§9.3　一元線性回歸模型及其應(yīng)用考試要求　1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.了解最小二乘法原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法.3.針對實(shí)際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測．知識梳理1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系：兩個變量       ，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)關(guān)系的分類：         和          ．(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在        附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)r＝.(2)當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)          ；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)          ．(3)|r|≤1；當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越     ；當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越      ．3．一元線性回歸模型(1)我們將＝x＋稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，其中(2)殘差：觀測值減去        稱為殘差．   常用結(jié)論1．經(jīng)驗回歸直線過點(diǎn)(，)．2．求時，常用公式＝.3．回歸分析和獨(dú)立性檢驗都是基于成對樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯誤．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(　 　)(2)散點(diǎn)圖是判斷兩個變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段．(　 　)(3)經(jīng)驗回歸直線＝x＋至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點(diǎn)．(　 　)(4)樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．(　 　)教材改編題1．在對兩個變量x，y進(jìn)行回歸分析時有下列步驟：①對所求出的經(jīng)驗回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求經(jīng)驗回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖．則下列操作順序正確的是(　　)A．①②④③   B．③②④①C．②③①④   D．②④③①2．對于x，y兩變量，有四組成對樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的樣本相關(guān)系數(shù)r如下，則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是(　　)A．－0.82  B．0.78  C．－0.69  D．0.873．某單位為了了解辦公樓用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了四個工作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864 由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程＝－2x＋，當(dāng)氣溫為－4 ℃時，預(yù)測用電量約為(　　)A．68度   B．52度C．12度   D．28度題型一　成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性例1　(1)(2023·保定模擬)已知兩個變量x和y之間有線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù)：x34567y3.52.41.1－0.2－1.3 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗回歸方程為＝x＋，則下列說法中正確的是(　　)A.>0，>0   B.>0，<0C.<0，>0   D.<0，<0(2)(2022·大同模擬)如圖是相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對這兩個變量進(jìn)行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到經(jīng)驗回歸方程＝1x＋1，樣本相關(guān)系數(shù)為r1；方案二：剔除點(diǎn)(10,21)，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程＝2x＋2，樣本相關(guān)系數(shù)為r2.則(　　)A．0<r1<r2<1   B．0<r2<r1<1C．－1<r1<r2<0   D．－1<r2<r1<0聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　判定兩個變量相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到右下角，則兩個變量負(fù)相關(guān)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時，正相關(guān)；當(dāng)r<0時，負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)．(3)經(jīng)驗回歸方程：當(dāng)>0時，正相關(guān)；當(dāng)<0時，負(fù)相關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1　(1)某公司2017～2022年的年利潤x(單位：百萬元)與年廣告支出y(單位：百萬元)的統(tǒng)計資料如表所示：年份201720182019202020212022利潤x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11 根據(jù)統(tǒng)計資料，則利潤中位數(shù)(　　)A．是16，x與y有正相關(guān)關(guān)系B．是17，x與y有正相關(guān)關(guān)系C．是17，x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系D．是18，x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系(2)已知相關(guān)變量x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，若用y＝b1·ln(k1x)與y＝k2x＋b2擬合時的樣本相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2則比較r1，r2的大小結(jié)果為(　　)A．r1>r2   B．r1＝r2C．r1<r2   D．不確定題型二　回歸模型命題點(diǎn)1　一元線性回歸模型例2　(2023·蚌埠模擬)某商業(yè)銀行對存款利率與日存款總量的關(guān)系進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)存款利率每上升一定的百分點(diǎn)，日均存款總額就會發(fā)生一定的變化，經(jīng)過統(tǒng)計得到下表：利率上升百分點(diǎn)x0.10.20.30.40.5日均存款總額y(億元)0.20.350.50.650.8 (1)在給出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程＝x＋；(3)已知現(xiàn)行利率下的日均存款總額為0.625億元，試根據(jù)(2)中的經(jīng)驗回歸方程，預(yù)測日均存款總額為現(xiàn)行利率下的2倍時，利率需上升多少個百分點(diǎn)？參考公式及數(shù)據(jù)：①＝，＝－，②iyi＝0.9，＝0.55.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2　非線性回歸模型例3　(2023·保山模擬)某印刷企業(yè)為了研究某種圖書每冊的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步整理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值．(xi－)2(xi－)·(yi－)(ui－)2(ui－)·(yi－)53.50.22300.77 表中ui＝，＝i.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝a＋bx與y＝c＋哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)y與印刷數(shù)量x的經(jīng)驗回歸方程？(只要求給出判斷，不必說明理由)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；(3)若該圖書每冊的售價為9元，則預(yù)測至少應(yīng)該印刷多少冊，才能使銷售利潤不低于80 000元(假設(shè)能夠全部售出)．附：對于一組數(shù)據(jù)(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其經(jīng)驗回歸方程＝ω＋的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　求經(jīng)驗回歸方程的步驟跟蹤訓(xùn)練2　(2022·南充模擬)某特色餐館開通了某APP的外賣服務(wù)，在一周內(nèi)的某特色菜外賣份數(shù)x(單位：份)與收入y(單位：元)之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：外賣份數(shù)x(份)24568收入y(元)3040605070 (1)在給出的坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)用最小二乘法求出收入y關(guān)于份數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(3)據(jù)此估計外賣份數(shù)為12時，收入為多少元．參考數(shù)據(jù)公式：＝145，iyi＝1 380，＝＝，＝－.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三　殘差分析例4　(1)(多選)下列說法正確的是(　　)A．在經(jīng)驗回歸方程＝－0.85x＋2.3中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，響應(yīng)變量平均減少2.3個單位B．在經(jīng)驗回歸方程＝－0.85x＋2.3中，相對于樣本點(diǎn)(1,1.2)的殘差為－0.25C．在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好D．若兩個變量的決定系數(shù)R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好(2)新能源汽車的核心部件是動力電池，電池占了新能源整車成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價格不斷升高，如表是2022年某企業(yè)的前5個月碳酸鋰的價格與月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價格y(萬元/kg)0.50.61m1.5 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為＝0.28x＋，根據(jù)數(shù)據(jù)計算出在樣本點(diǎn)(5,1.5)處的殘差為－0.06，則表中m＝________.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　檢驗回歸模型的擬合效果的兩種方法(1)殘差分析：通過殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果．(2)R2分析：通過公式計算R2，R2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越差．跟蹤訓(xùn)練3　(1)下列命題是真命題的為(　　)A．經(jīng)驗回歸方程＝x＋一定不過樣本點(diǎn)B．可以用樣本相關(guān)系數(shù)r來刻畫兩個變量x和y線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，r的值越小，說明兩個變量線性相關(guān)程度越弱C．在回歸分析中，決定系數(shù)R2＝0.80的模型比決定系數(shù)R2＝0.98的模型擬合的效果要好D．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好(2)兩個線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：x99.51010.511y1110865 其經(jīng)驗回歸方程是＝x＋40，則相應(yīng)于點(diǎn)(9,11)的殘差為________．

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