人教版數(shù)學八年級下冊同步精品講義第21課 一次函數(shù)全章復習與鞏固（2份打包，原卷版+教師版）

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第21課  一次函數(shù)全章復習與鞏固 課程標準1．了解常量、變量和函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數(shù)形結(jié)合地分析簡單的函數(shù)關(guān)系.2．理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會畫它們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的基本性質(zhì)，能利用這些函數(shù)分析和解決簡單實際問題.3．通過討論一次函數(shù)與方程（組）及不等式的關(guān)系，從運動變化的角度，用函數(shù)的觀點加深對已經(jīng)學習過的方程（組）及不等式等內(nèi)容的再認識.4. 通過討論選擇最佳方案的問題，提高綜合運用所學函數(shù)知識分析和解決實際問題的能力. 知識點01  函數(shù)概念理解1變量的定義在某一變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量。注：變量還分為自變量和因變量。2常量的定義在某一變化過程中，有些量的數(shù)值始終不變，我們稱它們?yōu)?/span>常量。3函數(shù)的定義一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)，y的值稱為函數(shù)值．4函數(shù)的三種表示法（1）表達式法（解析式法）；（2）列表法；（3）圖象法．a、用數(shù)學等式表示函數(shù)的方法叫做表達式法（解析式法）。b、由一個函數(shù)的表達式，列出函數(shù)對應(yīng)值表格來表示函數(shù)的方法叫做列表法。c、把這些對應(yīng)值（有序的）看成點坐標，在坐標平面內(nèi)描點，進而畫出函數(shù)的圖象來表示函數(shù)的方法叫做圖像法。5求函數(shù)的自變量取值范圍（1）要使函數(shù)的表達式有意義：a、整式（多項式和單項式）時為全體實數(shù)；b、分式時，讓分母≠0；c、含二次根號時，讓被開方數(shù)≠0 。（2）對實際問題中的函數(shù)關(guān)系，要使實際問題有意義。注意可能含有隱含非負或大于0的條件。6求函數(shù)值把所給自變量的值代入函數(shù)表達式中，就可以求出相應(yīng)的函數(shù)值．7畫函數(shù)圖象（1）：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；（2）：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點）；（3）：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）．8判斷y是不是x的函數(shù)A、給出解析式讓你判斷：可給x值來求y的值，若y的值唯一確定，則y是x的函數(shù)；否則不是。B、給出圖像讓你判斷：過x軸做垂線，垂線與圖像交點多于一個、時，y不是x的函數(shù)；否則y是x的函數(shù)。知識點02  正比例函數(shù)1正比例函數(shù)的定義一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)。注意：a、自變量x的次數(shù)是一次冪，且只含有x的一次項；b、比例系數(shù)k≠0；c、不含有常數(shù)項或常數(shù)項為0，只有x一次冪的單項而已；2正比例函數(shù)圖像一般地，正比例函數(shù)的y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，我們稱它為直線y=kx．當k>0時，直線y=kx經(jīng)過第一、三象限（正奇），從左向右上升，即隨著x的增大y也增大。當k<0時，直線y=kx經(jīng)過第二、四象限（負偶），從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小。3畫正比例函數(shù)圖像（1）先選取兩點，通常選出（0，0）與點（1，k）；（2）在坐標平面內(nèi)描出點（0，0）與點（1，k）；（3）過點（0，0）與點（1，k）做一條直線．這條直線就是正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象。知識點03  一次函數(shù)1一次函數(shù)的定義一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)．注意：a、自變量x的次數(shù)是一次冪，且只含有x的一次項；b、比例系數(shù)k≠0；c、常數(shù)項可有可無。2一次函數(shù)的圖像一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移│b│個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）．3系數(shù)k的意義k表征直線的傾斜程度，|k|越大，直線越陡；k值相同的直線相互平行，k不同的直線相交。4系數(shù)b的意義b是直線與y軸交點的縱坐標5當k>0時直線y=kx+b從左向右上升，即隨著x的增大y也增大，<6當k<0時直線y=kx+b從左向右下降，即隨著x的增大y而減小，> 7與坐標軸交點直線y=kx+b與y軸的交點是點（0，b）；與x軸的交點是點（-，0）8圖像和解析式的系數(shù)之間的關(guān)系 9畫一次函數(shù)圖像（1）先選取兩點，通常選出點（0，b）與點（-，0）；（2）在坐標平面內(nèi)描出點（0，0）與點（1，k）；（3）過點（0，b）與點（-，0）做一條直線．10待定系數(shù)法根據(jù)已知的自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，或函數(shù)圖像直線上的點坐標。步驟：a、寫出函數(shù)解析式的一般形式，其中包括未知的系數(shù)（需要確定這些系數(shù)，因此叫做待定系數(shù)）．b、把自變量與函數(shù)的對應(yīng)值（可能是以函數(shù)圖象上點的坐標的形式給出）即x、y的值代入函數(shù)解析式中，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組．（有幾個待定系數(shù)，就要有幾個方程）c、解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，從而寫出所求函數(shù)的解析式．11解析式與圖像上點相互求解①求解析式：解析式未知，但知道直線上兩個點坐標，將點坐標看作x、y值代入解析式組成含有k、b兩個未知數(shù)的方程組，求出k、b 的值在帶回解析式中就求出解析式了。②求直線上點坐標：解析式已知，但點坐標只知道橫縱坐標中得一個，將其代入解析式求出令12一次函數(shù)與一元一次方程由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值y=0時，求相應(yīng)的自變量x的值，從圖象上看，這相當于已知直線y=ax+b，確定它與x軸交點的橫坐標的值． 13一次函數(shù)與一元一次不等式由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：當一次函數(shù)值y大（小）于0時，求自變量x相應(yīng)的取值范圍．用一次函數(shù)圖象來解首先找到直線中滿足y>(<)0的部分，然后判斷這部分線的x的取值范圍。14一次函數(shù)與二元一次方程（組）1.解二元一次方程組可以看作求兩個一次函數(shù)y=-x+與y=2x-1圖象的交點坐標。2.求兩條直線的交點的方法：將兩條直線的解析式組成方程組，求解方程組的x、y的值即為兩直線交點坐標。   考法01   函數(shù)的概念【典例1】在國內(nèi)投寄平信應(yīng)付郵資如表：信件質(zhì)量x（克）0＜x≤2020＜x≤4040＜x≤60郵資y（元/封）1.202.403.60（1）根據(jù)函數(shù)的定義，y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？（2）結(jié)合表格解答：①求出當x=48時的函數(shù)值，并說明實際意義．②當寄一封信件的郵資是2.40元時，信件的質(zhì)量大約是多少克？【答案】（1）y是x的函數(shù)；（2）①3.60，實際意義見解析；②大于20克，且不超過40克【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可．（2）①②利用表格求出對應(yīng)的函數(shù)值即可．【詳解】解：（1）y是x的函數(shù)，理由是：對于x的一個值，函數(shù)y有唯一的值和它對應(yīng)；（2）①當x=48時，y=3.60，實際意義：信件質(zhì)量為48克時，郵資為3.60元；②郵資為2.40元，信件質(zhì)量大約為大于20克，且不超過40克．【點睛】本題考查了函數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．考法02   一次函數(shù)的解析式【典例2】某出版社出版一種適合中學生閱讀的科普讀物，當該讀物首次出版印刷的印數(shù)不少于5000冊時，投入的成本與印數(shù)間的相應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：印數(shù)x(冊)500080001000015000…成本y(元)28500360004100053500…(1)若這種讀物的投入成本y(元)是印數(shù)x(冊)的一次函數(shù)，求這個一次函數(shù)的表達式(不要求寫出x的取值范圍)．(2)如果出版社投入成本48000元，那么能印該讀物多少冊？【答案】（1）y＝x＋16000；（2）12800【解析】【詳解】試題分析：設(shè)一次函數(shù)的表達式為：把點，代入即可求出一次函數(shù)的表達式.把代入一次函數(shù)解析式，計算即可求出.試題解析：設(shè)一次函數(shù)的表達式為則解得：一次函數(shù)的表達式為：當時，解得答：一次函數(shù)的表達式為：出版社投入成本元，能印該讀物冊 【即學即練】若一條直線與函數(shù)y＝3x﹣1的圖象平行，且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為，則該直線的函數(shù)解析式為_____．【答案】y＝3x+或y＝3x﹣．【解析】【分析】依題意設(shè)所求直線解析式為y＝3x+b，則圖象與坐標軸兩交點坐標為（，0），（0，b），由面積公式求b即可．【詳解】設(shè)所求直線解析式為y＝3x+b，則圖象與坐標軸兩交點坐標為（，0），（0，b），由三角形面積公式得×|b|×||＝，即；解得：±，∴y＝3x+或y＝3x﹣，故答案為：y＝3x+或y＝3x﹣．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩條直線平行k相同等知識，正確利用點的坐標表示三角形的面積是解答本題的關(guān)鍵. 考法03   一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【典例3】已知過點（2，﹣3）的直線y=ax+b（a≠0）不經(jīng)過第一象限，設(shè)s=a+2b，則s的取值范圍是（   ）A．﹣5≤s≤﹣ B．﹣6＜s≤﹣C．﹣6≤s≤﹣ D．﹣7＜s≤﹣【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由直線y=ax+b（a≠0）不經(jīng)過第一象限可得a＜0，b≤0，又因直線y=ax+b（a≠0）經(jīng)過點（2，﹣3），可得2a+b=—3，所以，b=—2a—3，因此?s=a+2b=a+2（—2a—3）=—3a—6，由a＜0可得s＞—6，?s=a+2b=+2b=，由b≤0可得s≤—，所以s的取值范圍是﹣6＜s≤﹣．故答案選B．考點：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【即學即練】一次函數(shù)y=kx-(k-2)與在同一坐標系內(nèi)的圖象可以為（     ）A．AB．BC．CD．D【答案】D【解析】【詳解】A.正比例函數(shù)的圖像過二、四象限，所以k＜0，此時-(k-2)＞0，一次函數(shù)的圖像應(yīng)該與y軸正半軸相交，所以該選項錯誤；B.正比例函數(shù)的圖像過二、四象限，所以k＜0，此時一次函數(shù)的圖像應(yīng)該過二、四象限，所以該選項錯誤；C.正比例函數(shù)的圖像過一、三象限，所以k＞0，此時一次函數(shù)的圖像應(yīng)該過一、三象限，所以該選項錯誤；D.正比例函數(shù)的圖像過一、三象限，所以k＞0，此時若k＜2，則一次函數(shù)的圖像會過一、二、三象限，所以該選項正確；故選D.點睛:對于一次函數(shù)y=kx+b,當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小. 當b＞0，圖像與y軸的正半軸相交，當b<0，圖像與y軸的負半軸相交.  考法04   一次函數(shù)與方程（組）、不等式【典例4】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB和直線BC相交于點，直線AB與y軸相交于點A，直線BC與x軸、y軸分別交于點，點C．(1)求直線AB的解析式．(2)過點A作BC的平行線交x軸于點E，求點E的坐標．(3)在（2）的條件下，點P是直線AB上一個動點，且點P在x軸的上方，如果以點D、E、P、Q為頂點的平行四邊形的面積等于三角形ABC的面積．①求出點P的坐標．②畫出所有情況并直接寫出點Q的坐標．【答案】(1)y=x+4(2)（2，0）(3)①P（-2，2）；②畫見解析，Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）【解析】【分析】（1）設(shè)過點A，B的直線，求得b，k而求得直線解析式；（2）首先設(shè)過點A且平行于直線BC的直線為y=kx+c，則可求得k的值，所求直線后代入點A，求得c則得到直線；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求得點P的有關(guān)坐標，求得△ABC面積，代入點P而求得點P，進而求得點Q．(1)解：設(shè)直線AB為y=kx+b，代入點B，A，則，解得b=4，k=1，∴直線AB為y=x+4；(2)設(shè)過點A且平行于直線BC的直線為y=kx+c，根據(jù)題意得：k=＝?2，則直線AE的直線為y=-2x+c，則代入點A得c=4，則直線AE為y=-2x+4，則點E為（2，0）；(3)①∵點D（-1，0）、點B（-2，2），設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，則，解得：，∴直線BD的解析式為：y=-2x-2，∴點C（0，-2），∴AC=6，∴S△ABC=×6×2=6，∵DE=2-（-1）=3，∴以點D、E、P、Q為頂點的平行四邊形的高為6÷3=2，∵點P是直線AB上一動點且在x軸的上方，∴點P的縱坐標為4，∴2=x+4，∴x=-2，即點P的坐標為（-2，2）；②若點Q在x軸上方，則PQ∥DE，且PQ=DE，此時點Q1（1，2），Q2（-5，2）；若點Q在x軸下方，則Q3（3，-2）；∴Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的運用，考查了過兩點確定一條直線，考查了知道直線斜率和一點求直線，直線間的交點，形成四邊形而求面積．【即學即練】已知直線y＝kx+b經(jīng)過點A（5，0），B（1，4）．（1）求直線AB的解析式；（2）若直線y＝2x﹣4與直線AB相交于點C，求點C的坐標；（3）根據(jù)圖象，寫出關(guān)于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】（1）y＝﹣x+5；（2）點C（3，2）；（3）x＞3【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法把點A（5，0），B（1，4）代入y＝kx+b可得關(guān)于k、b得方程組，再解方程組即可；（2）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，再解方程組即可；（3）根據(jù)C點坐標可直接得到答案．【詳解】解：（1）∵直線y＝kx+b經(jīng)過點A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+5；（2）∵若直線y＝2x﹣4與直線AB相交于點C，∴．解得，∴點C（3，2）；（3）根據(jù)圖象可知，當x＞3時，直線y＝2x﹣4位于直線y＝kx+b的上方，∴不等式2x﹣4＞kx+b的解集為x＞3．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、兩直線的交點問題、解二元一次方程組、一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，會運用圖象法求解不等式的解集是解答的關(guān)鍵． 考法05   一次函數(shù)的應(yīng)用【典例5】某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在檢驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥時后血液中含藥量最高，達微克/毫升，接著逐步衰減，服藥時后血液中含藥盤達微克/毫升，每毫升血液中含藥盤（微克）隨著時間（時）的變化如圖所示．（1）當成人按規(guī)定劑量服用時，求出時，與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果每毫升血液中含藥量為微克或微克以上時，治療疾病是有效的，那么有效時間有多長?【答案】（1）；（2）6小時【解析】【分析】（1）直接根據(jù)圖象上的點的坐標利用待定系數(shù)法求解即可求得答案，當時與成一次函數(shù)關(guān)系；（2）根據(jù)圖象可知每毫升血液中含藥量為4微克是在兩個函數(shù)圖象上都有，所以把，代入，求得開始到有效所用的時間，由圖象可知衰減過程中時的時間，求其差即可求得答案．【詳解】解：（1）當時，設(shè)，把，代入上式，得：，解得：，時，；（2）當時，設(shè)，把代入上式，得，時，，把代入，可得，把代入；解得：，，這個有效時間是6小時．【點睛】本題主要考查利用一次函數(shù)的模型解決實際問題的能力和讀圖能力．要先根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再代數(shù)求值．解題的關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實際意義準確的列出解析式，再把對應(yīng)值代入求解，并會根據(jù)圖示得出所需要的信息．考法06   一次函數(shù)綜合【典例6】如圖所示，直線 與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線與直線關(guān)于y軸對稱，且與x軸交于點C．已知直線的解析式為y=x+4．（1）求直線的解析式；（2）D為OC的中點，P是線段BC上一動點，求使OP＋PD值最小的點P的坐標．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由直線的解析式，得到A、B點的坐標，進一步由對稱得到C點的坐標，然后由B、C兩點的坐標利用待定系數(shù)法求解析式．(2) 作點D關(guān)于BC對稱點，連結(jié)PD′，OD′，則,P的坐標即為直線與直線的交點坐標，據(jù)此求解即可．【詳解】解:(1)由直線可得：A(－4，0)，B(0，4)∵點A和點C關(guān)于軸對稱，∴ C(4，0)．設(shè)直線BC解析式為：，則： 解得：．∴直線BC解析式為：．(2)作點D關(guān)于BC對稱點D′，連結(jié)PD′，OD′．如下圖：∵，∴∴當O、P、D′三點共線時OP＋PD最?。?/span>∵ OB＝OC，,∴ ∠BCO＝45°，∴∠＝90°，又∵為中點∴,∴，∴．聯(lián)立：  得：∴當點P坐標為時，OP＋PD的值最?。?/span>【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式，點在直線上運動時線段和最值問題，根據(jù)題意畫出相關(guān)圖形是解題關(guān)鍵點．