3.7正多邊形浙教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊同步練習(xí)第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.如圖，正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D.
 2.已知圓的半徑是，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是(    )

 A.  B.  C.  D. 3.如圖，取兩根等寬的紙條折疊穿插，拉緊，可得邊長為的正六邊形．則原來的紙帶寬為
(    )
 A.  B.  C.  D. 4.在年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案邊長為的正六邊形放在平面直角坐標(biāo)系中，若與軸垂直，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )A.
B.
C.
D. 5.如圖，點(diǎn)是正六邊形對角線上的一點(diǎn)，且，則正六邊形的面積為(    )A.
B.
C.
D. 隨著點(diǎn)的變化而變化6.如圖，已知的內(nèi)接正六邊形的邊心距，則該圓的內(nèi)接正三角形的面積為(    )A.
B.
C.
D.
 7.如圖，正六邊形螺帽的扳手開口的值為，則(    )A.
B.
C.
D.
 8.如圖，邊長為的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊在軸正半軸上，頂點(diǎn)在軸正半軸上，將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，那么經(jīng)過第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )A.
B.
C.
D. 9.如圖，在正五邊形中，若，則(    )A.
B.
C.
D. 10.我們都知道蜂巢是很多個(gè)正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅(jiān)固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長為的正六邊形，若的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，則的長為
(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）11.如圖，在中，是的內(nèi)接正六邊形的一邊，是的內(nèi)接正十邊形的一邊，則          

 12.如圖，在正六邊形中，，則它的邊長是________．
 13.如圖，在正五邊形中，是邊的延長線，連接，則的度數(shù)是______．
 14.如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對角線上運(yùn)動(dòng)，若的周長為，，則周長的最小值是______ ．
 三、解答題（本大題共6小題，共48.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.本小題分

如圖，正三角形內(nèi)接于，若，求的半徑．
16.本小題分如圖，點(diǎn)，分別是正五邊形的邊，上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)．求證：≌；求的度數(shù)．17.本小題分
如圖，小亮從點(diǎn)處出發(fā)，前進(jìn)米后向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)米后又向右轉(zhuǎn)，這樣走次后恰好回到出發(fā)點(diǎn)處．

 小亮走出的這個(gè)邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度這個(gè)邊形的內(nèi)角和是多少度小亮走出的這個(gè)邊形的周長是多少米18.本小題分
下面是小董設(shè)計(jì)的“作已知圓的內(nèi)接正三角形”的尺規(guī)作圖過程．
已知：．
求作：的內(nèi)接正三角形．
作法：如圖，

作直徑；
以為圓心，為半徑作弧，與交于，兩點(diǎn)；
連接，，．
所以就是所求的三角形．
根據(jù)小董設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；保留作圖痕跡
完成下面的證明：
證明：在中，連接，，，，
，
為等邊三角形______填推理的依據(jù)．
．
．
同理，
．
______填推理的依據(jù)．
是等邊三角形．19.本小題分教材習(xí)題變式如圖，正方形的剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形．若正八邊形的邊長為，則剪去四個(gè)角的面積和為_____；若正方形的邊長為，求正八邊形邊長．
 20.本小題分
如圖，，，，，是上的等分點(diǎn)，連結(jié)，，，，，得到一個(gè)五角星圖形和五邊形．

 求的度數(shù)．連結(jié)，求證：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：正五邊形內(nèi)接于，
，且，
，
故選B．
利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．
本題考查正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，以及圓周角定理．2.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵要記住正六邊形的特點(diǎn)，它被半徑分成六個(gè)全等的等邊三角形．
根據(jù)正六邊形被它的半徑分成六個(gè)全等的等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的邊長，求出等邊三角形的高，再根據(jù)面積公式即可得出答案．
【解答】
解：連接、，作于，

則，，
為等邊三角形，
，
，，
，
，
正六邊形的面積是：，
故選C．3.【答案】 【解析】解：邊長為的正六邊形由個(gè)邊長為的等邊三角形組成，其中等邊三角形的高為原來的紙帶寬度，六邊形的邊和紙帶的寬構(gòu)成含角的直角三角形，
所以原來的紙帶寬度．
故選：．
根據(jù)正六邊的性質(zhì)，正六邊形由個(gè)邊長為的等邊三角形組成，其中等邊三角形的高為原來的紙帶寬度，然后求出等邊三角形的高即可．
本題考查正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．4.【答案】 【解析】解：如圖，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)，
在中，，，
，，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選：．
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計(jì)算的前提，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：如圖，連接、相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是正六邊形的中心，
六邊形是正六邊形，
，
，
，
，
同理，，
四邊形是矩形，
，
由正六邊形的性質(zhì)可得，
，
，


，
故選：．
根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得出四邊形是矩形，進(jìn)而得出，由面積之間的關(guān)系可得答案．
本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．6.【答案】 【解析】解：如圖所示，連接、，過作于，

多邊形是正六邊形，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，．
．
故選：．
連接、，過作于，證出是等邊三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．
本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：如圖，連接，過作于點(diǎn)，
則，
由題意得：，
，，
，
，
故選：．
連接，過作于點(diǎn)，則，由等腰三角形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．
本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：如圖，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
在正六邊形中，，，
，，
，，
，
，
，
將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，
次一個(gè)循環(huán)，
，，
經(jīng)過第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)在的位置，
，，
，，
，
≌，
，，
，
經(jīng)過第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)，
故選：．
如圖，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，經(jīng)過第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)在的位置，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明≌即可．
本題考查正多邊形與圓，掌握坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)等知識，學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法是解題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：正五邊形的對角線、相交于點(diǎn)，
，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
即，
，
解得取正值，
故選：．
根據(jù)正五邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)得出，代入求解即可．
本題考查正多邊形和圓，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程，掌握正多邊形和圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．10.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)題意可得  ，則  ，再根據(jù)平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦可得  ，  ，再根據(jù)  可得  是等邊三角形，則  ，最后結(jié)合三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：連接  ，交  于點(diǎn)，連接  ，六邊形  是  的內(nèi)接正六邊形，  ，  ，  ，  經(jīng)過圓心，  ，  ，  ，  ，  是等邊三角形，  ，在  中，  ，  ，  ，  ，  ，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)綜合和圓周角定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵． 11.【答案】 【解析】連結(jié)，，，如圖．是內(nèi)接正六邊形的一邊，，．是內(nèi)接正十邊形的一邊，．，
，．
 12.【答案】 【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

正六邊形中，每個(gè)內(nèi)角為，
，，
，
，，
即邊長為．
故答案為．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，正六邊形中，每個(gè)內(nèi)角為，即，，于是，，
本題考查了正多邊形，熟練運(yùn)用正多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．13.【答案】 【解析】解：因?yàn)槲暹呅?/span>是正五邊形，
所以，，
所以，
所以，
故答案為：．
根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和內(nèi)角和為，求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，再結(jié)合等腰三角形和鄰補(bǔ)角的定義即可解答．
本題考查了正五邊形．解題的關(guān)鍵是掌握正五邊形的性質(zhì)：各邊相等，各角相等，內(nèi)角和為熟記定義是解題的關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】解：的周長為，則圓的半徑為，則，
由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，
過點(diǎn)作，且使，
連接交于點(diǎn)，取，連接、，則點(diǎn)、為所求點(diǎn)，
理由：，且，
四邊形為平行四邊形，
，
的周長為最小，
，
的周長的最小值為，
故答案為：．
由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作，且使，連接交于點(diǎn)，取，連接、，則點(diǎn)、為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解．
本題考查了圓的性質(zhì)、點(diǎn)的對稱性、平行四邊形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)、的位置是本題解題的關(guān)鍵．15.【答案】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
正三角形內(nèi)接于，
點(diǎn)即是三角形內(nèi)心也是外心，
，，
，
解得：，
即的半徑為． 【解析】利用等邊三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)既是三角形內(nèi)心也是外心，進(jìn)而求出，，再利用銳角函數(shù)關(guān)系得出即可．
此題主要考查了正多邊形和圓，利用正多邊形內(nèi)外心的特殊關(guān)系得出，是解題關(guān)鍵．16.【答案】證明：五邊形是正五邊形，
，，
在和中，

≌；
解：≌，
，
，
．
即的度數(shù)為． 【解析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正五邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
利用正五邊形的性質(zhì)得出，，再利用全等三角形的判定得出即可；
利用全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，進(jìn)而得出即可得出答案．17.【答案】【小題】這個(gè)邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為．多邊形外角和為，，解得，這個(gè)邊形的內(nèi)角和是．【小題】米．小亮走出的這個(gè)邊形的周長是米． 【解析】 略
 略18.【答案】解：如圖，即為所求；


證明：在中，連接，，，，
，
為等邊三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
．
．
同理，
．
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，
是等邊三角形． 【解析】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定，圓心角、弦的關(guān)系，掌握圓心角與弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
利用畫圓的方法作出、兩點(diǎn)，從而得到；
在中，連接，，，，利用等邊三角形的判定方法得到為等邊三角形，則，接著分別計(jì)算出然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，從而判斷是等邊三角形．19.【答案】解：正方形剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，根據(jù)正八邊形每個(gè)內(nèi)角為度，
，
設(shè)剪去邊長，可得：
，
解得：負(fù)值舍去
則剪去的四個(gè)角的面積和為
故答案為：
設(shè)正八邊形的邊長為，則剪掉的等腰直角三角形的直角邊為
正方形的邊長為

解得，
正八邊形的邊長為． 【解析】見答案．20.【答案】【小題】，，，，是上的等分點(diǎn)，，．【小題】如圖，
同可得．，，，，，，，
．
  【解析】 見答案
 見答案

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