?第19講 專題：滑塊和彈簧
知識圖譜


木板、滑塊模型中的動力學(xué)問題


知識精講
一．滑塊—木板模型的特點(diǎn)
1.滑塊—木板模型是指上、下疊放兩個(gè)物體位于地面或桌面上，并且兩物體在相對的摩擦力的作用下，一起或者發(fā)生相對運(yùn)動。涉及摩擦力分析、相對運(yùn)動、摩擦生熱，多 次互相作用，屬于多物體多過程問題，知識綜合性較強(qiáng)。

2.模型特點(diǎn)
(1) 相互作用：滑塊之間的摩擦力分析。另外，需要外力的作用。
(2)相對運(yùn)動：具有相同的速度時(shí)相對靜止。兩相互作用的物體在速度相同，但加速度不相同時(shí)，兩者之間同樣有位置的變化，發(fā)生相對運(yùn)動。
(3)通常所說物體運(yùn)動的位移、速度、都是對地而言。
(4)求位移和速度通常會用到牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式以及動能定理。

二．滑塊—木板模型問題的主要分類
已知A滑塊和B木板的質(zhì)量分別為和，靜止疊放在水平面上，A和B之間的動摩擦系數(shù)是，B與地面之間的動摩擦系數(shù)是，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。
1．當(dāng)水平作用力施加在下面的木板上的情況

由圖可知，滑塊和木板之間的最大靜摩擦力為，地面對木板的最大靜摩擦力為。
物理過程分析：當(dāng)F較小時(shí)，A和B一起保持靜止；當(dāng)F增加時(shí)，A和B保持相對靜止，并且一起向右加速運(yùn)動；當(dāng)繼續(xù)增加F時(shí)，存在一個(gè)臨界值(定義為)，A相對于B向左滑動， A的加速度由滑塊和木板之間的最大靜摩擦力（）提供，此時(shí)，以A和B為研究對象時(shí)，可以計(jì)算（此時(shí)，，受力分析如圖）。

滑塊和木板的運(yùn)動狀態(tài)分類如下：
（1）當(dāng)水平拉力，A和B保持靜止?fàn)顟B(tài)，且他們之間的靜摩擦力為零。
（2）當(dāng)水平拉力時(shí)，A和B保持相對靜止，一起向右加速運(yùn)動，此時(shí)可以把A和B看成一個(gè)整體，對整體的受力分析可以計(jì)算出共同的加速度： 。
（3）當(dāng)水平拉力，A的加速度小于B的加速度，A相對于地面向右做勻加速運(yùn)動（）；而B相對于地面也向右做勻加速運(yùn)動（）。
2．當(dāng)水平作用力施加在上面的木快上的情況

當(dāng)外力F作用在上面的滑塊時(shí)，需要考慮木板B是否能被拉動，也主要取決于A滑塊對B木板的摩擦力的大小?；瑝KA對木板B的最大靜摩擦力為，地面對木板的最大靜摩擦力為。 下面對滑塊和木板的運(yùn)動狀態(tài)分類討論：
（1）當(dāng) ，則無倫多大的水平力作用在滑塊上，都不能使木板B動起來，B始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)，滑塊的A的運(yùn)動狀態(tài)取決于F的大小，當(dāng)時(shí)，滑塊A處于靜止，當(dāng)時(shí)，滑塊A向右做加速運(yùn)動。
（2）當(dāng)，滑塊A可以將木板B帶動。此時(shí)，以整體對研究對象，當(dāng)F較小時(shí)（），滑塊A和木板B都處于靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)時(shí)，開始滑塊A和木板B一起向右加速運(yùn)動，對整體進(jìn)行受力分析，可以求得共同的加速度；當(dāng)F很大時(shí)，大于一個(gè)臨界值時(shí)，兩物體存在相對運(yùn)動。臨界狀態(tài)為滑塊A和木板以最大共同的加速向右運(yùn)動，且加速度與滑板B的最大加速相同，即,此時(shí)以整體為研究對象，可以計(jì)算的臨界值的大?。?。

三點(diǎn)剖析
一．考點(diǎn)與難度系數(shù)
1．了解“滑板―滑塊模型”的模型特點(diǎn)和動力學(xué)特征★★
2．掌握“滑板―滑塊模型”問題的分析方法和技巧★★

二．易錯(cuò)點(diǎn)和重難點(diǎn)
滑塊—木板模型作為力學(xué)的基本模型經(jīng)常出現(xiàn)，是對直線運(yùn)動和牛頓運(yùn)動定律有關(guān)知識的鞏固和應(yīng)用。這類問題的分析有利于培養(yǎng)學(xué)生對物理情景的想象能力，為后面動量和能量知識的綜合應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。

外力作用于滑塊的情況
例題1、 如圖甲所示，兩物體A、B疊放在光滑水平面上，對物體A施加一水平力F，F(xiàn)-t關(guān)系圖象如圖乙所示．兩物體在力F作用下由靜止開始運(yùn)動，且始終相對靜止，則（ ）

A.兩物體做勻變速直線運(yùn)動
B.2s～3s時(shí)間內(nèi)兩物體間的摩擦力逐漸減小
C.A對B的摩擦力方向始終與力F的方向相同
D.兩物體沿直線做往復(fù)運(yùn)動
例題2、 如圖，在光滑水平面上有一質(zhì)量為m1的足夠長的木板，其上疊放一質(zhì)量為m2的木塊．假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等．現(xiàn)給木塊施加一隨時(shí)間t增大的水平力F=kt（k是常數(shù)），木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2，下列反映a1和a2變化的圖線中正確的是（ ）

A.A選項(xiàng)
B.B選項(xiàng)
C.C選項(xiàng)
D.D選項(xiàng)
例題3、 如圖所示，A、B兩物塊的質(zhì)量分別為2m和m，靜止疊放在水平地面上．A、B間的動摩擦因數(shù)為μ，B與地面間的動摩擦因數(shù)為μ．最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g．現(xiàn)對A施加一水平拉力F，則下列說法中錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A.當(dāng)F＜2μmg 時(shí)，A、B都相對地面靜止
B.當(dāng)F=μmg時(shí)，A的加速度為μg
C.當(dāng)F＞3μmg時(shí)，A相對B滑動
D.無論F為何值，B的加速度不會超過μg
隨練1、 如圖所示，水平面上有一塊木板，質(zhì)量M = 4.0 kg，它與水平面間的動摩擦因數(shù)μ1=0.10。在木板的最左端有一個(gè)小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），質(zhì)量m=2.0 kg。小滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)μ2=0.50。開始時(shí)它們都處于靜止?fàn)顟B(tài)。某時(shí)刻起對小滑塊施加一個(gè)水平向右的恒力F＝18N，此后小滑塊將相對木板滑動，1.0s后撤去該力。
（1）求小滑塊在木板上滑行時(shí)，木板加速度a的大??；
（2）若要使小滑塊不離開木板，求木板的長度L應(yīng)滿足的條件。


外力作用于木板的情況
例題1、[多選題] 如圖所示，一足夠長的木板靜止在光滑水平面上，一物塊靜止在木板上，木板和物塊間有摩擦．現(xiàn)用水平力向右拉木板，當(dāng)物塊相對木板滑動了一段距離但仍有相對運(yùn)動時(shí)，撤掉拉力，此后木板和物塊相對于水平面的運(yùn)動情況為（ ）

A.物塊先向左運(yùn)動，再向右運(yùn)動
B.物塊向右運(yùn)動，速度逐漸增大，直到做勻速運(yùn)動
C.木板向右運(yùn)動，速度逐漸變小，直到做勻速運(yùn)動
D.木板和物塊的速度都逐漸變小，直到為零
例題2、 兩物體疊放在一起，放在光滑的水平面上，從靜止開始受到一變力的作用，該力與時(shí)間的關(guān)系如圖所示，始終相對靜止，則下列說法正確的是（ ）

A.在時(shí)刻，之間的摩擦力最大
B.在時(shí)刻，的速度最大
C.時(shí)刻，回到出發(fā)點(diǎn)
D.在時(shí)間內(nèi)，摩擦力對做功不為零
例題3、 如圖所示，光滑的水平面上放著一塊木板，木板處于靜止?fàn)顟B(tài)，其質(zhì)量M=2.0kg。質(zhì)量m=1.0 kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在木板的最右端?，F(xiàn)對木板施加一個(gè)水平向右的恒力F，使木板與小物塊發(fā)生相對滑動。已知F=6N，小物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)μ=0.10，g取10m/s。
（1）求木板開始運(yùn)動時(shí)的加速度大??；
（2）在F作用1s后將其撤去，為使小物塊不脫離木板，木板至少多長？

隨練1、 如圖所示，一質(zhì)量M=2.0kg的長木板靜止放在光滑水平面上，在木板的右端放一質(zhì)量m=1.0kg可看作質(zhì)點(diǎn)的小物塊，小物塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2．用恒力F向右拉動木板使木板在水平面上做勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)過t=1.0s后撤去該恒力，此時(shí)小物塊恰好運(yùn)動到距木板右端l=1.0m處．在此后的運(yùn)動中小物塊沒有從木板上掉下來．求：
（1）小物塊在加速過程中受到的摩擦力的大小和方向；
（2）作用于木板的恒力F的大??；
（3）木板的長度至少是多少？


木板-滑塊模型中的動量和能量問題


知識精講
一．“滑塊與木板”模型：
1．“滑塊與木板”問題是動量和能量綜合應(yīng)用之一，由于滑塊和木板之間常存在一對相互作用的摩擦力，這對摩擦力使滑塊、長木板的動量發(fā)生變化，也使他們的動能發(fā)生變化。但若將兩者視為系統(tǒng)，則這對摩擦力是系統(tǒng)的內(nèi)力，他不影響系統(tǒng)的總動量，但克服他做功，使系統(tǒng)的機(jī)械能損失，所以解決“滑塊與長木板”類問題常用到動量守恒定律和動能定理（或功能關(guān)系）。
2．解決“滑塊”類問題時(shí)一般要根據(jù)題意畫出情景示意圖，這樣有利于幫助分析物理過程，也有利于找出物理量尤其是位移之間的關(guān)系。
3．滑塊和木板之間摩擦生熱的多少和滑塊相對地面的位移無關(guān)，大小等于滑動摩擦力與滑塊相對摩擦面所通過總路程之乘積，即 ，這是分析該模型試題的巧妙思維切入點(diǎn)。若能先求出由于摩擦生熱而損失的能量，就可以應(yīng)用能量守恒求解其它相關(guān)物理量。

二．“子彈打木塊”模型
“子彈擊木塊”模型可分為兩種：一種是子彈擊中木塊的瞬間獲得共同的速度，此模型滿足動量守恒定律；另一種是子彈在木塊中穿行，因水平面光滑，系統(tǒng)動量也守恒，同時(shí)子彈與木塊間的摩擦力做功影響著兩者動能的變化。所以解決“子彈打木塊”類問題常用到動量守恒定律和動能定理（或功能關(guān)系）。其實(shí)質(zhì)和“滑塊與長木板”模型相同。

三點(diǎn)剖析
一．核心考點(diǎn)：寫函數(shù)關(guān)系式（力學(xué)）★★
1．理解滑塊在長木板上運(yùn)動中的動量和能量問題；
2．理解子彈打木塊中的動量和能量問題。

二．重難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)
解決力學(xué)問題的三個(gè)觀點(diǎn)
思想觀點(diǎn)
規(guī)律
研究對象
動力學(xué)觀點(diǎn)
牛頓運(yùn)動（第一第二第三）定律及運(yùn)動學(xué)公式

單個(gè)物體或整體
動量觀點(diǎn)
動量守恒定律

系統(tǒng)
動量定理
單個(gè)物體
能量觀點(diǎn)
動能定理
單個(gè)物體
機(jī)械能守恒定律能量守恒定律
單個(gè)（包含地球）或系統(tǒng)



滑塊-木板模型中的能量問題
例題1、 如圖所示，長木板A靜止放在光滑的水平地面上，物體B以水平速度沖上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，則從B沖到木板A上到相對板A靜止的過程中，下述說法中正確的是（ ）

A.物體B克服摩擦力做的功等于木板A增加的機(jī)械能與系統(tǒng)增加的內(nèi)能之和
B.物體B動能的減少量等于系統(tǒng)損失的機(jī)械能
C.物體B克服摩擦力做的功等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加量
D.物體B損失的機(jī)械能等于木板A獲得的機(jī)械能
例題2、 如圖所示，質(zhì)量M=10kg、上表面光滑的足夠長的木板在F=50N的水平拉力作用下，以初速度v0=5m/s沿水平地面向右勻速運(yùn)動．現(xiàn)有足夠多相同的小鐵塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），它們的質(zhì)量為m=1.0kg，將一個(gè)小鐵塊無初速地放在做勻速運(yùn)動木板的最右端，當(dāng)木板運(yùn)動了L=1.0m時(shí)，又無初速度地在木板的最右端放上第2個(gè)小鐵塊，如此重復(fù)，只要木板運(yùn)動了L就在木板的最右端無初速度放上一個(gè)小鐵塊．取g=10m/s2，求：
（1）木板與地面間的動摩擦因數(shù)；
（2）第1個(gè)小鐵塊放上后，木板加速度大??；
（3）第1個(gè)小鐵塊放上后，木板運(yùn)動了L時(shí)，木板的速度大??；第三個(gè)小球放上后木板運(yùn)動運(yùn)動了L時(shí)模板的速度．

例題3、 如圖所示，物體A放在足夠長的木板B上，木板B靜止于水平面．t=0時(shí)，電動機(jī)通過水平細(xì)繩以恒力F拉木板B，使它做初速度為零、加速度aB=1.0m/s2的勻加速直線運(yùn)動．已知A的質(zhì)量mA和B的質(zhì)量mB均為2.0kg，A、B之間的動摩擦因數(shù)μ1=0.05，B與水平面之間的動摩擦因數(shù)μ2=0.1，最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小視為相等，重力加速度g取10m/s2．求

（1）物體A剛運(yùn)動時(shí)的加速度aA；
（2）t=1.0s時(shí)，電動機(jī)的輸出功率P；
（3）若t=1.0s時(shí)，將電動機(jī)的輸出功率立即調(diào)整為P′=5W，并在以后的運(yùn)動過程中始終保持這一功率不變，t=3.8s時(shí)物體A的速度為1.2m/s．則在t=1.0s到t=3.8s這段時(shí)間內(nèi)木板B的位移為多少？
隨練1、[多選題] 如圖，一塊木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物體A，現(xiàn)以恒定的外力拉B，由于A、B間摩擦力的作用，A將在B上滑動，以地面為參照物，A、B都向前移動一段距離，在此過程中（ ）

A.外力F做的功等于A和B的動能的增量
B.B對A的摩擦力所做的功，等于A的動能的增量
C.A對B的摩擦力所做的功，等于B對A的摩擦力所做的功
D.外力F對B做的功等于B的動能的增量與B克服摩擦力所做的功之和
隨練2、 如圖所示，有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺上的A點(diǎn)以v0=3m/s的初速度水平拋出，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，恰好沿C點(diǎn)的切線方向進(jìn)入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點(diǎn)的質(zhì)量為M=3kg的長木板．已知木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，圓弧軌道的半徑為R=0.5m，C點(diǎn)和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=53°，不計(jì)空氣阻力，求：（ g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）A、C兩點(diǎn)的高度差；
（2）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板的最小長度．

隨練3、 如圖所示，固定的光滑平臺上一輕彈簧一端固定在平臺上，彈簧長度比平臺短．木板B左端緊靠平臺，木板C放在B右端，第一次B、C用銷釘固定，然后用大小可忽略的木塊A將彈簧壓縮到某一位置，釋放后A恰能運(yùn)動到C右端．第二次將銷釘撤去，仍使A將彈簧壓縮到同一位置后釋放，若A與B、C間動摩擦因數(shù)為μ1=0.5，B、C與地面動摩擦因數(shù)為μ2=0.1，A、B、C質(zhì)量分別為mA=mC=1.0kg、mB=3.0kg，B、C長度均為L=2.0m，g=10m/s2，求：
（1）釋放A后彈簧對A做功是多少？
（2）第二次B、C未固定時(shí)，A滑過B右端的瞬時(shí)速度多大？
（3）第二次B、C未固定時(shí)，最終BC間的距離多大？

滑塊-木板模型中的動量問題
例題1、 如圖所示，物塊A靜止在光滑水平面上，木板B和物塊C一起以速度v0向右運(yùn)動，與A發(fā)生彈性正碰，已知v0=5m/s，mA=6kg，mB=4kg，mC=2kg，C與B之間動摩擦因數(shù)μ=0.2，木板B足夠長，取g=10m/s2，求：
（1）B與A碰撞后A物塊的速度；
（2）B、C共同的速度；
（3）整個(gè)過程中系統(tǒng)增加的內(nèi)能．

例題2、 如圖所示，帶有光滑圓弧的小車A的半徑為R，靜止在光滑水平面上。滑塊C置于木板B的右端， A、B、C的質(zhì)量均為m， A、B底面厚度相同。現(xiàn)B、C以相同的速度向右勻速運(yùn)動，B與A碰后即粘連在一起，C恰好能沿A的圓弧軌道滑到與圓心等高處，求：

(1)B、C一起勻速運(yùn)動的速度為多少
(2)滑塊C返回到A的底端時(shí)AB整體和C的速度為多少
(3)滑塊C返回到A的底端時(shí)C對A的壓力為多少
例題3、 （2015湖北黃岡中學(xué)高三上期中）如圖所示，光滑水平面上靜止放置質(zhì)量M=2kg的長木板C；離板右端x=0.72m處靜止放置質(zhì)量mA=1kg的小物塊A，A與C間的動摩擦因數(shù)μ=0.4；在板右端靜止放置質(zhì)量mB=1kg的小物塊B，B與C間的摩擦忽略不計(jì)．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)，g=10m/s2．現(xiàn)在木板上加一水平向右的力F=3N，到A與B發(fā)生彈性碰撞時(shí)撤去力F．問：

①A與B碰撞之前運(yùn)動的時(shí)間是多少？
②若A最終能停在C上，則長木板C的長度至少是多少？
例題4、 如圖所示，質(zhì)量為3m的木板靜止放在光滑的水平面上，木板左端固定著一根輕彈簧，質(zhì)量為m的木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從木板右端以未知速度v0開始沿木板向左滑行，最終回到木板右端剛好未從木板上滑出，若在小木塊壓縮彈簧過程中，彈簧具有最大彈性勢能為Ep，小木塊與木板間動摩擦因數(shù)的大小保持不變，求：

（1）木塊的未知速度v0．
（2）以木塊與木板為系統(tǒng)，上述過程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能．
隨練1、 如圖所示，質(zhì)量為M的木板長為L，木板的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B，中點(diǎn)為O，木板置于光滑的水平面上并以v0的水平初速度向右運(yùn)動．若把質(zhì)量為m的小木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）置于木板的B端，小木塊的初速度為零，最終小木塊隨木板一起運(yùn)動．小木塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．求：

（1）小木塊與木板相對靜止時(shí)，木板運(yùn)動的速度；
（2）從小木塊放上木板到它與木板相對靜止的過程中，木板運(yùn)動的位移；
（3）小木塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ的取值在什么范圍內(nèi)，才能使木塊最終相對于木板靜止時(shí)位于OA之間．
隨練2、 如圖所示，木板A、B緊靠在一起，放在光滑水平面上，mA=5kg，mB=4kg，A、B上表面粗糙．另有一個(gè)質(zhì)量為1kg的物塊C以初速度v0從A的左端向右滑動，最后C物塊在木板B上與木板B一起以1.5m/s的速度運(yùn)動，木板A最終的速度大小為vA=0.5m/s．已知C與A、B間動摩擦因數(shù)均為μ=0.2，求：
（1）物塊C的初速度v0的大??；
（2）物塊C在木板B上滑行的距離．

隨練3、 如圖所示，質(zhì)量M=1.5kg的長為m的木板C靜止在光滑水平面上，在C的左上端有質(zhì)量分別為m1=1kg和m2=0.5kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的A、B兩滑塊，在A、B間有一用細(xì)線系住的壓縮彈簧（彈簧與A、B不連接且壓縮時(shí)的長度不計(jì)），彈簧具有6J的彈性勢能，B與C間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，現(xiàn)燒斷細(xì)線．求：

（1）燒斷細(xì)線后m2獲得的速度多大？
（2）整個(gè)過程中木板C獲得的最大速度？

子彈射木塊模型中的動量和能量問題
例題1、[多選題] 如圖所示，光滑水平面上有A、B兩木塊，A 、Ｂ緊靠在一起，子彈以速度v0向原來靜止的A射去，子彈擊穿A留在B中。下面說法正確的是：（　　）
B
A

A.子彈擊中A的過程中，子彈和A、B組成的系統(tǒng)動量守恒
B.子彈擊中A的過程中，A和B組成的系統(tǒng)動量守恒
C.子彈擊中A的過程中，子彈和A組成的系統(tǒng)動量守恒
D.子彈擊穿A后，子彈和B組成的系統(tǒng)動量守恒
例題2、 長為L、質(zhì)量為M的木塊在粗糙的水平面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，有一質(zhì)量為m的子彈（可視為質(zhì)點(diǎn)）以水平速度v0擊中木塊并恰好未穿出。設(shè)子彈射入木塊過程時(shí)間極短，子彈受到木塊的阻力恒定，木塊運(yùn)動的最大距離為s，重力加速度為g，求：
（i）木塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ；
（ii）子彈在進(jìn)入木塊過程中產(chǎn)生多少熱量

例題3、 如圖所示，質(zhì)量為M=2kg的足夠長的小平板車靜止在光滑水平面上，車的一端靜止著質(zhì)量為MA=2kg的物體A（可視為質(zhì)點(diǎn)）．一個(gè)質(zhì)量為m=20g的子彈以500m/s的水平速度迅即射穿A后，速度變?yōu)閘00m/s，最后物體A靜止在車上．若物體A與小車間的動摩擦因數(shù)=0.5（g取10m/s2）
①平板車最后的速度是多大？
②全過程損失的機(jī)械能為多少？
③A在平板車上滑行的距離為多少？

隨練1、 如圖所示，有一質(zhì)量m2=0.25kg的平頂小車，在車頂正中間放一質(zhì)量m3=0.1kg的小物體，小物體可視為質(zhì)點(diǎn)，與車頂之間的動摩擦因數(shù)μ=，小車靜止在光滑的水平軌道上．現(xiàn)有一質(zhì)量m1=0.05kg的子彈以水平速度v0=20m/s射中小車左端，并留在車中（子彈與車相互作用時(shí)間很短）．后來小物體m3以速度v3=1m/s從平頂小車的一端滑出，取g=10m/s2．試求：
（1）子彈打入小車的瞬間小車的速度；
（2）小物體m3從平頂小車的一端滑出時(shí)，平頂小車的速度大小；
（3）平頂小車的長度．

隨練2、 如圖所示，兩塊長度均為d=0.2m的木塊A、B，緊靠著放在光滑水平面上，其質(zhì)量均為M=0.9kg．一顆質(zhì)量為m=0.02kg的子彈（可視為質(zhì)點(diǎn)且不計(jì)重力）以速度υ0=500m/s水平向右射入木塊A，當(dāng)子彈恰水平穿出A時(shí)，測得木塊的速度為υ=2m/s，子彈最終停留在木塊B中．求：

（1）子彈離開木塊A時(shí)的速度大小及子彈在木塊A中所受的阻力大??；
（2）子彈穿出A后進(jìn)入B的過程中，子彈與B組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能．
隨練3、 如圖所示為水平傳送裝置，軸間距離AB長l=8.3m，質(zhì)量為M=1kg的木塊隨傳送帶一起以v1=2m/s的速度向左勻速運(yùn)動（傳送帶的傳送速度恒定），木塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．當(dāng)木塊運(yùn)動至最左端A點(diǎn)時(shí)，一顆質(zhì)量為m=20g的子彈以=300m/s水平向右的速度正對射入木塊并穿出，穿出速度u=50m/s，以后每隔1s就有一顆子彈射向木塊，設(shè)子彈射穿木塊的時(shí)間極短，且每次射入點(diǎn)各不相同，g取10m/s2．求：
（1）在被第二顆子彈擊中前，木塊向右運(yùn)動離A點(diǎn)的最大距離？
（2）木塊在傳達(dá)帶上最多能被多少顆子彈擊中？
（3）從第一顆子彈射中木塊到木塊最終離開傳送帶的過程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統(tǒng)產(chǎn)生的總內(nèi)能是多少？


含彈簧的能量問題


知識精講
一．核心考點(diǎn)：
1．理解談力做功與彈性勢能的關(guān)系★★
2．利用功和能的關(guān)系解決綜合問題★★★★

二．重難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)
對于彈性勢能，高中階段并不需要定量計(jì)算，但是需要定性的了解，即知道彈性勢能大小與彈簧的形變量之間存在直接的關(guān)系，對于相同的彈簧，形變量一樣的時(shí)候，彈性勢能就是一樣的，不管是壓縮還是拉伸狀態(tài)。

三點(diǎn)剖析
一．核心考點(diǎn)：
1．理解談力做功與彈性勢能的關(guān)系★★
2．利用功和能的關(guān)系解決綜合問題★★★★

二．重難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)
對于彈性勢能，高中階段并不需要定量計(jì)算，但是需要定性的了解，即知道彈性勢能大小與彈簧的形變量之間存在直接的關(guān)系，對于相同的彈簧，形變量一樣的時(shí)候，彈性勢能就是一樣的，不管是壓縮還是拉伸狀態(tài)。

含彈簧的能量問題
例題1、[多選題] 如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定一半徑為R的光滑圓軌道，a點(diǎn)為最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)，c點(diǎn)與圓心O等高，a、b間距為R。一輕質(zhì)彈簧的原長為1.5R，它的一端固定在a點(diǎn)，另一端系一小圓環(huán)，小圓環(huán)套在圓軌道上。某時(shí)刻，將小圓環(huán)從b點(diǎn)由靜止釋放，小圓環(huán)沿軌道下滑并通過d點(diǎn)。已知重力加速度大小為g，下列判斷正確的是（ ）

A.小圓環(huán)從b點(diǎn)運(yùn)動至c點(diǎn)的過程中先加速后減速
B.小圓環(huán)從b點(diǎn)運(yùn)動至d點(diǎn)的過程中，彈簧彈力對其先做正功后做負(fù)功
C.小圓環(huán)運(yùn)動至c點(diǎn)時(shí)的速度大于
D.小圓環(huán)運(yùn)動至d點(diǎn)時(shí)的速度小于
例題2、[多選題] 如圖所示，一輕彈簧左端與表面粗糙的物體P相連，右端與表面光滑的物體Q相連，開始時(shí)，P、Q均在水平面上靜止，彈簧處于原長狀態(tài)．現(xiàn)在物體P上作用一水平向右的恒定推力F，使物體P、Q向右運(yùn)動．則下列說法正確的是（ ）

A.經(jīng)過一段時(shí)間物體P、Q可能以相同的速度向右勻速運(yùn)動
B.經(jīng)過一段時(shí)間物體P、Q可能以相同的加速度向右運(yùn)動
C.任何一段時(shí)間內(nèi)彈簧對P、Q兩物體組成的系統(tǒng)做的功都為零
D.在運(yùn)動過程中取一段時(shí)問，該段時(shí)間內(nèi)P、Q兩物體增加的動能可能等于推力F做的功與摩擦力對物體P做功的代數(shù)和
例題3、[多選題] 如圖所示，一小球套在傾角為370的固定直桿上，輕彈簧一端與小球相連，另一端固定于水平地面上O點(diǎn)。小球由A點(diǎn)靜止釋放，它沿桿下滑到達(dá)最低點(diǎn)C時(shí)速度恰為0。A、C相距0. 8m，B是A、C連線的中點(diǎn)，小球質(zhì)量為lkg，彈簧原長為0.5m，勁度系數(shù)為40N/m，sin37°=0.6，g取l0m/s2。則小球從A到C過程中，下列說法正確的是（ ）

A.小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度最大
B.小球在B點(diǎn)時(shí)的加速度為6m/s2
C.彈簧彈力對小球先做正功后做負(fù)功
D.小球從A到B過程和從B到C過程摩擦力做功相等
例題4、 小物塊A的質(zhì)量為m=lkg，物塊與坡道間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，水平面光滑，坡道頂端距水平面高度為h=3m，傾角為θ=37°．物塊從坡道進(jìn)入水平滑道時(shí)，在底端O點(diǎn)處無機(jī)械能損失，重力加速度g取10m/s2．將輕彈簧的一端連接在水平滑道M處并固定在墻上，另一自由端恰位于坡道的底端O點(diǎn)，如圖所示．物塊A從坡頂由靜止滑下，（Sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）物塊滑到O點(diǎn)時(shí)的速度大小．
（2）彈簧壓縮量最大時(shí)的彈性勢能．
（3）物塊A被彈回到坡道上升的最大高度．

例題5、 如圖1所示，豎直彈簧的一端固定于地面，彈簧質(zhì)量不計(jì)。當(dāng)彈簧的形變量為x時(shí)，彈力大小為F＝kx，k為常量。

（1）請?jiān)趫D2中畫出F隨x變化的示意圖，并借助F－x圖像確定彈力做功的規(guī)律。
（2）一質(zhì)量m＝5kg的小球自彈簧正上方A點(diǎn)由靜止下落，A點(diǎn)距離彈簧原長處O點(diǎn)的距離h＝1.2m。在壓縮的全過程中，彈簧形變量均未超過彈性限度。彈簧勁度系數(shù)k＝5N／cm，重力加速度g＝10m／s2，不計(jì)空氣阻力。求：
a．彈簧的最大壓縮量xm；
b．小球下落過程的最大速度vm。
例題6、 如圖所示，固定斜面的傾角θ=30°，物體A與斜面之間的動摩擦因數(shù)為μ，輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長時(shí)上端位于C點(diǎn)，用一根不可伸長的輕繩通過輕質(zhì)光滑的定滑輪連接物體A和B，滑輪右側(cè)繩子與斜面平行，A的質(zhì)量為2m，B的質(zhì)量為m，初始時(shí)物體A到C點(diǎn)的距離為L．現(xiàn)給A、B一初速度v0使A開始沿斜面向下運(yùn)動，B向上運(yùn)動，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能回到C點(diǎn)．已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，求此過程中：
（1）物體A向下運(yùn)動剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）彈簧的最大壓縮量；
（3）彈簧中的最大彈性勢能．

例題7、 學(xué)?？萍脊?jié)上，同學(xué)發(fā)明了一個(gè)用彈簧槍擊打目標(biāo)的裝置，原理如圖甲，AC段是水平放置的同一木板；CD段是豎直放置的光滑半圓弧軌道，圓心為O，半徑R=0.2m；MN是與O點(diǎn)處在同一水平面的平臺；彈簧的左端固定，右端放一可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量m=0.05kg的彈珠P，它緊貼在彈簧的原長處B點(diǎn)；對彈珠P施加一水平外力F，緩慢壓縮彈簧，在這一過程中，所用外力F與彈簧壓縮量x的關(guān)系如圖乙所示．已知BC段長L=1.2m，EO間的距離s=0.8m．計(jì)算時(shí)g取10m/s2，滑動摩擦力等于最大靜摩擦力．壓縮彈簧釋放彈珠P后，求：
（1）彈珠P通過D點(diǎn)時(shí)的最小速度vD；
（2）彈珠P能準(zhǔn)確擊中平臺MN上的目標(biāo)E點(diǎn)，它通過C點(diǎn)時(shí)的速度vc；
（3）當(dāng)緩慢壓縮彈簧到壓縮量為x0時(shí)所用的外力為8.3N，釋放后彈珠P能準(zhǔn)確擊中平臺MN上的目標(biāo)E點(diǎn)，求壓縮量x0．

隨練1、[多選題] 如圖所示，水平面上的輕彈簧一端與物體相連，另一端固定在墻上P點(diǎn)，已知物體的質(zhì)量為m=2.0kg，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.4，彈簧的勁度系數(shù)k=200N/m．現(xiàn)用力F拉物體，使彈簧從處于自然狀態(tài)的O點(diǎn)由靜止開始向左移動10cm，這時(shí)彈簧具有彈性勢能Ep=1.0J，物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，若取g=10m/s2，則撤去外力F后（　　）

A.物體向右滑動的距離一定小于12.5 cm
B.物體向右滑動的距離可以超過12.5 cm
C.物體到達(dá)最右端時(shí)動能為0，系統(tǒng)機(jī)械能不為0
D.物體回到O點(diǎn)時(shí)速度最大
隨練2、[多選題] （2015四川雅安中學(xué)高三下開學(xué)）如圖所示，一根勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的重物，重物靜止時(shí)處于B位置．現(xiàn)用手托重物使之緩慢上升至彈簧原長位置A，之后放手，重物從靜止開始下落，沿豎直方向在A位置和C位置（圖中未畫出）之間做往復(fù)運(yùn)動．重物運(yùn)動過程中的最大速度為v，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．下列說法中正確的是（　　）

A.重物速度最大時(shí)彈簧的彈性勢能最小
B.重物在向下運(yùn)動的過程中，它的機(jī)械能逐漸減小
C.手托重物緩慢上移過程中，手對重物做功為W1=
D.重物從靜止下落到速度最大的過程中，重物克服彈簧彈力做功為W2=-mv2
隨練3、[多選題] 如圖所示，輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為m、套在粗糙豎直固定桿A處的圓環(huán)相連，彈簧水平且處于原長。圓環(huán)從A處由靜止開始下滑，經(jīng)過B處的速度最大，到達(dá)C處的速度為零，AC=h。圓環(huán)在C處獲得一豎直向上的速度v，恰好能回到A；彈簧始終在彈性限度之內(nèi)，重力加速度為g，則圓環(huán)（ ）

A.下滑過程中，加速度一直減小
B.下滑過程中，克服摩擦力做功為
C.在C處，彈簧的彈性勢能為
D.上滑經(jīng)過B的速度大于下滑經(jīng)過B的速度
隨練4、 如圖所示，傾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平面上，斜面足夠長。一根輕彈簧一端固定在斜面的底端，另一端與質(zhì)量m＝1.0kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）接觸，滑塊與彈簧不相連，彈簧處于壓縮狀態(tài)。已知彈簧的勁度系數(shù)k＝2.0×102N／m，現(xiàn)將滑塊從靜止釋放，當(dāng)滑塊與彈簧分離時(shí)，滑塊的速度v＝2.0m／s，滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5。g取10m／s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。彈簧彈性勢能的表達(dá)式為（式中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量），最后結(jié)果保留一位有效數(shù)字，求：
（1）釋放時(shí)彈簧的彈性勢能；
（2）滑塊向上運(yùn)動的最大速度；
（3）滑塊與彈簧再次接觸時(shí)的速度。

隨練5、 如圖所示，在豎直方向上A、B兩物體通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平地面上；B、C兩物體通過細(xì)線繞過輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使細(xì)線剛剛伸直但無拉力作用，并保證ab段的細(xì)線豎直、cd段的細(xì)線與斜面平行．已知A、B的質(zhì)量均為m，斜面傾角為θ=37°，重力加速度為g，滑輪的質(zhì)量和摩擦不計(jì)，開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．C釋放后沿斜面下滑，當(dāng)A剛要離開地面時(shí)，B的速度最大，（sin 37°
=0.6，cos 37°=0.8）求：
（1）從開始到物體A剛要離開地面的過程中，物體C沿斜面下滑的距離；
（2）C的質(zhì)量；
（3）A剛要離開地面時(shí)，C的動能．

隨練6、 如圖所示，質(zhì)量均為m的物體B、C分別與輕質(zhì)彈簧的兩端相栓接，將它們放在光滑水平面上，靜止時(shí)彈簧的形變量為x0．將質(zhì)量也為m的物體A從B的正上方某點(diǎn)由靜止釋放，A與B相碰．已知重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，不計(jì)空氣阻力．求：

（1）彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）若A與B相碰后粘連在一起開始做簡諧運(yùn)動，當(dāng)A與B第一次運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，C對地面的壓力恰好為零，求C對地面壓力的最大值；
（3）若將A從另一位置由靜止釋放，A與B相碰后不粘連，但仍立即一起運(yùn)動，且當(dāng)B第一次運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，C對地面的壓力也恰好為零．已知A與B相碰后彈簧第一次恢復(fù)原長時(shí)B的速度大小為v=，求相碰后A第一次運(yùn)動達(dá)到的最高點(diǎn)與開始靜止釋放點(diǎn)之間的距離．

拓展
1、 如圖所示，質(zhì)量M=0.2kg的足夠長的長板靜止在水平地面上，與地面間動摩擦因數(shù)μ1=0.1，另一質(zhì)量m=0.1kg的小滑塊以v0=0.9m/s初速滑上長木板，滑塊與長木板間動摩擦因數(shù)μ2=0.4，求小滑塊自滑上長板到最后靜止（相對地面）的過程中運(yùn)動的路程．（可以認(rèn)為長板與地面間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2）

2、 如圖所示，有一塊木板靜止在光滑且足夠長的水平面上，木板質(zhì)量為M=4kg，長為L=1.4m；木板右端放著一小滑塊，小滑塊質(zhì)量為m=1kg，其尺寸遠(yuǎn)小于L。小滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.4，重力加速度g=10m/s2。
（1）現(xiàn)用恒力F作用在木板M上，為了使得m能從M上面滑落下來，問：F大小的范圍是什么？
（2）其它條件不變，若恒力F=22.8N，且始終作用在M上，最終使得m能從M上面滑落下來。問：m在M上面滑動的時(shí)間是多大？

3、[多選題] 如圖所示，一個(gè)長為L，質(zhì)量為M的長方形木板，靜止在光滑水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），以水平初速度v0，從木板的左端滑向另一端，設(shè)物塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)物塊與木板達(dá)到相對靜止時(shí)，物塊仍在長木板上，物塊相對木板的位移為d，木板相對地面的位移為s．則在此過程中（ ）

A.摩擦力對物塊做功為﹣μmg（s+d）
B.摩擦力對木板做功為﹣μmgs
C.木板動能的增量為 μmgs
D.系統(tǒng)由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為 μmgd
4、 光滑水平面上有一質(zhì)量為M的木板，在木板的最左端有一質(zhì)量為m的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）．小滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ．開始時(shí)它們都處于靜止?fàn)顟B(tài)，某時(shí)刻給小滑塊一瞬時(shí)沖量，使小滑塊以初速度v0向右運(yùn)動．經(jīng)過一段時(shí)間小滑塊與木板達(dá)到共同速度v，此時(shí)小滑塊與木板最左端的距離為d，木板的位移為x，如圖所示．下列關(guān)系式正確的是（ ）

A.
B.
C.
D.
5、 如圖所示，長度L=2m、質(zhì)量m1=20kg的木板A放在光滑水平面上，質(zhì)量m2=4kg的小物塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)）位于木板的左端，A和B間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．現(xiàn)對小物塊B施加一水平向右的恒定拉力F=28N，經(jīng)過一段時(shí)間后，B從A右端離開，取g=10m/s2，求：

（1）離開前小物塊和木板的加速度；
（2）將B從A右端拉出過程中，系統(tǒng)克服摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能；
（3）求整個(gè)過程中系統(tǒng)機(jī)械能的增加量．
6、 如圖所示，木板A靜止在光滑水平面上，一小滑塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)）以某一水平初速度從木板的左端沖上木板．
（1）若木板A的質(zhì)量為M，滑塊B的質(zhì)量為m，初速度為v0，且滑塊B沒有從木板A的右端滑出，求木板A最終的速度v；
（2）若滑塊B以v1=3.0m/s的初速度沖上木板A，恰不掉下，最終速度的大小為v2=1.5m/s，求M與m的大小關(guān)系；
（3）若該滑塊B與木板A間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，g取10m/s2．求木板A的長度．

7、 如圖所示，在光滑水平面上有一塊長為L的木板B，其上表面粗糙，在其左端有一個(gè)光滑的圓弧槽C與長木板接觸但不連接，圓弧槽的下端與木板的上表面相平，B、C靜止在水平面上．現(xiàn)有很小的滑塊A以初速度v0從右端滑上B并以的速度滑離B，恰好能到達(dá)C的最高點(diǎn)．A、B、C的質(zhì)量均為m，試求：
（1）木板B上表面的動摩擦因數(shù)μ；
（2）圓弧槽C的半徑R．

8、 如圖所示，在光滑水平面上有一輛質(zhì)量M=8kg的平板小車，車上有一個(gè)質(zhì)量m=1.9kg的木塊，木塊距小車左端6m（木塊可視為質(zhì)點(diǎn)），車與木塊一起以v=1m/s的速度水平向右勻速行駛．一顆質(zhì)量m0=0.1kg的子彈以v0=179m/s的初速度水平向左飛來，瞬間擊中木塊并留在其中．如果木塊剛好不從車上掉下來，求木塊與平板之間的動摩擦因數(shù)μ．（g=10m/s2）

9、 如圖所示，AOB是光滑水平軌道，BC是半徑為R的光滑的固定圓弧軌道，兩軌道恰好相切于B點(diǎn)。質(zhì)量為M的小木塊靜止在O點(diǎn)，一顆質(zhì)量為m的子彈以某一初速度水平向右射入小木塊內(nèi)，并留在其中和小木塊一起運(yùn)動，且恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)C（木塊和子彈均看成質(zhì)點(diǎn)）。

①求子彈射入木塊前的速度。
②若每當(dāng)小木塊返回到O點(diǎn)或停止在O點(diǎn)時(shí)，立即有一顆相同的子彈射入小木塊，并留在其中，則當(dāng)?shù)?顆子彈射入小木塊后，小木塊沿圓弧軌道能上升的最大高度為多少？
10、 如圖所示，重10 N的滑塊在傾角為30°的斜面上，從a點(diǎn)由靜止開始下滑，到b點(diǎn)開始壓縮輕彈簧，到c點(diǎn)時(shí)達(dá)到最大速度，到d點(diǎn)(圖中未畫出)開始彈回，返回b點(diǎn)離開彈簧，恰能再回到a點(diǎn)．若bc=0.1 m，彈簧彈性勢能的最大值為8 J，則下列說法正確的是：（　?。?br />
A.輕彈簧的勁度系數(shù)是50N/m
B.從d到b滑塊克服重力做功8 J
C.滑塊的動能最大值為8 J
D.從d點(diǎn)到c點(diǎn)彈簧的彈力對滑塊做功8 J
11、 如圖所示，在高h(yuǎn)1=30m的光滑水平平臺上，質(zhì)量m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲存了一定量的彈性勢能Ep，若打開鎖扣K，物塊將以一定的水平速度v1向右滑下平臺，做平拋運(yùn)動，并恰好能從光滑圓弧形軌道BC的B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧形軌道，B點(diǎn)的高度h2=15m，圓弧軌道的圓心O與平臺等高，軌道最低點(diǎn)C的切線水平，并與地面上長為L=70m的水平粗糙軌道CD平滑連接；小物塊沿軌道BCD運(yùn)動與右邊墻壁發(fā)生碰撞，g=10m/s2．求：

（1）小物塊由A到B的運(yùn)動時(shí)間；
（2）小物塊原來壓縮彈簧時(shí)儲存的彈性勢能Ep的大??；
（3）若小物塊與水平粗糙軌道CD間的動摩擦因數(shù)為，且小物體與墻碰撞無能量損失，求小物體最后停在軌道CD上的某點(diǎn)p（p點(diǎn)沒畫出）距C點(diǎn)的距離．

答案解析

木板、滑塊模型中的動力學(xué)問題


外力作用于滑塊的情況
例題1、
【答案】 C
【解析】 A、根據(jù)牛頓第二定律得知，兩物體的加速度a=，由圖看出，F(xiàn)周期性變化，則加速度也做周期性變化，所以兩物體做的不是勻變速直線運(yùn)動．故A錯(cuò)誤．
B、設(shè)2s～3s時(shí)間內(nèi)兩物體間的摩擦力大小為f，以B為研究對象，則有f=mBa=，這段時(shí)間內(nèi)F增大，則f增大．故B錯(cuò)誤．
C、由f=mBa=看出，f與F方向總是相同．故C正確．
D、物體在0～2s內(nèi)沿正方向做變加速運(yùn)動，2～4s內(nèi)繼續(xù)沿正方向做變減速運(yùn)動，接下來周而復(fù)始．所以物體做單向的直線運(yùn)動．故D錯(cuò)誤．
故選：C．
例題2、
【答案】 A
【解析】 當(dāng)F比較小時(shí)，兩個(gè)物體相對靜止，加速度相同，根據(jù)牛頓第二定律得：
a==，a∝t；
當(dāng)F比較大時(shí)，m2相對于m1運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律得：
對m1：a1=，μ、m1、m2都一定，則a1一定．
對m2：a2===t-μg，a2是t的線性函數(shù)，t增大，a2增大．
由于＜，則兩木板相對滑動后a2圖像大于兩者相對靜止時(shí)圖像的斜率．故A正確．
故選A
例題3、
【答案】 A
【解析】 A、設(shè)B對A的摩擦力為f1，A對B的摩擦力為f2，地面對B的摩擦力為f3，由牛頓第三定律可知f1與f2大小相等，方向相反，f1和f2的最大值均為2μmg，f3的最大值為μmg．故當(dāng)0＜F≤μmg時(shí)，A、B均保持靜止；繼續(xù)增大F，在一定范圍內(nèi)A、B將相對靜止以共同的加速度開始運(yùn)動，故A錯(cuò)誤；
C、設(shè)當(dāng)A、B恰好發(fā)生相對滑動時(shí)的拉力為F′，加速度為a′，則對A，有F′-2μmg=2ma′，對A、B整體，有F′-μmg=3ma′，解得F′=3μmg，故當(dāng)μmg＜F≤3μmg時(shí)，A相對于B靜止，二者以共同的加速度開始運(yùn)動；當(dāng)F＞3μmg時(shí)，A相對于B滑動．C正確．
B、當(dāng)F=μmg時(shí)，A、B以共同的加速度開始運(yùn)動，將A、B看作整體，由牛頓第二定律有F-μmg=3ma，解得a=，B正確．
D、對B來說，其所受合力的最大值Fm=2μmg-μmg=μmg，即B的加速度不會超過μg，D正確．
因選不正確的，故選：A
隨練1、
【答案】 （1）（2）
【解析】 （1）小滑塊在木板上滑行時(shí)，先做勻加速直線運(yùn)動，然后做勻減速直線運(yùn)動，小滑塊的受力情況分別如圖甲和乙所示。在此過程中，木板的受力情況如圖丙所示。


小滑塊受到木板的摩擦力
根據(jù)牛頓第三定律：木板受到小滑塊摩擦力的大小
木板受到小滑塊壓力的大小
木板受到地面的摩擦力
根據(jù)牛頓第二定律可知，木板的加速度
（2）在拉力F的作用下，滑塊做勻加速直線運(yùn)動。根據(jù)牛頓第二定律，
滑塊的加速度
撤去拉力F時(shí)，滑塊的速度
滑塊運(yùn)動的距離
撤去拉力F后，滑塊做勻減速直線運(yùn)動。
根據(jù)牛頓第二定律，滑塊的加速度
若滑塊沒有滑出木板，滑塊將與木板達(dá)到共同速度，設(shè)該速度為v2。則這段時(shí)間
在時(shí)間內(nèi)，木板做勻加速直線運(yùn)動，則有
所以，
則滑塊做勻減速直線運(yùn)動的距離
木板運(yùn)動的距離
則滑塊相對木板運(yùn)動的距離
所以要使小滑塊不離開木板，木板長度應(yīng)滿足，即

外力作用于木板的情況
例題1、[多選題]
【答案】 B C
【解析】 據(jù)題，當(dāng)物塊相對木板滑動了一段距離仍有相對運(yùn)動時(shí)撤掉拉力，此時(shí)物塊的速度小于木板的速度，兩者之間存在滑動摩擦力，根據(jù)摩擦力的方向分別分析兩個(gè)物體的運(yùn)動情況．
由題知道：當(dāng)物塊相對木板滑動了一段距離仍有相對運(yùn)動時(shí)撤掉拉力，此時(shí)物塊的速度小于木板的速度，兩者之間存在滑動摩擦力，物塊受到木板的滑動摩擦力方向向右，與其速度方向相同，向右做加速運(yùn)動，而木板受到物塊的滑動摩擦力方向向左，與其速度方向相反，向右做減速運(yùn)動，當(dāng)兩者速度相等時(shí)一起向右做勻速直線運(yùn)動．
例題2、
【答案】 B
【解析】 以整體為研究對象根據(jù)，可知系統(tǒng)先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動，在時(shí)刻加速度為零，速度最大，然后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動，在時(shí)刻，速度變?yōu)榱?，系統(tǒng)停止，根據(jù)運(yùn)動學(xué)知識可知加速階段位移等于減速階段位移，且在時(shí)刻位移達(dá)到最大，故B正確，C錯(cuò)誤
隔離可知之間的摩擦力提供的加速度，系統(tǒng)開始加速度最大，因此由可知開始時(shí)刻之間的摩擦力最大，時(shí)刻為零，故A錯(cuò)誤；
整個(gè)過程中的動能沒有增加，且只有摩擦力對做功，因此在時(shí)間內(nèi)，摩擦力對做功為零，故D錯(cuò)誤．
例題3、
【答案】 （1）（2）1.5m
【解析】 （1）長木板水平方向的受力情況如答圖1所示，木板向右做勻加速直線運(yùn)動，設(shè)木板的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律有：


（2）時(shí)撤去力F，之后木板向右做勻減速直線運(yùn)動，設(shè)木板的加速度大小為

物塊一直向右做勻加速直線運(yùn)動，設(shè)物塊的加速度為

設(shè)再經(jīng)過時(shí)間t2物塊滑到木板的最左端，兩者的速度相等，即

木板的位移

物塊的位移

由答圖2可知

解得

隨練1、
【答案】 （1）2N，方向水平向右（2）F的大小為10N（3）1.7m
【解析】 （1）小物塊受到的摩擦力為

方向水平向右
（2）設(shè)小物塊的加速度為，木板在恒力作用下做勻加速直線運(yùn)動時(shí)的加速度為，此過程中小物塊的位移為，木板的位移為，則由牛頓定律及運(yùn)動規(guī)律可知
，



聯(lián)立上述式子，代入數(shù)據(jù)解得

設(shè)木板受到的摩擦力為，則，對木板根據(jù)牛頓第二定律，則

（3）設(shè)撤去時(shí)小物塊和木板的速度分別為和，撤去后，木板與小物塊組成的系統(tǒng)動量守恒，當(dāng)小物塊與木板相對靜止時(shí)，它們具有共同速度


根據(jù)動量守恒定律得

可得

對小物塊，根據(jù)動能定理

對木板，根據(jù)動能定理

代入數(shù)據(jù)可求得

所以木板的長度至少為



木板-滑塊模型中的動量和能量問題


滑塊-木板模型中的能量問題
例題1、
【答案】 A
【解析】 AB、由能量守恒定律可知，物體B損失的機(jī)械能等于木板A獲得的動能與系統(tǒng)增加的內(nèi)能之和．根據(jù)功能原理知，物體B克服摩擦力做的功等于物體B損失的機(jī)械能，所以物體B克服摩擦力做的功等于木板A增加的機(jī)械能與系統(tǒng)增加的內(nèi)能之和，故A正確，D錯(cuò)誤；
B、物體B以水平速度沖上A后，由于摩擦力作用，B減速運(yùn)動，A加速運(yùn)動，根據(jù)能量守恒定律，物體B動能的減少量等于系統(tǒng)損失的機(jī)械能和產(chǎn)生的熱量之和，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)功能關(guān)系知，A、B組成的系統(tǒng)克服摩擦力做的功等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加量．故C錯(cuò)誤．
例題2、
【答案】 （1）木板與地面間的動摩擦因數(shù)為0.5；
（2）第1個(gè)小鐵塊放上后，木板加速度大小為0.50m/s2；
（3）第1個(gè)小鐵塊放上后，木板運(yùn)動了L時(shí)，木板的速度大小為4.9m/s；第三個(gè)小球放上后木板運(yùn)動運(yùn)動了L時(shí)模板的速度為．
【解析】 （1）設(shè)木板與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，因木板沿地面勻速運(yùn)動，所以有：F=μMg
解得：μ===0.50
（2）第l個(gè)小塊鐵塊放到木板上，木板做勻減速運(yùn)動．設(shè)放上第l個(gè)小鐵塊，木板做勻減速運(yùn)動的加速度大小為a1，根據(jù)牛頓第二定律有：
μ（M+m）g﹣F=Ma1
解得：a1==0.50m/s2
（3）根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式有：v02﹣v12=2 a1L
解得：v1=
設(shè)即將放第三塊鐵塊后木板前進(jìn)L時(shí)的速度為v，由動能定理可得：
F×3L﹣μ（M+m）gL﹣μ（M+2m）gL﹣μ（M+3m）gL=M﹣Mv02：
解得：v3=
答：（1）木板與地面間的動摩擦因數(shù)為0.5；
（2）第1個(gè)小鐵塊放上后，木板加速度大小為0.50m/s2；
（3）第1個(gè)小鐵塊放上后，木板運(yùn)動了L時(shí)，木板的速度大小為4.9m/s；第三個(gè)小球放上后木板運(yùn)動運(yùn)動了L時(shí)模板的速度為．
例題3、
【答案】 （1）0.5m/s2（2）7W（3）3.03m．
【解析】 （1）若A相對于B滑動，則對物體A進(jìn)行受力分析，水平方向只受摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律得：f=μ1mAg=mAaA
解得：aA=0.5m/s2＜1.0m/s2，所以A的加速度為0.5m/s2；
（2）對物體B進(jìn)行受力分析，水平方向受到拉力F、地面對B的摩擦力、A對B的摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律得：F-μ1mAg-μmB+mA）g=mBaB
代入數(shù)據(jù)解得：F=7N，v=aBt=1m/s
所以P=Fv=7W
（3）電動機(jī)的輸出功率調(diào)整為5W時(shí)，設(shè)細(xì)繩對木板B的拉力為F′，則P′=F′v1，代入數(shù)據(jù)解得F'=5N，
對木板進(jìn)行受力分析，木板B受力滿足F′-μ1mAg-μ2（mA+mB）g=0
所以木板B將做勻速直線運(yùn)動，而物體A則繼續(xù)在B上做勻加速直線運(yùn)動直到A、B速度相等．
設(shè)這一過程時(shí)間為t′，有v1=aA（t1+t′），這段時(shí)間內(nèi)B的位移?s1=v1t′，
A、B速度相同后，由于F＞μ2（mA+mB）g且電動機(jī)輸出功率恒定，A、B將一起做加速度逐漸減小的變加速運(yùn)動，
由動能定理得：P′(t2-t′-t1)-μ2(mA+mB)gs2=(mA+mB)-(mA+mB)，
由以上各式代入數(shù)據(jù)得：木板B在t=1.0s到t=3.8s這段時(shí)間的位移s=s1+s2=3.03m
隨練1、[多選題]
【答案】 B D
【解析】 A、選擇A和B作為研究對象，運(yùn)用動能定理研究：
B受外力F做功，A對B的摩擦力與B對A的摩擦力是一對作用力與反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑動，A、B對地的位移不等，故二者做功不等，
wF+（﹣f?△x）=△EkA+△EkB，其中△x為A、B的相對位移．
所以外力F做的功不等于A和B的動能的增量，故A錯(cuò)誤．
B、對A物運(yùn)用動能定理，則有B對A的摩擦力所做的功，等于A的動能的增量，故B正確．
C、A對B的摩擦力與B對A的摩擦力是一對作用力與反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑動，A、B對地的位移不等，故二者做功不等，故C錯(cuò)誤．
D、對B物體應(yīng)用動能定理，WF﹣Wf=△EkB，Wf為B克服摩擦力所做的功，
即WF=△EkB+Wf，就是外力F對B做的功等于B的動能增量與B克服摩擦力所做的功之和，故D正確．
隨練2、
【答案】 （1）0.8m（2）68N（3）3.625m
【解析】 （1）根據(jù)幾何關(guān)系可知：小物塊在C點(diǎn)速度大小為：vC==5m/s，
豎直分量：vCy=4 m/s
下落高度：h==0.8m．
（2）小物塊由C到D的過程中，由動能定理得：
mgR（1﹣cos 53°）=
代入數(shù)據(jù)解得：vD=m/s
小球在D點(diǎn)時(shí)由牛頓第二定律得：FN﹣mg=m
代入數(shù)據(jù)解得：FN=68N
由牛頓第三定律得FN′=FN=68N，方向豎直向下．
（3）設(shè)小物塊剛滑到木板左端達(dá)到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過程中，小物塊與長木板的加速度大小分別為：
a1=μg=0.3×10=3m/s2，a2==1 m/s2
速度分別為：v=vD﹣a1t，v=a2t
對物塊和木板系統(tǒng)，由能量守恒定律得：
μmgL=mvD2﹣（m+M）v2
代入數(shù)據(jù)解得：L=3.625 m，即木板的長度至少是3.625m．
隨練3、
【答案】 （1）釋放A后彈簧對A做功是20J；
（2）第二次B、C未固定時(shí)，A滑過B右端的瞬時(shí)速度為：2m/s；
（3）第二次B、C未固定時(shí)，最終BC間的距離為1.88m．
【解析】 （1）A依次滑過B、C所受滑動摩擦力：fA=μ1N1=μ1mAg=0.5×1×10=5N，
對全過程應(yīng)用動能定理得：W彈-Wf=0，W彈=Wf=fA?2L=5×2×2=20J；
（2）B、C固定時(shí)，由動能定理得：-μ1mAg2L=0-mA，
B、C不固定時(shí)，A滑上C時(shí)，B、C整體與地面的最大靜摩擦力：fBC=μ2N2=μ2（mA+mB+mC）g，
故BC保持靜止．由動能定理得：-μ1mAgL=mA-mA，
代入數(shù)據(jù)解得：v1=2m/s；
（3）A滑到C上，C與地面間的摩擦力：fC=μ2N3=μ2（mA+mB）g，
代入數(shù)據(jù)解得：fC=2N，
C在地面上滑動，由牛頓第二定律得：aA==μ1g=0.5×10=5m/s2，
aC==（μ1-2μ2）g=（0.5-2×0.1）×10=3m/s2，
設(shè)AB的共同速度為v2，則：
v2=v1-aAtv2=aCt，
代入數(shù)據(jù)解得：v2=m/s，
2(-aA)sA=-，
代入數(shù)據(jù)解得：sA=m，
2aCsC=-0，sC=m，
sA-sC=1.25m＜L假設(shè)成立；
此后AB一起減速到速度為零，由動能定理得：
-fCsAC=0-(mA+mB)，
代入數(shù)據(jù)解得：sAC=m，
BC相距：△s=sC+sAC==1.88m；
答：（1）釋放A后彈簧對A做功是20J；
（2）第二次B、C未固定時(shí)，A滑過B右端的瞬時(shí)速度為：2m/s；
（3）第二次B、C未固定時(shí)，最終BC間的距離為1.88m．

滑塊-木板模型中的動量問題
例題1、
【答案】 （1）4m/s（2）1m/s（3）24J
【解析】 （1）以AB為研究對象，B與A彈性碰撞過程，設(shè)向右為正，由動量守恒定律可有：
mBv0=mAvA+mBvB；
由機(jī)械能守恒定律可知：
mBv02=mBvB2+mAvA2
聯(lián)立解得：vA=4m/s；vB=﹣1m/s；
（2）碰后B反向，與C相互作用；對B．C，由動量守恒定律可知：
mCv0+mBvB=（mC+mB）v
解得：v=1m/s
（3）系統(tǒng)增加的內(nèi)能為
Q=mBvB2+mCv02﹣（mC+mB）v2
解得 Q=24J．
例題2、
【答案】 （1） （2）（3）4mg
【解析】 (1)設(shè)BC的初速度為v0，AB相碰過程中動量守恒，設(shè)碰后總體質(zhì)量m/，速度u，由mv0=m/u，m/=2m
得u=v0/2
C滑到最高點(diǎn)的過程中：mv0+m/u=(m+m/)u/
mv02/2+m/u2/2-(m+m/)u/2/2=mgh
解得
(2)C從底端滑到頂端再從頂端滑到底部的過程中，滿足水平方向動量守恒、機(jī)械能守恒，有mv0+m/u=mv1+m/v2
mv02/2+m/u2/2=mv12/2+m/v22/2
解得:
(3)滑塊C在A的底端時(shí)相對A向左運(yùn)動(對地速度向右)，其相對A滑動的速度為
Vx=v1-v2
由圓周運(yùn)動規(guī)律：F-mg=mVx2/R
解得F=4mg （1分）
例題3、
【答案】 ①1.2s；②0.84m
【解析】 ①若AC相對滑動，則A受到的摩擦力為：
FA=μmAg=0.4×10×1N=4N＞F
故AC不可能發(fā)生相對滑動，設(shè)AC一起運(yùn)動的加速度為a
a==m/s2=1m/s2
由x=at2有：
t==s=1.2s
②因AB發(fā)生彈性碰撞，由于mA=mB故AB碰后，A的速度為0
AB碰撞后，由AC系統(tǒng)動量守恒定律：Mv1=（M+mA）v
由題題意有v1=at=1.2m/s
解得AC穩(wěn)定后的共同速度v=0.8m/s
由功能關(guān)系和能量守恒得：μmAg△x=M-(M+mA)v2
可得△x=0.12m
故木板C的長度L至少為：
L=x+△x=0.72m+0.12m=0.84m
答：①A與B碰撞之前運(yùn)動的時(shí)間1.2s；
②若A最終能停在C上，則長木板C的長度至少是0.84m．
例題4、
【答案】 （1）2；（2）2Ep
【解析】 （1）過程1：木塊m從右端運(yùn)動到彈簧壓縮到最短的過程．彈簧壓縮到最短時(shí)，木塊和木板具有相同的速度，設(shè)為v1．
取向左為正方向，由動量守恒定律和能量守恒定律分別有：
mv0=（m+3m）v1
mv02=（m+3m）v12+Ep+μmgL
過程2：從初狀態(tài)到m又回到右端剛好相對靜止，木塊和木板又具有相同的速度，設(shè)為v2，
由動量守恒定律和能量守恒定律分別有：
mv0=（m+3m）v2
mv02=（m+3m）v12+2μmgL
聯(lián)立解得：v0=2
（2）由上解得2μmgL=2Ep，
由能量守恒定律知，系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E=2μmgL=2Ep．
答：（1）木塊的未知速度v0是2．
（2）以木塊與木板為系統(tǒng)，上述過程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能是2Ep．
隨練1、
【答案】 （1）（2）（3）
【解析】 暫無解析
隨練2、
【答案】 （1）物塊C的初速度v0的大小為10m/s；
（2）物塊C在木板B上滑行的距離為5m．
【解析】 （1）以A、B、C三個(gè)物塊組成的系統(tǒng)為研究對象，當(dāng)C在A、B上滑動時(shí)，A、B、C三個(gè)物塊間存在相互作用，但在水平方向不存在其他外力作用，因此系統(tǒng)的動量守恒．由動量守恒定律有
mCv0=mAvA+（mB+mC）vB
解得：v0===10m/s
（2）C滑上B后與A分離，C、B系統(tǒng)在水平方向動量守恒．C離開A時(shí)C的速度為v1，B與A的速度同為 vA，以B、C為系統(tǒng)，由動量守恒定律有
mCv1+mBvA=（mB+mC）vB
v1===5.5m/s
對C在B上滑動過程，由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律有：
﹣
代值解得：L=5m
隨練3、
【答案】 （1）4m/s；
（2）m/s．
【解析】 （1）燒斷細(xì)線的瞬間，A、B、彈簧組成的系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能守恒，以向右為正，根據(jù)動量守恒定律以及機(jī)械能守恒定律得：
m2v2﹣m1v1=0，
，
解得：v2=4m/s
（2）B在C上滑行的過程中，BC組成的系統(tǒng)動量守恒，以向右為正，
若BC速度可以相同，則相同時(shí)C的速度最大，
根據(jù)動量守恒定律得：m2v2=（m2+M）v
解得：v=1m/s
此過程中，機(jī)械能損失量=3J
則C的最小長度為L=，
所以B和C不能達(dá)到共同速度，
則當(dāng)B滑到C的最右端時(shí)，C的速度最大，此過程中，根據(jù)動量守恒定律以及能量守恒定律得：
m2v2=m2v3+Mv4，
，
解得：v4=m/s
答：（1）燒斷細(xì)線后m2獲得的速度為4m/s；
（2）整個(gè)過程中木板C獲得的最大速度為m/s．

子彈射木塊模型中的動量和能量問題
例題1、[多選題]
【答案】 A D
【解析】 子彈擊中A的過程中，子彈和A、B組成的系統(tǒng)所受的合外力為零，故動量守恒，選項(xiàng)A正確，BC錯(cuò)誤；子彈擊穿A后，子彈和B組成的系統(tǒng)手合力為零，故動量不守恒，選項(xiàng)D正確；
例題2、
【答案】 （i）；（ii）
【解析】（i）子彈射入木塊過程極短時(shí)間內(nèi)，水平方向由動量守恒定律得

當(dāng)子彈與木塊共速到最終停止的過程中，由功能關(guān)系得

解得：
（ii）子彈射入木塊過程極短時(shí)間內(nèi)，設(shè)產(chǎn)生的熱量為Q，由功能關(guān)系得

解得：
【解析】 暫無解析
例題3、
【答案】 ①平板車最后的速度是2m/s；
②子彈射穿物體A過程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能為2392J；
③A在平板車上滑行的距離為0.8m．
【解析】 ①設(shè)平板車最后的速度是v，子彈射穿A后的速度是v1．以子彈、物體A和小車組成的系統(tǒng)為研究對象，以子彈的初速度方向?yàn)檎较?，由動量守恒定律得?br /> mv0=mv1+（M+MA）v，
代入數(shù)據(jù)解得：v=2m/s；
②對子彈：A、小車組成的系統(tǒng)，在整個(gè)過程中，由能量守恒定律得：
△E=mv02﹣mv12﹣（M+MA）v2，
代入數(shù)據(jù)解得損失的機(jī)械能為：△E=2392J；
③以子彈一A組成的系統(tǒng)為研究對象，子彈射穿A的過程，系統(tǒng)動量守恒．以子彈的初速度方向?yàn)檎较?，由動量守恒定律得?br /> mv0=mv1+MAv2，
代入數(shù)據(jù)解得子彈射穿A后，A的速度為：v2=4m/s，
假設(shè)A在平板車上滑行距離為d，由能量守恒定律得：
Q=μMAgd=MA2v2﹣（M+MA）v2，
代入數(shù)據(jù)解得：d=0.8m
隨練1、
【答案】 （1）m/s；
（2）3m/s；
（3）0.8m．
【解析】 （1）子彈打入小車過程子彈與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
m1v0=（m1+m2）v1，
解得：v1=m/s；
（2）車、子彈與物塊組成的系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
（m1+m2）v1=（m1+m2）v2+m3v3，
解得：v2=3m/s；
（3）對三者組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律得：
（m1+m2）v12=（m1+m2）v22+m3v32+μm3g?，
解得：L=0.8m；
隨練2、
【答案】 （1）320m/s；7362N（2）987.5634J
【解析】 （1）設(shè)子彈離開A時(shí)速度為υ1，對子彈和A、B整體，
系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：mυ0=mυ1+2Mυ，
由動能定理得：Fd=mυ02-mυ12-2Mυ2，
以上聯(lián)立解得：υ1=320m/s，F(xiàn)=7362N；
（2）子彈在B中運(yùn)動過程中，最后二者共速，速度設(shè)為υ2，對子彈和B整體，
以向右為正方向，由動量守恒定律得：mυ1+Mυ=（m+M）υ2，
代入數(shù)據(jù)解得：υ2=≈8.9m/s，
由能量守恒定律得：mv12-（m+M）υ22=△E????③
代入數(shù)據(jù)解得：△E=987.5634J；
答：（1）子彈離開木塊A時(shí)的速度大小為320m/s，子彈在木塊A中所受的阻力大小為7362N；
（2）子彈穿出A后進(jìn)入B的過程中，子彈與B組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為987.5634J．
隨練3、
【答案】 （1）在被第二顆子彈擊中前，木塊向右運(yùn)動離A點(diǎn)的最大距離為0.9m（2）木塊在傳達(dá)帶上最多能被16顆子彈擊中（3）子彈、木塊和傳送帶這一系統(tǒng)產(chǎn)生的熱能是14155.5J．
【解析】 （1）子彈射入木塊過程系統(tǒng)動量守恒，以子彈的初速度方向?yàn)檎捶较颍蓜恿渴睾愣傻茫?br /> mv0﹣Mv1=mv+Mv1′，
解得：v1′=3m/s，
木塊向右作減速運(yùn)動加速度：a==μg=0.5×10=5m/s2，
木塊速度減小為零所用時(shí)間：t1=
解得：t1=0.6s＜1s
所以木塊在被第二顆子彈擊中前向右運(yùn)動離A點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，移動距離為：s1=，
解得：s1=0.9m．
（2）在第二顆子彈射中木塊前，木塊再向左作加速運(yùn)動，時(shí)間為：t2=1s﹣0.6s=0.4s
速度增大為：v2=at2=2m/s（恰與傳送帶同速）；
向左移動的位移為：s2=at22=×5×0.42=0.4m，
所以兩顆子彈射中木塊的時(shí)間間隔內(nèi)，木塊總位移S0=S1﹣S2=0.5m方向向右
第16顆子彈擊中前，木塊向右移動的位移為：s=15×0.5m=7.5m，
第16顆子彈擊中后，木塊將會再向右先移動0.9m，總位移為0.9m+7.5=8.4m＞8.3m木塊將從B端落下．
所以木塊在傳送帶上最多能被16顆子彈擊中．
（3）第一顆子彈擊穿木塊過程中產(chǎn)生的熱量為：
Q1=mv02+Mv12﹣mu2﹣Mv1′2，
木塊向右減速運(yùn)動過程中板對傳送帶的位移為：s′=v1t1+s1，
產(chǎn)生的熱量為：Q2=μMgs′，
木塊向左加速運(yùn)動過程中相對傳送帶的位移為：s″=v1t2﹣s2，
產(chǎn)生的熱量為：Q3=μMgs″，
第16顆子彈射入后木塊滑行時(shí)間為t3有：v1′t3﹣at32=0.8，
解得：t3=0.4s
木塊與傳送帶的相對位移為：S=v1t3+0.8
產(chǎn)生的熱量為：Q4=μMgs，
全過程中產(chǎn)生的熱量為：Q=15（Q1+Q2+Q3）+Q1+Q4
解得：Q=14155.5J

含彈簧的能量問題


含彈簧的能量問題
例題1、[多選題]
【答案】 B C
【解析】 暫無解析
例題2、[多選題]
【答案】 B D
【解析】 A、若Q勻速運(yùn)動，由平衡條件可知，彈簧對Q應(yīng)沒有彈力，則P的合力等于F，合力不等于零，應(yīng)做勻加速運(yùn)動，所以兩個(gè)物體不可能同時(shí)做勻速運(yùn)動，故A錯(cuò)誤．
B、當(dāng)彈簧處于壓縮狀態(tài)時(shí)，P與Q的加速度可能相同，兩者以相同的加速度向右運(yùn)動，故B正確．
C、當(dāng)彈簧不斷被壓縮的過程中，彈簧對P、Q兩物體組成的系統(tǒng)做的功大于零，故C錯(cuò)誤．
D、在運(yùn)動過程中取一段時(shí)問，該段時(shí)間內(nèi)若彈簧處于原長狀態(tài)時(shí)，P、Q兩物體增加的動能等于推力F做的功與摩擦力對物體P做功的代數(shù)和．故D正確
例題3、[多選題]
【答案】 B D
【解析】 暫無解析
例題4、
【答案】 （1）2m/s．
（2）10J．
（3）0.6m．
【解析】 （1）物體沿坡道下滑的過程，由動能定理得
mgh﹣μmgcosθ?=﹣0
可得，物塊滑到O點(diǎn)時(shí)的速度大小 vO=2m/s
（2）物體壓縮彈簧的過程，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，得：
彈簧最大的彈性勢能 Ep==10J
（3）物塊A被彈回到O點(diǎn)時(shí)速度大小仍為 vO=2m/s
設(shè)沿坡道上升的最大高度為H．
物體沿坡道上滑的過程，運(yùn)用動能定理得
﹣mgH﹣μmgcosθ?=0﹣
解得 H=0.6m
答：
（1）物塊滑到O點(diǎn)時(shí)的速度大小是2m/s．
（2）彈簧壓縮量最大時(shí)的彈性勢能是10J．
（3）物塊A被彈回到坡道上升的最大高度是0.6m．
例題5、
【答案】 （1）
（2）5
【解析】 （1）參考由速度一時(shí)間圖象求位移的方法，F(xiàn)－x圖線下的面積等于彈力做的功。小球壓縮彈簧過程中，彈力做功WT


（2）a．小球從h處下落到最低點(diǎn)（彈簧最大壓縮量處）xm的過程，根據(jù)動能定理，有
公式中k＝5N／cm＝500N／m
解得xm＝0.6m或xm＝－0.4m（舍去）
b．由力和運(yùn)動關(guān)系可知，小球速度最大v＝vm時(shí)，小球所受重力與彈簧相等。
mg＝kx
根據(jù)動能定理可知

兩式聯(lián)立可得vm＝5m／s。
例題6、
【答案】 （1）物體A向下運(yùn)動剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度是（2）彈簧的最大壓縮量是（3）彈簧中的最大彈性勢能是m﹣μmgL
【解析】 （1）A和斜面間的滑動摩擦力為：f=2μmgcosθ
物體A向下運(yùn)動到C點(diǎn)的過程中，根據(jù)能量守恒有：2mgLsinθ+?3m=?3mv2+mgL+fL
得：v=
（2）從物體A接觸彈簧到將彈簧壓縮到最短后又恰好回到C點(diǎn)，對系統(tǒng)應(yīng)用動能定理有：
﹣f?2x=0﹣?3mv2
聯(lián)立以上方程解得：x=
（3）彈簧從壓縮到最短到恢復(fù)原長的過程中，根據(jù)能量守恒有：Ep+mgx=2mgxsinθ+fx
又因?yàn)橛校簃gx=2mgxsinθ
所以得：Ep=fx=m﹣μmgL
例題7、
【答案】 （1）；
（2）m/s；
（3）0.18m．
【解析】 解：（1）當(dāng)彈珠做圓周運(yùn)動到D點(diǎn)且只受重力時(shí)速度最小，根據(jù)牛頓第二定律有：

解得．
（2）彈珠從D點(diǎn)到E點(diǎn)做平拋運(yùn)動，設(shè)此時(shí)它通過D點(diǎn)的速度為v，則
s=vt

從C點(diǎn)到D點(diǎn)，彈珠機(jī)械能守恒，有：

聯(lián)立解得
代入數(shù)據(jù)得，．
（3）由圖乙知彈珠受到的摩擦力f=0.1N，
根據(jù)動能定理得，
且F1=0.1N，F(xiàn)2=8.3N．
得
代入數(shù)據(jù)解得x0=0.18m．
答：（1）彈珠P通過D點(diǎn)時(shí)的最小速度為；
（2）通過C點(diǎn)時(shí)的速度為m/s；
（3）壓縮量為0.18m．
隨練1、[多選題]
【答案】 A C
【解析】 A、當(dāng)物體至O點(diǎn)時(shí)，由動能定理得：Ep﹣μmgs=mv2，將s=0.1m，μ=0.4，Ep=1J，m=2kg，代入可得，物體至O點(diǎn)的速度v不為零，將繼續(xù)向右壓縮彈簧，由能量守恒可得，Ep=μmgx′+Ep′，因Ep′＞0，所以解得 x′＜12.5 cm，即物體向右滑動的距離一定小于12.5 cm，故A正確，B錯(cuò)誤．
C、物體到達(dá)最右端時(shí)，動能為0，但彈簧有彈性勢能，故系統(tǒng)的機(jī)械能不為0，故C正確．
D、當(dāng)物體向右運(yùn)動至O點(diǎn)過程中，彈簧的彈力向右．由牛頓第二定律可知，kx﹣μmg=ma（x為彈簧的伸長量），當(dāng)a=0時(shí)，物體速度最大，此時(shí)kx=μmg，彈簧仍處于伸長狀態(tài)，故D錯(cuò)誤．
故選：AC
隨練2、[多選題]
【答案】 B D
【解析】 A、在平衡位置B點(diǎn)速度最大，動能最大，彈性勢能最大的點(diǎn)在最低點(diǎn)C，故A錯(cuò)誤；
B、重物在向下運(yùn)動的過程中，要克服彈簧拉力做功，故機(jī)械能逐漸減小，故B正確；
C、手托重物緩慢上移再返回過程，根據(jù)動能定理，只有推力做功，有：W1=mv2；故C錯(cuò)誤；
D、重物從靜止下落到速度最大的過程中，根據(jù)動能定理，有：mg?-W2=mv2，解得：W2=-mv2；故D正確；
故選：BD．
隨練3、[多選題]
【答案】 B D
【解析】

隨練4、
【答案】 （1）4J；（2）2m／s；（3）0.9m／s
【解析】 暫無解析
隨練5、
【答案】 （1）（2）（3）
【解析】 （1）設(shè)開始時(shí)彈簧壓縮的長度為xB，則有
kxB=mg
設(shè)當(dāng)物體A剛要離開地面時(shí)，彈簧的伸長量為xA，則有
kxA=mg
當(dāng)物體A剛要離開地面時(shí)，物體B上升的距離與物體C沿斜面下滑的距離相等，為：
h=xA+xB
解得：h=．
（2）物體A剛要離開地面時(shí)，以B為研究對象，物體B受到重力mg、彈簧的彈力kxA、細(xì)線的拉力FT三個(gè)力的作用，設(shè)物體B的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律：
對B有：FT﹣mg﹣kxA=ma
對C有：mCgsin θ﹣FT=mCa
B獲得最大速度時(shí)，有：a=0
解得：mC=．
（3）法一：由于xA=xB，彈簧處于壓縮狀態(tài)和伸長狀態(tài)時(shí)的彈性勢能相等，彈簧彈力做功為零，且物體A剛好離開地面時(shí)，B、C兩物體的速度相等，設(shè)為v0，由動能定理得：
mCghsinθ﹣mgh+W彈=﹣0
其中，W彈=0
解得：v02=
所以 EkC==
法二：根據(jù)動能定理，
對C：mCghsinθ﹣Wr=EkC﹣0
對B：Wr﹣mgh+W彈=EkB﹣0
其中W彈=0
又EkC：EkB=10：3
解得：EkC=
隨練6、
【答案】 （1）k=（2）6mg（3）6.5x0
【解析】 （1）物體B靜止時(shí)，彈簧形變量為x0，彈簧的彈力F=mg，根據(jù)胡克定律得：F=kx0，即有kx0=mg，解得，彈簧的勁度系數(shù)k=；
（2）A與B碰后一起做簡諧運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，物體C對地面的壓力為0，則：
對C，彈簧彈力：F彈=mg
對A、B，回復(fù)力最大：F回=2mg+F彈=3mg
由簡諧運(yùn)動的對稱性，可知A與B碰后一起做簡諧運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力也最大，為F回=3mg，此時(shí)物體C對地面的壓力最大，對物體A、B有：F彈′-2mg=3mg，
則彈簧彈力：F彈′=5mg
對物體C，設(shè)地面對物體C的彈力為N，則：N=5mg+mg=6mg，
由牛頓第三定律可知，C對地面最大的壓力大?。篘′=N=6mg．
（3）設(shè)物體A釋放時(shí)A與B之間距離為x，A與B相碰前物體A速度的大小為v1．
對物體A，從開始下滑到A、B相碰前的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
?mgx=mv12，
解得：v1=…①
設(shè)A與B相碰后兩物體共同速度的大小為v2，A與B發(fā)生碰撞的過程動量守恒，
以碰前A的速度方向?yàn)檎较颍蓜恿渴睾愣傻茫簃v1=（m+m）v2，
解得：v2=v1…②，
物體B靜止時(shí)彈簧的形變量為x0，設(shè)彈性勢能為EP，從A、B開始壓縮彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長的過程，
由機(jī)械能守恒定律得：（m+m）v22+EP=（m+m）v2+（m+m）gx0…③，
當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長時(shí)A、B恰好分離，設(shè)分離后物體A還能沿斜面上升的距離為x1．
對物體A，從與B分離到最高點(diǎn)的過程，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：mv2=mgx1
解得：x1=1.5x0，
對物體B、C和彈簧所組成的系統(tǒng)，物體B運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)速度為0，
物體C恰好離開擋板D，此時(shí)彈簧的伸長量也為x0，彈簧的彈性勢能也為EP．從A、B分離到B運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程，
由機(jī)械能守恒定律得：mv2=mgx0+EP，
解得：EP=mgx0④，
由①②③④解得：x=9x0，
由幾何關(guān)系可得，物體A第一次運(yùn)動達(dá)到的最高點(diǎn)與開始靜止釋放點(diǎn)之間的距離：
? d=x-x1-x0=6.5x0．
答：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k=；
（2）C對擋板D壓力的最大值為6mg；
（3）碰后A第一次運(yùn)動達(dá)到的最高點(diǎn)與開始靜止釋放點(diǎn)之間的距離為6.5x0．

拓展
1、
【答案】 0.11m
【解析】 （1）設(shè)滑塊在木板上滑動時(shí)的加速度為a1，滑動的時(shí)間為t1，由牛頓第二定律得：μ2mg=ma1
設(shè)滑塊與木板相對靜止達(dá)共同速度時(shí)的速度為v，所需的時(shí)間為t，木板滑動時(shí)的加速度為a2，
則由牛頓第二定律得：μ2mg-μ1（M+m）g=Ma2
v=v0-a1t，v=a2t
滑塊相對于地面的位移為x=v0t-at2
達(dá)共同速度后的加速度為a3．發(fā)生的位移為s，則有：
a3=μ1g=1m/s2，s=
小滑塊自滑上長板到最后靜止（相對地面）的過程中運(yùn)動的路程l=x+s
代入有關(guān)數(shù)據(jù)得：l=0.11m
答：小滑塊自滑上長板到最后靜止（相對地面）的過程中運(yùn)動的路程為0.11m
2、
【答案】 （1）F>20N；（2）2s
【解析】 （1）小滑塊與木板間的滑動摩擦力
小滑塊向右運(yùn)動的加速度
木板向右運(yùn)動的加速度
使能從上面滑落下來的條件是即，可得
（2）設(shè)在上滑動的時(shí)間為，
當(dāng)恒力，木板的加速度
小滑塊在時(shí)間內(nèi)運(yùn)動位移
木板在時(shí)間內(nèi)運(yùn)動位移
而，聯(lián)立三式可得
3、[多選題]
【答案】 A C D
【解析】 A、木塊運(yùn)動的位移x1=s+d，則摩擦力對物塊做功為Wf=﹣μmg（s+d），故A正確；
B、木板受到的摩擦力方向與運(yùn)動方向相同，做正功，則摩擦力對木板做功為W=μmgs，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)動能定理可知，木板動能的增量等于摩擦力對木板做的功，即為μmgs，故C正確；
D、系統(tǒng)由于摩擦而產(chǎn)生的熱量等于摩擦力乘以相對位移，即為μmgd，故D正確．
4、
【答案】 C
【解析】 由動量守恒可知：mv0=（M+m）v可知：
v=﹣﹣﹣（1）
對m分析可知，m只有M的摩擦力做功，則由動能定理可知，﹣μmg（x+d）=mv2﹣mv02 （2）
對M分析可知，M受m的摩擦力做功，由動能定理可知：μmgx=Mv2；（3）
聯(lián)立可知：
故只有C正確．
5、
【答案】 （1）1m/s2；2m/s2（2）40J（3）72J．
【解析】 （1）由牛頓第二定律
對B：F-μm2g=m2aB
解得：
aB=2 m/s2
對A：μm2g=m1aA
aA=1 m/s2
（2）摩擦力所做的總功就是損失的機(jī)械能，也是轉(zhuǎn)化的內(nèi)能
Q=μm2gL=0.5×400×2=40J；
（3）系統(tǒng)機(jī)械能的增量就是由F和f做功引起，是兩個(gè)力做功的和．也是動能的增量所以
aBt2-aAt2=L
vA=aAt=1×2=2m/s
vB=aBt=2×2=4m/s
△E=mAvA2+mBvB2=×20×4+×4×16=72J；
6、
【答案】 （1）木板A最終的速度．
（2）若滑塊B以v1=3.0m/s的初速度沖上木板A，恰不掉下，最終速度的大小為v2=1.5m/s，M與m的大小相等；
（3）若該滑塊B與木板A間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，g取10m/s2．木板A的長度是0.75m．
【解析】 （1）AB組成的整體在水平方向上不受外力，設(shè)向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：
mv0=（M+m）v
解得：
（2）由題意得滑塊B以v1=3.0m/s的初速度沖上木板A，滑塊未掉下就達(dá)到共同速度，由動量守恒定律得：
mv1=（M+m）v
即：3m=1.5（m+M）
解得：M=m
（3）若該滑塊B與木板A間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，則：

代入數(shù)據(jù)得：L=0.75m
7、
【答案】 （1）；
（2）．
【解析】 （1）當(dāng)A在B上滑動時(shí)，A與BC整體發(fā)生相互作用，由于水平面光滑，A與BC組成的系統(tǒng)動量守恒，選向左的方向?yàn)檎较?，有?br /> …①
由能量守恒得知系統(tǒng)動能的減少量等于滑動過程中產(chǎn)生的內(nèi)能即：
…②
聯(lián)立①②解得：…③
（2）當(dāng)A滑上C，B與C分離，A、C發(fā)生相互作用．設(shè)A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)兩者的速度相等均為v2，
A、C組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒有：…④
由A、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：…⑤
聯(lián)立④⑤解得：
8、
【答案】 0.54
【解析】 設(shè)子彈射入木塊后的共同速度為v1，以水平向左為正，則由動量守恒有：
m0v0﹣mv=（m+m0）v1…①
代入數(shù)據(jù)解得：v1=8m/s
它們恰好不從小車上掉下來，則它們相對平板車滑行s=6 m時(shí)它們跟小車具有共同速度v2，則由動量守恒有：
（m+m0）v1﹣Mv=（m+m0+M）v2…②
由能量守恒定律有：
…③
聯(lián)立①②③并代入數(shù)據(jù)得：μ=0.54
答：木塊與平板之間的動摩擦因數(shù)為0.54．
9、
【答案】 ①
②
【解析】 ①第一顆子彈射入木塊的過程，系統(tǒng)動量守恒，以子彈的初速度方向?yàn)檎较?，由動量守恒定律得：mv0＝（m＋M）v1
系統(tǒng)由O到C的運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
由以上兩式解得：
②由動量守恒定律可知，第2、4、6…顆子彈射入木塊后，木塊的速度為0，第1、3、5…顆子彈射入后，木塊運(yùn)動。當(dāng)?shù)?顆子彈射入木塊時(shí)，以子彈初速度方向?yàn)檎较?，由動量守恒定律得：mv0＝（9m＋M）v9
設(shè)此后木塊沿圓弧上升的最大高度為H，由機(jī)械能守恒得：
由以上各式可得：。
10、
【答案】 A
【解析】 當(dāng)滑塊的合力為0時(shí)，滑塊速度最大，即知在c點(diǎn)時(shí)滑塊的速度最大，此瞬間滑塊受力平衡，則有，可得，故A正確；滑塊從d到a，運(yùn)用動能定理得，又，可得，即克服重力做功8J，所以從d到b滑塊克服重力做功小于8J，故B錯(cuò)誤；滑塊從a到c，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒知：滑塊的動能增加量與重力勢能增加量之和等于彈簧彈性勢能的減小量8J，所以滑塊的動能最大值小于8J，故C錯(cuò)誤；彈簧彈性勢能的最大值為8J，根據(jù)功能關(guān)系知從d點(diǎn)到b點(diǎn)彈簧的彈力對滑塊做功為8J．從d點(diǎn)到c點(diǎn)彈簧的彈力對滑塊做功小于8J，故D錯(cuò)誤．
11、
【答案】 （1）小物塊由A到B的時(shí)間為s；
（2）小物塊原來壓縮彈簧時(shí)儲存的彈性勢能Ep的大小為50J；
（3）P距C點(diǎn)35m
【解析】 （1）由平拋運(yùn)動的規(guī)律可得：h1-h2=gt2
解得：t=
代入數(shù)據(jù)得：t=s；
（2）由幾何關(guān)系得∠BOC=60°
故vB=2v1
由動能定理得：mg（h1-h2）=m（vB2-v21）
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：v1=10m/s；vB=20m/s；
因?yàn)镋P=mv12
代入數(shù)據(jù)得：EP=50J；
（3）由動能定理得：mgh2-μmgx=0-mvB2；
代入數(shù)據(jù)得：x=105m；
故P點(diǎn)距C點(diǎn)35m．
答：（1）小物塊由A到B的時(shí)間為s；
（2）小物塊原來壓縮彈簧時(shí)儲存的彈性勢能Ep的大小為50J；
（3）P距C點(diǎn)35m；

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