知識點(diǎn)1 正多邊形的概念及對稱性
1.【一題多解】正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為( )( )
A.45° B.60° C.120° D.135°
2.(2022浙江杭州期中)下列關(guān)于正多邊形的敘述,正確的是( )
A.正九邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
B.存在一個(gè)正多邊形,它的外角和為720°
C.任何正多邊形都有且只有一個(gè)外接圓
D.不存在每個(gè)外角都是對應(yīng)內(nèi)角2倍的正多邊形
3.【一題多變】(2023浙江寧波鄞州期中改編)若正多邊形的一個(gè)外角等于36°,則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為( )
A.1 080° B.1 260° C.1 350° D.1 440°
[變式]若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是150°,則這是一個(gè)正 邊形.
4.如圖,已知點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的對稱中心,G,H分別是AF,BC上的點(diǎn),且AG=BH.( )
(1)求∠FAB的度數(shù);
(2)求證:OG=OH.
知識點(diǎn)2 圓內(nèi)接正多邊形及其畫法
5.(2019浙江湖州中考)如圖,已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,連結(jié)BD,則∠ABD的度數(shù)是( )( )
A.60° B.70°
C.72° D.144°
6.如圖,☉O的半徑為2,以☉O的內(nèi)接正八邊形的一邊為邊在☉O內(nèi)作正方形ABCD,則正方形ABCD的面積為 .
7.【新獨(dú)家原創(chuàng)】【尺規(guī)作圖】
(1)如圖①,用尺規(guī)作圓的內(nèi)接正方形;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)如圖②,只用圓規(guī)將圓四等分.(不寫作法,保留作圖痕跡)( )

能力提升全練
8.(2021浙江永嘉期末,10,★★☆)如圖,☉O與正六邊形OABCDE的邊OA、OE分別交于點(diǎn)F、G,點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn).若FM=22,則☉O的半徑為( )
A.2 B.6
C.22 D.26
9.【新情境·智力游戲】(2022吉林長春中考,13,★★☆)跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲.如圖所示的是一副跳棋棋盤的示意圖,它可以看成是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成的,它們重疊部分的圖形為正六邊形.若AB=27厘米,則這個(gè)正六邊形的周長為 厘米.
10.(2022江蘇宿遷中考,17,★★☆)如圖,在正六邊形ABCDEF中,AB=6,點(diǎn)M在邊AF上,且AM=2.若經(jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分,則直線l被正六邊形所截的線段長是 .( )
11.(2022浙江金華中考,22,★★☆)如圖1,正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,閱讀以下作圖過程,并回答問題:
作法:如圖2.
1.作直徑AF.
2.以F為圓心,FO的長為半徑作圓弧,與☉O交于點(diǎn)M,N.
3.連結(jié)AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)△AMN是正三角形嗎?請說明理由;
(3)從點(diǎn)A開始,以DN長為半徑,在☉O上依次截取點(diǎn),再依次連結(jié)這些點(diǎn),得到正n邊形,求n的值.
圖1 圖2
素養(yǎng)探究全練
12.【幾何直觀】(2022浙江金華金東期末)蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學(xué),下圖是由7個(gè)形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格,正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.設(shè)定AB邊如圖所示,當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí),圖上點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為 .( )
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.D 解法一:∵正八邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)為360°÷8=45°,
∴每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180°-45°=135°,故選D.
解法二:正八邊形的內(nèi)角和為(8-2)×180°=1 080°,
∴正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1 080°8=135°.故選D.
2.C 正九邊形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故A錯(cuò)誤;任意多邊形的外角和為360°,故B錯(cuò)誤;任何正多邊形都有且只有一個(gè)外接圓,故C正確;正三角形的每個(gè)外角都是對應(yīng)內(nèi)角的2倍,故D錯(cuò)誤.故選C.
3.D 正多邊形的邊數(shù)為360°÷36°=10,即這個(gè)多邊形是正十邊形,
所以該多邊形的內(nèi)角和為(10-2)×180°=1 440°.故選D.
[變式] 答案 十二
解析 ∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是150°,
∴該正多邊形的一個(gè)外角為30°,
∵多邊形的外角和為360°,
∴邊數(shù)n=360°30°=12,
∴該正多邊形為正十二邊形.
4.解析 (1)∵六邊形ABCDEF是正六邊形,
∴∠FAB=(6-2)×180°6=120°.
(2)證明:如圖,連結(jié)OA、OB,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
∵∠FAB=∠CBA,∴∠OAG=∠OBH,
在△AOG和△BOH中,AG=BH,∠OAG=∠OBH,OA=OB,
∴△AOG≌△BOH(SAS),
∴OG=OH.
5.C ∵五邊形ABCDE為正五邊形,
∴∠ABC=∠C=(5-2)×180°5=108°,CD=CB,
∴∠CBD=180°-108°2=36°,
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°.
6.答案 4-22
解析 如圖,連結(jié)OA、OD,過A作AE⊥OD于E,則∠AEO=∠AED=90°,∵∠AOD是正八邊形的中心角,∴∠AOD=360°8=45°,
∴△AOE是等腰直角三角形,∴AE=OE=22OA=1,
∴DE=OD-OE=2-1,
∴AD2=AE2+DE2=1+(2-1)2=4-22,
∴正方形ABCD的面積=AD2=4-22.
7.解析 (1)如圖,
正方形ACBD即為所求.作法不唯一.
(2)如圖,A,P,D,Q為圓的四等分點(diǎn).
提示:先將圓六等分,設(shè)六個(gè)點(diǎn)依次為A,B,C,D,E,F;分別以A,D為圓心,AC長為半徑畫弧相交于點(diǎn)G,則OG的長即為四等分圓的弦長.
能力提升全練
8.C 如圖,連結(jié)OM,
∵六邊形OABCDE是正六邊形,
∴∠FOG=120°,
∵點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn),
∴∠FOM=60°,
∵OM=OF,∴△OFM是等邊三角形,
∴OM=OF=FM=22,∴☉O的半徑為22.故選C.
9.答案 54
解析 如圖,由圖形的對稱性可得,AM=MN=BN=13AB=9(厘米),
∴正六邊形的周長為9×6=54(厘米).
10.答案 47
解析 如圖,設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O,
過點(diǎn)M、O作直線l交CD于點(diǎn)N,則直線l將正六邊形的面積平分,直線l被正六邊形所截的線段長是線段MN的長,連結(jié)OF、OA,過點(diǎn)M作MH⊥OF于點(diǎn)H,
∵六邊形ABCDEF是正六邊形,AB=6,中心為O,
∴AF=AB=6,∠AFO=12∠AFE=12×(6-2)×180°6=60°,MO=ON,
∵OA=OF,∴△OAF是等邊三角形,
∴OA=OF=AF=6,
∵AM=2,∴MF=AF-AM=6-2=4,
∵M(jìn)H⊥OF,
∴∠FMH=90°-60°=30°,
∴FH=12MF=12×4=2,∴MH=MF2-FH2=42-22=23,
∴OH=OF-FH=6-2=4,
∴OM=MH2+OH2=(23)2+42=27,
∴NO=OM=27,
∴MN=NO+OM=27+27=47.
11.解析 (1)∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴∠ABC=(5-2)×180°5=108°,
即∠ABC=108°.
(2)△AMN是正三角形.
理由:連結(jié)ON,NF,如圖,
由題意可得FN=ON=OF,
∴△FON是等邊三角形,
∴∠NFA=60°,∴∠NMA=60°,
同理可得∠ANM=60°,
∴∠MAN=60°,∴△MAN是正三角形.
(3)連結(jié)OD,如圖,
∵∠AMN=60°,
∴∠AON=120°,
∵∠AOD=360°5×2=144°,
∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°,
∵360°÷24°=15,
∴n的值是15.
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12.答案 10
解析 如圖,當(dāng)AB是直角邊時(shí),點(diǎn)C共有6個(gè)位置,即有6個(gè)直角三角形;
當(dāng)AB是斜邊時(shí),點(diǎn)C共有4個(gè)位置,即有4個(gè)直角三角形.
綜上所述,當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí),圖上點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為10.

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