高三10月份月考數(shù)學(xué)試題（滿分150分  時間120分鐘）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，根據(jù)集合的特征求出集合，然后利用集合的運(yùn)算即可求解.【詳解】集合或，集合，所以，則，故選：.2. 如圖，在平行四邊形中，為對角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則（    ）  A. 1 B. 2 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算法則，求得,進(jìn)而求得的值，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】如圖：  因?yàn)?/span>,所以故選：3. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則是為單調(diào)遞增數(shù)列的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】通過做差，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可【詳解】若,則,則為單調(diào)遞減數(shù)列所以是為單調(diào)遞增數(shù)列的不充分條件若為單調(diào)遞增數(shù)列,則,則即或,所以故是為單調(diào)遞增數(shù)列的不必要條件故是為單調(diào)遞增數(shù)列既不充分也不必要條件故選：D4. 已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可.詳解】由題意易知，，而在上的投影向量為：.故選：B5. 八卦是中國古老文化的深奧概念，如圖示意太極八卦圖．現(xiàn)將一副八卦簡化為正八邊形，設(shè)其邊長為，中心為O，則下列選項(xiàng)中不正確的是（    ）  A.  B. C. 和是一對相反向量 D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【詳解】對于A中，由正八邊形中，可得，則，所以，即，所以，所以A正確；對于B中，由正八邊形中，可得，，則，所以B正確；對于C中，由和方向相反，但長度不等，因此不是一對相反向量，所以C錯誤；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：C.  6. 阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離是5，且過點(diǎn)，則和的值分別為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先由振幅得到，再由最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為結(jié)合勾股定理可得，從而求得，再將代入即可求得，問題得解.【詳解】根據(jù)題意，由振幅是2易知，故，則是的最高點(diǎn)，不妨記相鄰的最低點(diǎn)為，連接，過作軸，過作，交點(diǎn)為，如圖，則，，，故，得，又因?yàn)?/span>，故，得，所以，因?yàn)?/span>是的點(diǎn)，故，得，即，因?yàn)?/span>，所以，故，.故選：A. .7. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（    ）A.  B.  C.  D. 3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是偶函數(shù)和得到是的一個周期，然后利用周期性求函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，所以，則，因?yàn)?/span>，所以，則是的一個周期，因?yàn)?/span>，所以，，.故選：C.8. 已知，是方程的兩根，且，，則的值為（    ）A.  B.  C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】由韋達(dá)定理得，即，得，再根據(jù)兩角和的正切公式解決即可.【詳解】由題知，，是方程的兩根，所以，即，因?yàn)?/span>，，所以，，所以， 因?yàn)?/span>，所以，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：9. 已知函數(shù)則（    ）A. 的最小正周期為B. 在上單調(diào)遞增C. 直線是圖象的一條對稱軸D. 的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到【答案】BC【解析】【分析】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷ABC，結(jié)合函數(shù)圖象變換判斷D.【詳解】可化為，函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；當(dāng)時，，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；當(dāng)時，，所以直線是圖象的一條對稱軸，C正確；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，D錯誤.故選：BC.10. 已知定義在上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時，，則（    ）A. B. 有2個零點(diǎn)C. 在上為減函數(shù)D. 不等式的解集是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)賦值法可判斷A，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷CB,結(jié)合的性質(zhì)得的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷D.【詳解】在中，令，得，故A正確；又為上的奇函數(shù)，，，∴至少有三個零點(diǎn)，故B錯誤；設(shè)x1，，且，則，，，∴在上是增函數(shù)，由于為奇函數(shù)，∴在上也是增函數(shù)，故C錯誤：由題意，畫出的圖象如圖，等價于 或，由圖可知不等式的解集為,故D正確.故選:AD11. 已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，若點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（    ）A. 若，則B. 若在方向上的投影向量為，則的最小值為C. 若點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，則D. 若，則為定值18【答案】ACD【解析】【分析】對于，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算；對于B，易知當(dāng)時，取得最小值，計(jì)算可得；對于C，根據(jù)向量加法結(jié)合律律及平行四邊形法則計(jì)算可得；對于D，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】解：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接QE，∵，由余弦定理可得：，∴，∴，又，∴，∴，∴，對A選項(xiàng)，∵，∴，∴，又E為中點(diǎn)，∴，又，∴，∴，故A選項(xiàng)正確；對B選項(xiàng)，∵在方向上的投影向量為，∴，又Q是AC的中點(diǎn)，P在BC上，∴當(dāng)時，PQ最小，此時，故B選項(xiàng)錯誤；對C選項(xiàng)，若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，即P與E點(diǎn)重合，∵，∴，∴，故C選項(xiàng)正確；對D選項(xiàng)，∵，∴的平分線與BC垂直，∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由A選項(xiàng)分析知，∴根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知，∴，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD．  12. 已知函數(shù)，則（    ）A. 當(dāng)時，函數(shù)最小值為B. 當(dāng)時，函數(shù)的極大值點(diǎn)為C. 存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增D. 若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】由函數(shù)極值的求解以及極值點(diǎn)的辨析即可判斷AB，由在上恒成立即可判斷C，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得其最小值，即可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，其中，當(dāng)時，則，令，可得，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，有極小值，即最小值，故A正確；當(dāng)時，則，令，可得，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，則為極小值點(diǎn)，故B錯誤；假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)?/span>的值域?yàn)?/span>，所以函數(shù)無最小值，故不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故C錯誤；若恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，有極小值，即最小值，所以，故D正確；故選：AD三.填空題（共4小題）13. 已知向量，則與夾角的大小為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.【詳解】由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即與的夾角為.故答案為：.14. 已知，若，，則=     ．【答案】【解析】【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，，整理得解得或（舍去）因此，因?yàn)?/span>，所以，，15. 已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，解出的值，代入函數(shù)即可求得.【詳解】由已知，，則所以，，所以，.故答案為：.16. 已知，，則______.【答案】0.75【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及已知條件可知：，當(dāng)，此時，不合題意；當(dāng)，符合題意；所以.故答案為：四.解答題（共6小題）17. 如圖，平行四邊形的對角線AC和BD交于點(diǎn)M，E在BC上，且，直線DE與AB的延長線交于點(diǎn)F，記，．  （1）試用，表示、；（2）試用，表示．【答案】（1），；    （2）.【解析】【分析】（1）利用向量加法的平行四邊形法則求出，再利用向量減法法則求出作答.（2）利用平行線的性質(zhì)探求出，再利用向量減法法則求解作答.【小問1詳解】平行四邊形的對角線AC和BD交于點(diǎn)M，，.【小問2詳解】點(diǎn)E在BC上，且，，則，于是，即，，所以18. 已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面積．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）變形給定的等式，再利用余弦定理求解作答.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合（1），利用三角形面積定理求出，進(jìn)而求出計(jì)算作答.【小問1詳解】因，則，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以.【小問2詳解】在中，AD平分并交BC于D，則，而，顯然有，即，則，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，所以的面積.19. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前n項(xiàng)和為，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，可得，再根據(jù)與的關(guān)系求通項(xiàng)即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，從而可求得的范圍，即可求出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，即，由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，則，即，所以，所以；【小問2詳解】解：，則，因?yàn)?/span>恒成立，所以，所以的最小值.20. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而求得，然后利用求得；（2）利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以；【小問2詳解】，，，兩式相減得，所以.21. 已知函數(shù)存在兩個極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）求的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)的定義可知，即有兩個不等正根，由一元二次方程根的分布可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍；（2）由（1）可知，由此化簡為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即為所求的最小值.【小問1詳解】由題意知：定義域?yàn)?/span>，；令，則有兩個不等正根，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由（1）知：，是的兩根，則；；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，即的最小值為.22. 設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性;（2）若，求證：．【答案】（1）單調(diào)性見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得，再和兩種大情況討論，在時根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩根的大小關(guān)系討論分析即可；（2）整理所證不等式為，再根據(jù)（1）結(jié)論得出，再構(gòu)造證明即可【小問1詳解】由題，①當(dāng)時，，令則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令則，：當(dāng)，即時，在當(dāng)和時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 當(dāng)，即時，，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，在當(dāng)和時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問2詳解】由題，即證，即，得. 由（1）可得當(dāng)時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.設(shè)，則，故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增.故，即，故，故即得證【點(diǎn)睛】本題主要考查了求導(dǎo)分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題，同時也考查了構(gòu)造函數(shù)證明不等式的問題，需要聯(lián)系前問的結(jié)論化簡不等式再證明，屬于難題 

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