知識梳理
1．用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)在正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函數(shù)y＝cs x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
常用結論
1．對稱性與周期性
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是eq \f(1,2)個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq \f(1,4)個周期．
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．( × )
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.( × )
(3)y＝sin|x|是偶函數(shù)．( √ )
(4)若非零實數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期．( √ )
教材改編題
1．若函數(shù)y＝2sin 2x－1的最小正周期為T，最大值為A，則( )
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案 A
2．函數(shù)f(x)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的定義域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,12)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,6)?k∈Z?))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)?k∈Z?))))
答案 D
解析 由2x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z.
3．函數(shù)y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z
解析 因為y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
令2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，
求得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，
可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.
題型一 三角函數(shù)的定義域和值域
例1 (1)函數(shù)y＝eq \f(1,tan x－1)的定義域為________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
解析 要使函數(shù)有意義，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))
故函數(shù)的定義域為
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
(2)函數(shù)y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域為________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2\r(2),2)，1))
解析 設t＝sin x－cs x，則t2＝sin2x＋cs2x－2sin x·cs x，sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，
且－eq \r(2)≤t≤eq \r(2).
∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1，
t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]．
當t＝1時，ymax＝1；
當t＝－eq \r(2)時，ymin＝－eq \f(1＋2\r(2),2).
∴函數(shù)的值域為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2\r(2),2)，1)).
教師備選
1．函數(shù)y＝eq \r(sin x－cs x)的定義域為________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)
解析 要使函數(shù)有意義，必須使sin x－cs x≥0.利用圖象，在同一坐標系中畫出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的圖象，
如圖所示．
在[0,2π]內(nèi)，滿足sin x＝cs x的x為eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).
2．函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cs x－eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．
答案 1
解析 由題意可得
f(x)＝－cs2x＋eq \r(3)cs x＋eq \f(1,4)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(\r(3),2)))2＋1.
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴cs x∈[0,1]．
∴當cs x＝eq \f(\r(3),2)，即x＝eq \f(π,6)時，f(x)取最大值為1.
思維升華 (1)三角函數(shù)定義域的求法
求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)的圖象來求解．
(2)三角函數(shù)值域的不同求法
①把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cs x看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．
③利用sin x±cs x和sin xcs x的關系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．
跟蹤訓練1 (1)(2021·北京)函數(shù)f(x)＝cs x－cs 2x，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值( )
A．奇函數(shù)，最大值為2 B．偶函數(shù)，最大值為2
C．奇函數(shù)，最大值為eq \f(9,8) D．偶函數(shù)，最大值為eq \f(9,8)
答案 D
解析 由題意，
f(－x)＝cs (－x)－cs (－2x)
＝cs x－cs 2x＝f(x)，
所以該函數(shù)為偶函數(shù)，
又f(x)＝cs x－cs 2x＝－2cs2x＋cs x＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(1,4)))2＋eq \f(9,8)，
所以當cs x＝eq \f(1,4)時，f(x)取最大值eq \f(9,8).
(2)函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定義域為________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
解析 ∵函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)，
∴應滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin 2x>0，,9－x2≥0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ

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