?微課4　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

題型一　判斷、證明或討論函數(shù)零點的個數(shù)
【例1】(2019·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點；
(2)若x∈[0，π]時，f(x)≥ax，求a的取值范圍.
(1)證明　設(shè)g(x)＝f′(x)，則g(x)＝cos x＋xsin x－1，
g′(x)＝－sin x＋sin x＋xcos x＝xcos x.
當(dāng)x∈時，g′(x)>0；
當(dāng)x∈時，g′(x)0，g(π)＝－2，
故g(x)在(0，π)存在唯一零點.
所以f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點.
(2)解　由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.
由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一個零點，設(shè)為x0，
當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(x0，π)時，f′(x)0恒成立，
所以f(x)單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)減區(qū)間.
當(dāng)a>0時，令f′(x)ln a，
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，ln a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，＋∞).
(2)由(1)知，f′(x)＝ex－a.
①當(dāng)a≤1時，f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增且f(0)＝0，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上有一個零點.
②當(dāng)a≥e時，f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減且f(0)＝0，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上有一個零點.
③當(dāng)1

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