§2.11　函數的零點與方程的根考試要求　1.理解函數的零點與方程的解的聯系.2.理解函數零點存在定理，并能簡單應用.3.了解用二分法求方程的近似解．知識梳理1．函數的零點與方程的根(1)函數零點的概念對于函數y＝f(x)，我們把使______________的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．(2)函數零點與方程實數根的關系方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與________有交點?函數y＝f(x)有________．(3)函數零點存在定理如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有________________，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間________________內有零點，即存在c∈(a，b)，使得__________，這個c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且____________的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間______________，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近________，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．常用結論1．若連續(xù)不斷的函數f(x)是定義域上的單調函數，則f(x)至多有一個零點．2．連續(xù)不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點．(　　)(2)連續(xù)函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，則f(a)·f(b)<0.(　　)(3)函數y＝f(x)為R上的單調函數，則f(x)有且僅有一個零點．(　　)(4)用二分法求函數零點的近似值適合于變號零點．(　　)教材改編題1．觀察下列函數的圖象，判斷能用二分法求其零點的是(　　)2．函數y＝－ln x的零點所在區(qū)間是(　　)A．(3,4)  B．(2,3)  C．(1,2)  D．(0,1)3．函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是(　　)A．0  B．1  C．2  D．3題型一　函數零點所在區(qū)間的判定例1 (1)函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點所在的區(qū)間是(　　)A．(1,2)   B．(2,3)C．(3,4)   D．(4,5)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究 用二分法求函數f(x)＝ln x＋2x－6在區(qū)間(2,3)內的零點近似值，至少經過________次二分后精確度達到0.1(　　)A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5(2)(2023·蚌埠模擬)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，則(　　)A．x1<x2<x3   B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2   D．x2<x3<x1思維升華 確定函數零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點．(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．跟蹤訓練1 (1)函數f(x)＝ex－x－2在下列哪個區(qū)間內必有零點(　　)A．(－3，－2)   B．(－1,0)C．(0,1)   D．(1,2)(2)若a<b<c，則函數f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間(　　)A．(a，b)和(b，c)內B．(－∞，a)和(a，b)內C．(b，c)和(c，＋∞)內D．(－∞，a)和(c，＋∞)內 題型二　函數零點個數的判定例2 (1)若函數f(x)＝|x|，則函數y＝f(x)－的零點個數是(　　)A．5  B．4  C．3  D．2聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知在R上的函數f(x)滿足對于任意實數x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在區(qū)間[0,7]上只有x＝1和x＝3兩個零點，則f(x)＝0在區(qū)間[0,2 023]上根的個數為(　　)A．404   B．405C．406   D．203聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 求解函數零點個數的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點；(2)定理法：利用定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等；(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數．跟蹤訓練2 (1)(2022·泉州模擬)設定義域為R的函數f(x)＝則關于x的函數y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點的個數為(　　)A．3  B．7  C．5  D．6(2)函數f(x)＝·cos x的零點個數為________． 題型三　函數零點的應用命題點1　根據零點個數求參數例3 (2023·黃岡模擬)函數f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函數f(x)與g(x)的圖象有三個交點，則實數k的取值范圍為(　　)A．(2－6,0)   B．(2－6,0)C．(－2,0)   D．(2－6,0)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2　根據函數零點的范圍求參數例4 (2023·北京模擬)已知函數f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，則實數a的取值范圍是(　　)A.   B.C．(－∞，0)   D.聽課記錄：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 根據函數零點的情況求參數的三種常用方法(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍．(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決．(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后數形結合求解. 跟蹤訓練3 (1)函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　)A．0<a<3   B．1<a<3C．1<a<2   D．a≥2(2)(2023·唐山模擬)已知函數f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有3個零點，則實數a的取值范圍為(　　)A．(－1,0)   B.C.   D.∪{－1}

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