§7.4　基本不等式：≤考試要求　1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.3.理解基本不等式在實際問題中的應(yīng)用．知識梳理1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的條件：____________.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)________時，等號成立．(3)其中____________叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，________叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)＋≥________(a，b同號)．(3)ab≤____________ (a，b∈R)．(4)≥____________ (a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y時，和x＋y有最小值______．(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y時，積xy有最大值________．注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤2與≤等號成立的條件是相同的．(　　)(2)y＝x＋的最小值是2.(　　)(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.(　　)(4)函數(shù)y＝sin2x＋，x∈的最小值為4.(　　)教材改編題1．若正實數(shù)a，b滿足a＋4b＝ab，則ab的最小值為(　　)A．16  B．8  C．4  D．22．函數(shù)y＝x＋(x≥0)的最小值為______．3．若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________ m2.題型一　利用基本不等式求最值命題點1　配湊法例1 (1)已知x>2，則函數(shù)y＝x＋的最小值是(　　)A．2   B．2＋2C．2   D.＋2聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)設(shè)0<x<，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為________．聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2　常數(shù)代換法例2  (2023·上饒模擬)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，則＋的最小值為(　　)A．3＋2   B．12C．8＋4   D．6聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點3　消元法例3 (2023·煙臺模擬)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究 本例條件不變，求xy的最大值．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2022·常德模擬)若a>0，b>0，＋＝1，下列結(jié)論錯誤的是(　　)A．ab≥4   B．a＋b≥4C．2a＋2b≤8   D．log2a＋log2b≥2(2)函數(shù)y＝(x>－1)的最小值為________． 題型二　基本不等式的常見變形應(yīng)用例4 (1)若0<a<b，則下列不等式一定成立的是(　　)A．b>>a>B．b>>>aC．b>>>aD．b>a>>聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2) (2023·寧波模擬)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為(　　) A.≥(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)C.≤(a>0，b>0)D.≤(a>0，b>0)聽課記錄：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 基本不等式的常見變形(1)ab≤2≤.(2)≤≤≤(a>0，b>0)．跟蹤訓(xùn)練2 (2022·漳州質(zhì)檢)已知a，b為互不相等的正實數(shù)，則下列四個式子中最大的是(　　)A.   B.＋C.   D. 題型三　基本不等式的實際應(yīng)用例5 中華人民共和國第十四屆運動會在陜西省舉辦，某公益團隊聯(lián)系全運會組委會舉辦一場紀(jì)念品展銷會，并將所獲利潤全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè)．據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套紀(jì)念品(一個會徽和一個吉祥物)售價定為x元時，銷售量可達(dá)到(15－0.1x)萬套．為配合這個活動，生產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為50元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.約定不計其他成本，即銷售每套紀(jì)念品的利潤＝售價－供貨價格．(1)每套會徽及吉祥物售價為100元時，能獲得的總利潤是多少萬元？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)每套會徽及吉祥物售價為多少元時，單套的利潤最大？最大值是多少元？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．跟蹤訓(xùn)練3 (2022·武漢模擬)某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32 m2的矩形空地，并計劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗區(qū)(如圖所示)．要求試驗區(qū)四周各空0.5 m，各試驗區(qū)之間也空0.5 m．則每塊試驗區(qū)面積的最大值為________m2.

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