第七章培優(yōu)課——離散型隨機變量的均值與方差的綜合應用重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引 重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一　二項分布均值與方差的綜合【例1】 將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球自由下落,在下落的過程中,每次遇到障礙物時,小球向左、右兩邊下落的概率分別是 ,小球最后落入A袋或B袋中.(1)分別求出小球落入A袋和B袋中的概率;(2)在容器的入口處依次放入4個小球,記ξ為落入B袋中的小球的個數(shù),求ξ的分布列、均值和方差.規(guī)律方法　通過審題,明確判斷出隨機變量X(擊中次數(shù))服從二項分布是解題的關鍵,然后利用二項分布的均值和方差的計算公式即可求出E(X),D(X).變式訓練1某運動員投籃命中率P=0.6.(1)求1次投籃命中次數(shù)ξ的均值與方差;(2)求重復5次投籃時,命中次數(shù)η的均值與方差.解 (1)投籃1次只有兩種結果,投籃命中ξ=1,不中ξ=0,服從兩點分布,其分布列為則E(ξ)=1×0.6=0.6,D(ξ)=(1-0.6)×0.6=0.24.(2)由題意,重復5次投籃,命中的次數(shù)η服從二項分布,即η~B(5,0.6).由二項分布均值與方差的計算公式知,E(η)=5×0.6=3,D(η)=5×0.6×0.4=1.2.探究點二　離散型隨機變量的均值與方差的常見類型【例2】 設袋子中裝有a個紅球、b個黃球、c個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分.(1)當a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取一個球,記下顏色后放回,再取一個球(每球取到的機會均等),記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和,求ξ的分布列.(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球,記隨機變量η為取出此球所得分數(shù).若E(η)= ,D(η)= ,求a∶b∶c.(2)由題意知η的分布列為 規(guī)律方法　離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機變量的均值與方差.可依題設條件求出離散型隨機變量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值.變式訓練2某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是:滑雪時間不超過1小時免費,超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動,設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為 ;1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為 ;兩人滑雪時間都不會超過3小時.(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率;(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列與均值E(ξ),方差D(ξ).探究點三　均值與方差在決策中的應用【例3】 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,并假設各年的入流量相互獨立.(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關系:若某臺發(fā)電機運行,則該臺發(fā)電機年利潤為5 000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺發(fā)電機年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機多少臺?(2)記水電站年總利潤為Y(單位:萬元).①安裝1臺發(fā)電機的情形.由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應的年利潤Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000.②安裝2臺發(fā)電機的情形.依題意,當40

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