§10.3　用樣本估計總體考試要求　1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計.2.能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度．知識梳理1．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：＝________________________.(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最________的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的________________(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)．(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))．2．方差和標(biāo)準差(1)方差：s2＝____________________________________________________________________.(2)標(biāo)準差：s＝___________________________________________________________________.常用結(jié)論1．若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a.2．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變．3．若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．(　　)(2)方差與標(biāo)準差具有相同的單位．(　　)(3)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．(　　)(4)在頻率分布直方圖中，可以用最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)的估計值．(　　)教材改編題1．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1,2x2，…，2x9的方差為(　　)A．2  B．4  C．6  D．82．已知一組數(shù)據(jù)a,0,1,2,3，若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，則a等于(　　)A．0  B．2  C．1  D．－13．某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位：cm)分別為175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，則這10名旗手身高的中位數(shù)為________ cm.題型一　樣本的數(shù)字特征例1 (1)某工廠10名工人某天生產(chǎn)同一類型零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.記這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，眾數(shù)為c，則(　　)A．a>b>c   B．b>c>aC．c>a>b   D．c>b>a聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如圖為甲、乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測試中得分的莖葉圖，則平均成績較低的那位同學(xué)的成績的方差為(　　)A．1  B．2  C．4  D．5聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)與方差、標(biāo)準差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準差描述其離散程度．跟蹤訓(xùn)練1 (1)有一組樣本數(shù)據(jù)：1,2,4,3,1,2,1，則(　　)A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2B．這組數(shù)據(jù)的極差為1C．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為(2)已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為，方差為s2，則(　　)A.＝4，s2<2   B.＝4，s2＝2C.>4，s2<2   D.>4，s2>2題型二　總體集中趨勢的估計例2 某市共有居民60萬人，為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)；(2)估計該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和．跟蹤訓(xùn)練2 (2022·哈爾濱模擬)治理沙漠化離不開優(yōu)質(zhì)的樹苗，現(xiàn)從苗圃中隨機地抽測了200株樹苗的高度(單位：cm)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值及眾數(shù)、中位數(shù)；(2)若樹苗高度在185 cm及以上是可以移栽的合格樹苗．從樣本中用分層抽樣的方法抽取20株樹苗作進一步研究，不合格樹苗、合格樹苗分別應(yīng)抽取多少株？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 題型三　總體離散程度的估計例3 (2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下．  舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為s和s.(1)求，，s，s；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果－≥2，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 總體離散程度的估計標(biāo)準差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?/span>跟蹤訓(xùn)練3 (2022·濟寧模擬)甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲8281797895889384乙9295807583809085 (1)求兩位學(xué)生預(yù)賽成績的平均數(shù)和方差；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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