”的否定是“，使”，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的定義，故D正確.故選：ABD10. 設(shè)是R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A.  B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. 的周期為4 D. 在上有7個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性的定義以及函數(shù)的零點(diǎn)判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，則，所以的一個(gè)周期為4，故C正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>是上的奇函數(shù)，則，即圖象關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?/span>關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又的周期為4，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于D，由是上的奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱，周期為4，又當(dāng)時(shí)，，令，得，從而作出在上的大致圖象，  注意到，，所以在上有8個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11. 已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)和，的最小正周期為T，則（    ）A. T可能取B. 在上至少有3個(gè)零點(diǎn)C. 若函數(shù)的圖像在上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)共有4個(gè)，則D. 直線可能是曲線的一條對(duì)稱軸【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意可知，，，即可求出，從而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】由圖可知，，即，而，所以，又，所以，即，，所以．對(duì)A，若，則，，顯然，無(wú)整數(shù)解，A錯(cuò)誤；對(duì)B，由可得，，因?yàn)?/span>，所以，故有解，即在上至少有3個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)C，因?yàn)?/span>，所以，若函數(shù)的圖象在上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)共有4個(gè)，則，解得：，而，，所以，當(dāng)時(shí)，符合，C正確．對(duì)D，若直線可能是曲線的一個(gè)對(duì)稱軸，則，即，，又，，所以，，符合，D正確；故選：BCD．12. 已知集合，，集合，將集合C中所有元素從小到大依次排列為一個(gè)數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（    ）A. B. 或2C. D. 若存在使，則n的最小值為26【答案】ABC【解析】【分析】由集合A和集合B中元素的特征，判斷集合C中元素特征和順序，驗(yàn)證各選項(xiàng)中結(jié)論.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意的前8項(xiàng)為1，2，3，4，5，7，8，9，，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，集合A為奇數(shù)集，集合B中的元素都是偶數(shù)，按照從小到大排列，若連續(xù)的兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則，若連續(xù)的兩個(gè)數(shù)是一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，令，∵比小1，∴的前k項(xiàng)中，來(lái)自集合A的有個(gè)，來(lái)自集合B的有n個(gè)，∴，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，的前26項(xiàng)包括A集合的1，3，5，…，41共21個(gè)，B集合的2，4，8，16，32共5個(gè)，∴，∵，，，不符合條件，故D錯(cuò)誤．故選:ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知，則______．【答案】【解析】【分析】由指對(duì)互化可表示出，根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式可得，加和即可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，，，.故答案為：14. 已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.15. 若對(duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上取值集合，再借助集合的包含關(guān)系列式求解作答.【詳解】由，得，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為0；又，，如下圖， 令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，由對(duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，得，因此，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16. 在中，點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的3倍，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______；若的面積為1，當(dāng)最短時(shí)，______．【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，求得，進(jìn)而求得，得到，再由的面積為，求得可得，根據(jù)由余弦定理得，令，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，得到時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求得，即可求得的值.【詳解】設(shè)的三個(gè)角對(duì)的邊分別為，因?yàn)?/span>且 平分 ，可得，可得，由三角形的內(nèi)角平分線定理，可得，又由，則，因?yàn)?/span>，可得，所以，則，所以，由的面積為，可得，可得，又由余弦定理得 ，令，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，則，所以，可得，即當(dāng)最短時(shí)，.   四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17. 已知向量，.（1）求向量與的夾角的余弦值；（2）若向量，求向量在向量上的投影向量（用坐標(biāo)表示）.【答案】（1）；    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、平面向量模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面向量減法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合投影向量的定義進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，，則；【小問(wèn)2詳解】，，與同向的單位向量.∴在上的投影向量，.18. 已知集合，．（1）是否存在正實(shí)數(shù)a使集合A，B相等？若能，求出a的值，若不能，試說(shuō)明理由；（2）若命題p：，命題q：且p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）存在；    （2）或【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)集合A，根據(jù)集合相等列方程即可求解，（2）根據(jù)充分不必要條件轉(zhuǎn)化為真子集的關(guān)系，即可對(duì)分類討論求解.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，若使，則，解得，故存在使集合A，B相等．【小問(wèn)2詳解】依題意，有，，故是的真子集，由得，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則或，解得，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是或．19. 數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式作商得，再分類討論結(jié)合累乘法計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，及分組求和法計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】∵，，則，∴，兩式相除得：，當(dāng)時(shí)，，∴，即，當(dāng)時(shí)，，∴，即，綜上所述，的通項(xiàng)公式為：；【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)及（1）可知：，20. 已知函數(shù)，．（1）若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的一個(gè)上界．若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可化簡(jiǎn)求解，（2）利用換元法以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值，（3）利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，分別利用函數(shù)單調(diào)性求解，的最值即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以對(duì)定義域內(nèi)的x，有恒成立，即，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，不合題意，故；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，令，則，由，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以值域?yàn)?/span>，又因?yàn)楹瘮?shù)存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程有解，所以實(shí)數(shù)m取值范圍是；【小問(wèn)3詳解】由已知，在上恒成立，即在上恒成立，令，由，所以，得，即在上恒成立，記，，易得在上單調(diào)遞增，所以，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是．21. 如圖，四邊形ABCD中，已知，.  （1）若ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng)；（2）若，，，求∠BDC的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合余弦定理可得，由ABC的面積為可得，后由余弦定理可得AC即可得周長(zhǎng)；（2）由（1）結(jié)合，，可設(shè)，則，后由正弦定理可得，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由余弦定理，在中，.又，，則.又ABC的面積為，則.則，則ABC的周長(zhǎng)為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，又，，四邊形內(nèi)角和為，則.設(shè)，則.在中，由正弦定理，.在中，由正弦定理，.消去，得.因，則，則.則.22. 已知函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知，證明：．【答案】（1）    （2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，通過(guò)最小值，即可得出答案；（2）利用小問(wèn)（1）構(gòu)造函數(shù)，利用累加法，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】，由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的最小值是，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則，所以，，，令，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故時(shí)，，即．所以，，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是借助得出，結(jié)合累加求和可證結(jié)論. 

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