【核心素養(yǎng)】
1．結(jié)合具體問題的計(jì)算，考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．與實(shí)際應(yīng)用問題、數(shù)學(xué)文化相結(jié)合，考查數(shù)列的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．
3.考查各種數(shù)列的求和，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)應(yīng)用等核心素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn)一
數(shù)列的求和公式
1. 等差數(shù)列的前和的求和公式：.
2．等比數(shù)列前項(xiàng)和公式
一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.
3. 常見數(shù)列前項(xiàng)和
①重要公式：（1）
（2）
（3）
（4）
②等差數(shù)列中，；
③等比數(shù)列中，.
知識(shí)點(diǎn)二
幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消(注意消項(xiàng)規(guī)律)，從而求得前n項(xiàng)和．裂項(xiàng)時(shí)常用的三種變形：
①；
②；
③.
(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
(5)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf (n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
?？碱}型剖析
題型一：公式法求和
【典例分析】
例1-1.（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項(xiàng)的和為 ．
【答案】 48 384
【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，
且，所以；
又因?yàn)?，則；
空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
例1-2.（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組得到首項(xiàng)、公比的值即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解其前n項(xiàng)和即可.
【詳解】(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，
整理可得：，
，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
(2)由于：，故：
.
【規(guī)律方法】
關(guān)鍵是明確數(shù)列類型，正確計(jì)算公式所需元素，選用公式加以計(jì)算.
【變式訓(xùn)練】
變式1-1.（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用 與 的關(guān)系可得是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；進(jìn)而根據(jù)等差求和公式即可.
【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)積，所以可得，
因?yàn)?，所以?br>即，所以，
又，得，所以，
故是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
，
故選：A
變式1-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）從盛有鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20％的鹽水2kg的容器中倒出1kg鹽水，然后加入1kg清水．以后每次都倒出1kg鹽水，然后加入1kg清水．問：
(1)第5次倒出的1kg鹽水中含鹽多少？
(2)經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少鹽？此時(shí)加1kg清水后容器內(nèi)鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？
【答案】(1)0.0125kg；
(2)一共倒出0.39375kg鹽，最后的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.3125％．
【分析】（1）根據(jù)給定的信息，構(gòu)造等比數(shù)列并求其通項(xiàng)作答.
（2）由（1）中信息，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和，再代值求出項(xiàng)作答.
【詳解】（1）每次倒出的1kg鹽水中含鹽的質(zhì)量依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，
每次倒出1kg鹽水，再加入1kg清水后，鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記原有鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為，
則，，當(dāng)時(shí)，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，顯然也滿足上式，
依題意，，，，
所以第5次倒出的1kg鹽水中含鹽.
（2）由（1）知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
經(jīng)6次倒出后，共倒出的鹽（），
此時(shí)加1kg清水后容器內(nèi)鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為.
所以一共倒出鹽，最后鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為．
題型二：分組求和與并項(xiàng)求和
例2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，則等于（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
【答案】D
【分析】由時(shí)，得到，兩式作差，整理可得：，結(jié)合并項(xiàng)求和，即可求解.
【詳解】解：由題意可得，當(dāng)時(shí)，，，
兩式作差可得，
即，
即當(dāng)時(shí)，數(shù)列任意連續(xù)兩項(xiàng)之和為1，又因?yàn)椋?br>所以，
故選：．
例2-2.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的前20項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；
(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：
顯然為偶數(shù)，則，
所以，即，且，
所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
于是．
[方法二]：奇偶分類討論
由題意知，所以．
由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，
數(shù)列從第一項(xiàng)起，
若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，
若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．
所以，則．
[方法三]：累加法
由題意知數(shù)列滿足．
所以，
，
則．
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）[方法一]：奇偶分類討論
．
[方法二]：分組求和
由題意知數(shù)列滿足，
所以．
所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；
同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：
．
【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；
方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；
方法三：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.
(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；
方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯(cuò)的選擇.
【規(guī)律方法】
分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
(1)若，且為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{}的前n項(xiàng)和．
(2)通項(xiàng)公式為的數(shù)列，其中數(shù)列是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．主要有分段型（如），符號(hào)型（如），周期型（如）.
提醒：注意在含有字母的數(shù)列中要對(duì)字母進(jìn)行分類討論．
【變式訓(xùn)練】
變式2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的公比即可作答.
（2）利用（1）的結(jié)論，利用分組求和及等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.
【詳解】（1）（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，
于是，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）由（1）知，，
所以.
變式2-2.（2023秋·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)求解的通項(xiàng)；
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)列通項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式采用分組求和即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即,解得或（負(fù)值舍去），
當(dāng)時(shí)，，，
兩式相減得：，因?yàn)椋?br>所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
所以.
（2）因?yàn)?，?br>所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等差數(shù)列，所以，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
.
題型三：裂項(xiàng)相消法求和
【典例分析】
例3-1．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因?yàn)椋?，?br>由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，
由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由裂項(xiàng)求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．
例3-2.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時(shí)，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對(duì)于也成立，
∴的通項(xiàng)公式；
（2）
∴
【規(guī)律方法】
1.裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
2.消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．
【變式訓(xùn)練】
變式3-1.（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求出和，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)，裂項(xiàng)求和可求出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，
因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，
所以，
所以，又，所以，所以，
所以，
解得，所以，
所以的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知，
所以
變式3-2.（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用公式，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知，再利用裂項(xiàng)相消法求和證明即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，即，
所以，
且符合，
所以的通項(xiàng)公式為
（2）由（1）得：，
，
.
題型四：錯(cuò)位相減法求和
【典例分析】
例4-1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．
（2）因?yàn)?，所以?br>，
兩式相減得，
，
，即，．
例4-2.（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在人教版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修三中，我們探究過“楊輝三角”（如下圖所示）所蘊(yùn)含的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，也了解到在我國古代，楊輝三角是解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具.

(1)把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出，并按原來的順序排列可得一數(shù)列：1，3，6，10，15，，請(qǐng)寫出與（，）的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，證明：.
【答案】(1) ，，.
(2)證明見解析
【分析】（1）首先找出遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系即可計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）先求出，再由錯(cuò)位相減求出的前項(xiàng)和，即可證明.
【詳解】（1）解：由“楊輝三角”的定義可知：，當(dāng)時(shí)， ，
因?yàn)椋?br>故，
上式對(duì)也成立，所以 ， .
（2）解：由題意可得，所以，
設(shè)，
所以， ①
所以，② .
由①②可得，
所以， ...
即 ，
.
所以 ，又因?yàn)椋?br>故.
【溫馨提醒】
1.使用“錯(cuò)位相減法”的方法步驟：
2.特別提醒：
(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
3.在歷年高考命題中，“錯(cuò)位相減法”為高頻考查內(nèi)容.
變式4-1.（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列中，，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)
(2)3586
【分析】（1）兩邊去倒數(shù)后，構(gòu)造等差數(shù)列求解即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法即可.
【詳解】（1）由，可得.
因?yàn)?，所?
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.
所以，即.
（2）因?yàn)?，所?
又，所以①.
①式兩邊同乘以2，得②，
②①，得，
所以.
變式4-2.（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；
(3)求．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；
（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.
【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因?yàn)樗砸C，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因?yàn)?br>，
所以
，
設(shè)
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
題型五：倒序相加法求和
【典例分析】
例5-1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他是這樣算的:，共有50組，所以，這就是著名的高斯法，又稱為倒序相加法.事實(shí)上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對(duì)稱性.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】對(duì)于A，利用函數(shù)的中心對(duì)稱性公式即可求解；
對(duì)于B，利用倒序相加法求和及A選項(xiàng)的結(jié)論即可求解；
對(duì)于C，利用B選項(xiàng)的結(jié)論及與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解；
對(duì)于D，利用B選項(xiàng)的結(jié)論及裂項(xiàng)相消法求和即可求解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，令，
所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?br>所以
因?yàn)?，所以即，故B正確；
對(duì)于C，由題可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，取時(shí)，，滿足此式，
故的通項(xiàng)公式為.所以，
而，所以.故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椋?，即，故D正確.
故選：C.
例5-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求證：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
(2)求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證明圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為證明關(guān)系式；
（2）由第（1）問結(jié)論，利用倒序相加法求和.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
（2）由（1）知與首尾兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等，使用倒序相加求和.
因?yàn)椋?br>所以（倒序），
又由（1）得，
所以，所以.
【溫馨提醒】
注意觀察數(shù)列（函數(shù)）特征：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
【變式訓(xùn)練】
變式5-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則 ， .
【答案】 /
【分析】根據(jù)，作差即可求出的通項(xiàng)公式，再由的解析式及誘導(dǎo)公式得到，再利用倒序相加法求和.
【詳解】解：由于，①，
當(dāng)時(shí)，所以，
當(dāng)時(shí)，，②，
①②得：，
所以，顯然時(shí)也成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)也成立，所以；
根據(jù)函數(shù)，
所以，，
所以；
所以
．
故答案為：；
變式5-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．
(1)計(jì)算的值．
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接計(jì)算可得答案；
（2）由（1）的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)時(shí)，利用倒序相加法可得答案.
【詳解】（1）；
（2）由題知，當(dāng)時(shí)，，
又，兩式相加得
，
所以，
又不符合，
所以.
題型六：其它求和方法
【典例分析】
例6-1．（2023秋·湖南益陽·高三南縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中的前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列，記，求數(shù)列的前40項(xiàng)的和.
【答案】(1)或
(2)
【分析】根據(jù)條件先求出的通項(xiàng)公式，再求出的通項(xiàng)公式即可.
【詳解】（1）設(shè)公差為，則，即
解得或 ，所以或；
（2）因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，，，，
所以
；
所以.
例6-2．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)由，的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項(xiàng)之和．
【答案】(1)
(2)682
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，然后根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組可求出，從而可求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)與數(shù)列的第項(xiàng)相等，則可得，，，得，然后可列舉數(shù)列的前5項(xiàng)，從而可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，
因?yàn)?br>則，解得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，則，
所以，
因?yàn)?，所以，?br>所以．
（2）設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)與數(shù)列的第項(xiàng)相等，
則，，，
所以，，，
因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則，
故的前5項(xiàng)之和．
【變式訓(xùn)練】
變式6-1.（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
(1)求；
(2)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用累加法可求得的表達(dá)式，結(jié)合可得出的表達(dá)式，再檢驗(yàn)的情形，綜合可得出的通項(xiàng)公式；
（2）由求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，列舉出數(shù)列的前項(xiàng)，即可求得的值.
【詳解】（1）解：對(duì)任意的，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，
，
因?yàn)椋?，故?br>當(dāng)時(shí)，適合，
所以，．
（2）解：因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，
所以，，
所以，數(shù)列的前項(xiàng)分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前項(xiàng)是由個(gè)與個(gè)組成．所以．
變式6-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知公比不為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．?dāng)?shù)列滿足，且，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用等比數(shù)列求和公式可求得等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)，由此可得；利用已知遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而得到；
（2）由（1）可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，采用并項(xiàng)求和法可求得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由可求得.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，又，，解得：，
，；
由得：，又，
，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
.
（2）由（1）得：；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
綜上所述：.
一、單選題
1．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽二十中?？奸_學(xué)考試）已知等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．63B．90C．99D．117
【答案】C
【分析】代入等差數(shù)列的公式，求首項(xiàng)和公差，再代入前項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)題意可知，
，解得，
所以.
故選：C
2．（2023秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】應(yīng)用累加法求的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前9項(xiàng)和.
【詳解】由題設(shè)，，
所以，
故.
故選：C
二、多選題
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說法正確的有（ ）
A．B．
C．D．的最大值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可求得為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，進(jìn)而確定，知AB正誤；由可確定C正確；分別討論和時(shí)，的通項(xiàng)公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可確定D正確.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又，
，則，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又，；
由A知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
綜上所述：，D正確.
故選：ACD.
三、填空題
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，則的值為 .
【答案】1009
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)式，求出，再利用倒序相加法求和作答.
【詳解】由函數(shù)，得，
令，
則，
兩式相加得，解得，
所以所求值為1009.
故答案為：1009
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用裂項(xiàng)相消法及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.
【詳解】依題意，，
所以
.
故答案為：
6．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知的前n項(xiàng)和，則 .
【答案】
【分析】利用與的關(guān)系，結(jié)合絕對(duì)值的定義及即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
取時(shí)，，此式不滿足，
故的通項(xiàng)公式為，
根據(jù)通項(xiàng)公式知，.
所以
故答案為：.
7．（2023秋·北京·高三校考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.是等差數(shù)列，且，，則的通項(xiàng)公式為 ；設(shè)，求= .
【答案】
【分析】根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求解的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式求和即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以
因此數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則，
所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
解得，所以；
所以，所以.
故答案為：，
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法探求：若，則 .
【答案】4038
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合倒序相加法求和作答.
【詳解】正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，，則，
由，當(dāng)時(shí)，，
于是，令，
則
因此，
所以.
故答案為：4038
四、解答題
9．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）記公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，，成等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)求解，
（2）由錯(cuò)位相減法求解．
【詳解】（1）設(shè)的公比為q，
由，，，成等差數(shù)列，得，．
法一：因?yàn)椋?，所以，?br>則．
法二：由題意得，，
解得，或（舍去），
所以．
（2）因?yàn)?，?br>所以，
則，
所以
，
所以．
10．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三儀征中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．
(1)求，并證明是等差數(shù)列；
(2)求．
【答案】(1)，證明見解析
(2)
【分析】（1）利用與前n項(xiàng)和的關(guān)系，由可得的值，即可求得的值；根據(jù)相減法求得為常數(shù)，證明其為等差數(shù)列；
（2）由（1）中數(shù)列為等差數(shù)列，對(duì)進(jìn)行奇偶討論，即可求得.
【詳解】（1）解：已知，
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以．
因?yàn)棰?，所以②?br>②－①得，，整理得，，
所以（常數(shù)），，
所以是首項(xiàng)為6，公差為4的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知，，，．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．
綜上所述，.
11．（2023秋·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知在正項(xiàng)數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）對(duì)已知等式分解因式結(jié)合各項(xiàng)都為正數(shù)，可得，從而可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，再利用分組求和法和裂項(xiàng)求和法可證得結(jié)果.
【詳解】（1）解：由，
得，
的各項(xiàng)都為正數(shù)，，
故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
.
（2）證明：由，
，
，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以.
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，___________，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.
在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.
①；②；③.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 三個(gè)條件中選①或②作差可得通項(xiàng),選③作商可得通項(xiàng)；
(2) 當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)分段可得40項(xiàng)和.
【詳解】（1）選①：∵，時(shí)，，
∴兩式相減得，即，又當(dāng)n=1時(shí)，，
∴，滿足上式，∴；
選②：當(dāng)n=1時(shí)，，∴，
∵，時(shí)，，
∴兩式相減得，
數(shù)列是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
∴；
選③∵，時(shí)，，
∴兩式相除得，當(dāng)n=1時(shí)，，滿足上式，∴；
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以.

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