1．設(shè)α，β是兩個不同的平面，則α⊥β的充要條件是( )
A．平面α內(nèi)任意一條直線與平面β垂直
B．平面α，β都垂直于同一條直線
C．平面α，β都垂直于同一平面
D．平面α內(nèi)存在一條直線與平面β垂直
2．經(jīng)過一個圓柱體上底面圓的一條直徑作兩個平面分別與下底面圓相切，則圓柱體在這兩個平面以下的部分就構(gòu)成一個正劈錐體(如圖)，現(xiàn)將此幾何體水平放置，從如圖所示的方向觀察該幾何體(正視方向所在的直線平行于所作兩個平面的交線)，則其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的形狀分別為( )
A.梯形、長方形、圓
B．三角形、長方形、圓
C．梯形、梯形、圓
D．三角形、梯形、圓
3．[2023·四川省成都市陽安中學(xué)月考]設(shè)a，b為兩條直線，α、β為兩個平面，下列說法正確的是( )
A．若a⊥b，a⊥α，則b∥α
B．若a⊥b，b∥α，則a∥α
C．若a∥b，a∥α，則b∥α
D．若α⊥β，a?α，α∩β＝b，a⊥b，則a⊥β
4．[2023·河北唐山模擬]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長度為( )
A．2 eq \r(2) B．3 C． eq \r(10) D．2 eq \r(3)
5．[2023·安徽省九師聯(lián)盟質(zhì)量檢測]用一個平面去截正方體，如果截面是三角形，則截面三角形的形狀不可能是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．銳角三角形 D．等邊三角形
6．[2023·江西省“紅色十?！甭?lián)考]在長方體ABCD - A1B1C1D1中，AD＝2AB＝2AA1，則異面直線AC1與BB1所成角的余弦值為( )
A． eq \f(\r(6),6) B． eq \f(\r(6),3) C． eq \f(\r(5),5) D． eq \f(1,2)
7．[2023·云南昆明模擬]如圖①，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在線段PC上，AD⊥PC.如圖②，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，連接PB，PC，設(shè)PB的中點為N.對于圖②，下列選項錯誤的是( )
A．平面PAB⊥平面PBC
B．BC⊥平面PDC
C．PD⊥AC
D．PB＝2AN
8．[2023·懷仁市一模]在矩形ABCD中，BC＝4，M為BC的中點，將△ABM和△DCM分別沿AM，DM翻折，使點B與點C重合于點P，若∠APD＝150°，則三棱錐M - PAD的外接球的表面積為( )
A.12π B．34π C．68π D．126π
9．[2023·甘肅省張掖市某重點校檢測]已知一四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的較長側(cè)棱與底面所成角的正切值為( )
A． eq \f(\r(5),2) B． eq \f(\r(5),3) C． eq \f(\r(10),4) D． eq \f(1,2)
10．[2023·廣西貴港市百校聯(lián)考]正三棱柱ABC - A1B1C1的底面邊長是4，側(cè)棱長是6，M，N分別為BB1，CC1的中點，若點P是三棱柱內(nèi)(含棱柱的表面)的動點，MP∥平面AB1N，則動點P的軌跡面積為( )
A．5 eq \r(3) B．5 C． eq \r(39) D． eq \r(26)
11．[2023·江門市模擬]如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，DA＝DC＝ eq \r(6) ，現(xiàn)沿對角線AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此時點A，B，C，D在同一個球面上，則該球的體積是( )
A． eq \f(9,2) π B． eq \f(8\r(2),3) π
C． eq \f(27,2) π D．12π
12．[2023·江西省豐城中學(xué)、新余一中聯(lián)考]如圖，已知正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長為a，點E，F(xiàn)，G，H，I分別為線段A1D1，A1B1，B1B，BC，B1D1的中點，連接CD1，B1D1，B1C，DE，BF，CI，則下列正確結(jié)論的個數(shù)是( )
①點E，F(xiàn)，G，H在同一個平面上；
②平面CB1D1∥平面EFD；
③直線DE，BF，CI交于同一點；
④直線BF與直線B1C所成角的余弦值為 eq \f(\r(10),5) .
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．[2023·四川綿陽檢測]如圖，正八面體的棱長為2，則該正八面體的體積為________．
14．如圖，四棱臺A1B1C1D1－ABCD的底面是正方形，DD1⊥底面ABCD，DD1＝AB＝2A1B1，則直線AD1與BC1所成角的余弦值為________．
15．[2023·黑龍江齊齊哈爾市模擬]三棱錐P - ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，在底面ABC中，AB＝2，∠C＝60°，則三棱錐P - ABC的外接球的體積等于________．
16．[2023·貴州省名校聯(lián)盟期末]在三棱錐P - ABC中，底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB＝4，PA＝PB＝PC＝ eq \r(13) ，則三棱錐P - ABC外接球的表面積為________．
三、解答題(共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)
如圖，在四棱錐P - ABCD中，底面ABCD為正方形，且PA⊥底面ABCD.
(1)求證：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若E為棱BC的中點，在棱PA上求一點F，使BF∥平面PDE.
18．(本小題滿分12分)
[2023·四川省成都市樹德中學(xué)月考]如圖，在三棱錐S - ABC中，AB＝AC＝2，SA＝SB＝SC＝3 eq \r(2) ，BC＝2 eq \r(2) ，D為BC的中點．
(1)證明：SD⊥平面ABC；
(2)若點E在棱AC上，且EC＝2EA，求點C到平面SDE的距離．
19.(本小題滿分12分)
[2023·貴州省六校聯(lián)盟聯(lián)考]如圖，已知平行六面體ABCD - A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，CD＝CC1＝AC1＝2，∠DCB＝ eq \f(π,3) 且cs ∠C1CD＝cs ∠C1CB＝ eq \f(3,4) .
(1)試在平面ABCD內(nèi)過點C作直線l，使得直線l∥平面C1BD，說明作圖方法，并證明：直線l∥B1D1；
(2)求點C到平面A1BD的距離．
20．(本小題滿分12分)
[2023·貴州省遵義市高三月考]故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個面，其形狀與四阿頂相類似．已知底面ABCD為矩形，AB＝2AD＝2EF＝8，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC，M，N分別為AD，BC的中點．

(1)證明：EF∥AB，且BC⊥平面EFNM.
(2)若EM與底面ABCD所成的角為 eq \f(π,4) ，過點E作EH⊥MN，垂足為H，過H作平面ABFE的垂線，寫出作法，并求H到平面ABFE的距離．
21.(本小題滿分12分)
[2023·江西省南昌市高三上學(xué)期摸底]如圖，桌面上擺放了兩個相同的正四面體PABD和QABC.
(1)求證：PQ⊥AB；
(2)若AB＝2，求四面體APQB的體積．
22．(本小題滿分12分)
[2023·貴州省貴陽第一中學(xué)月考]正△ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC的中點(如圖甲).現(xiàn)將△ABC沿CD翻成直二面角A - DC - B(如圖乙).在圖乙中：
(1)求證：AB∥平面DEF；
(2)求點C到平面DEF的距離．

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