?舟山中學(xué)高二第一學(xué)期第一次數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)
（分?jǐn)?shù)：150分 時(shí)間：120分鐘）
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 若 ，則方程表示的圓的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知方程表示的曲線是橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
3. 點(diǎn)是圓內(nèi)不為圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系是（ ）
A. 相切 B. 相交 C. 相離 D. 相切或相交
4. 若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為2，則c的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. [,]
C. D. ）
6. 已知原點(diǎn)到直線的距離為1，圓與直線相切，則滿(mǎn)足條件的直線有
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
7. 橢圓C： 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列，若點(diǎn)P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，且P在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓C的右焦點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，已知，分別是橢圓左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過(guò)點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)（異于左，右頂點(diǎn)），且的周長(zhǎng)為6，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 橢圓的焦距為1 B. 橢圓的短軸長(zhǎng)為
C. 面積的最大值為 D. 橢圓上存在點(diǎn)，使得
10. 圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（ ）
A. 公共弦AB所在直線的方程為 B. 公共弦AB所在直線的方程為
C. 公共弦AB的長(zhǎng)為 D. P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB的距離的最大值為
11. “臉譜”是戲曲舞臺(tái)演出時(shí)的化妝造型藝術(shù)，更是中國(guó)傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為．則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 點(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6
B. 曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7
C. 若，P是半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cos∠APB的最小值為
D. 畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點(diǎn)都在與橢圓同中心的圓上．稱(chēng)該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A，那么半橢圓擴(kuò)充為整個(gè)橢圓：后，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為
12. 已知F為橢圓左焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，，垂足為E，BE與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則（ ）
A. 的最小值為2 B. 的面積的最大值為
C. 直線BE的斜率為 D. 為直角
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 已知直線，若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____，動(dòng)直線被圓截得弦長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．
14. 若過(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，離心率為，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，那么的方程為_(kāi)_________．
16. 已知F1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓的焦點(diǎn)，M是橢圓上第一象限的點(diǎn)，若I是的內(nèi)心，G是的重心，記與的面積分別為S1，S2，則___________.
四、解答題（本大題共6小題，共73.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上.
（1）若圓心C也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使得，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.
19. 已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點(diǎn)M滿(mǎn)足．
（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)為時(shí)直線l的方程．
20. 已知橢圓及直線，.
（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)；
（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.
21. 已知橢圓C：1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，﹣1)，離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=k(x﹣1)(k0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B(1，0)，求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上.
22. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，且．
（1）求方程．
（2）若，為上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)且垂直軸的直線平分，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．

舟山中學(xué)高二第一學(xué)期第一次數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)
（分?jǐn)?shù)：150分 時(shí)間：120分鐘）
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 若 ，則方程表示的圓的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由圓的一般方程表示圓的條件計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知：，
解之得，
又，所以.
故選：C
2. 已知方程表示的曲線是橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，所以，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.
3. 點(diǎn)是圓內(nèi)不為圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系是（ ）
A. 相切 B. 相交 C. 相離 D. 相切或相交
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，得到，再計(jì)算圓心到直線的距離為d，并與半徑作比較，即可得到答案．
【詳解】M在圓內(nèi)，且不為圓心，則，
則圓心到直線的距離為，
所以相離．
故選：C．
4. 若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為2，則c的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直線和圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.
【詳解】由，
所以，半徑，
過(guò)圓心作直線的垂線交圓分別于A、B兩點(diǎn)，易知，
當(dāng)圓心C到的距離時(shí)可得，
此時(shí)圓上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為2，滿(mǎn)足題意，
如圖所示，可知到的距離為：.

故選：A
5. 已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. [,]
C. D. ）
【答案】D
【解析】
【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P的軌跡方程為，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，據(jù)此求解關(guān)于k的不等式即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【詳解】圓C（2,0），半徑r＝，設(shè)P（x，y），
因?yàn)閮汕芯€，如下圖，PA⊥PB，由切線性質(zhì)定理，知：
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四邊形PACB為正方形，所以，｜PC｜＝2，
則：，即點(diǎn)P的軌跡是以（2,0）為圓心，2為半徑的圓.

直線過(guò)定點(diǎn)（0，－2），直線方程即，
只要直線與P點(diǎn)的軌跡（圓）有交點(diǎn)即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，
即：，解得：，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是）.
本題選擇D選項(xiàng).
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程的求解與應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
6. 已知原點(diǎn)到直線的距離為1，圓與直線相切，則滿(mǎn)足條件的直線有
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：由已知，直線滿(mǎn)足到原點(diǎn)的距離為，到點(diǎn)的距離為，滿(mǎn)足條件的直線即為圓和圓的公切線，因?yàn)檫@兩個(gè)圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線. 故選C.
考點(diǎn)：相離兩圓的公切線
7. 橢圓C： 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列，若點(diǎn)P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，且P在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓C的右焦點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及橢圓的定義先計(jì)算，利用三角換元設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算范圍即可.
詳解】由題意可知，即，
結(jié)合題意不妨設(shè)，
則，
所以，
由題意得，令，則
由二次函數(shù)的單調(diào)性知當(dāng)時(shí)，上式取得最大值，
當(dāng)時(shí)，，
故.
故選：C
8. 如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過(guò)點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解
【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線圓的切線，，，所以．
由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．
故選：A
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)（異于左，右頂點(diǎn)），且的周長(zhǎng)為6，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 橢圓的焦距為1 B. 橢圓的短軸長(zhǎng)為
C. 面積的最大值為 D. 橢圓上存在點(diǎn)，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)，解得可判斷AB；設(shè)，由知當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)面積最大，求出面積的最大值可判斷C；假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)，設(shè)，求出、，可看作方程，求出判別式可判斷D.
【詳解】由已知得，，解得，，
對(duì)于A，橢圓的焦距為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，橢圓的短軸長(zhǎng)為，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)面積的最大，此時(shí)，所以面積的最大值為，故C正確；
對(duì)于D，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，
所以，，，
所以是方程，其判別式，所以方程無(wú)解，故假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（ ）
A. 公共弦AB所在直線的方程為 B. 公共弦AB所在直線的方程為
C. 公共弦AB的長(zhǎng)為 D. P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB的距離的最大值為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)公共弦方程的求法計(jì)算即可判定A、B選項(xiàng)，利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可判定C選項(xiàng)，利用圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式可判定D項(xiàng).
【詳解】由兩圓的方程作差可知公共弦AB方程為：，故A正確，B錯(cuò)誤；
由，
易知，半徑，
則點(diǎn)到的距離為，
故弦長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)，并在如下圖所示位置時(shí)，P到直線AB的距離的最大，為，故D正確；
故選：AD

11. “臉譜”是戲曲舞臺(tái)演出時(shí)的化妝造型藝術(shù)，更是中國(guó)傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為．則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 點(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6
B. 曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7
C. 若，P是半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cos∠APB的最小值為
D. 畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點(diǎn)都在與橢圓同中心的圓上．稱(chēng)該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A，那么半橢圓擴(kuò)充為整個(gè)橢圓：后，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，易得，，從而判斷；選項(xiàng)B根據(jù)橢圓的性質(zhì)解決橢圓中兩點(diǎn)間距離問(wèn)題；選項(xiàng)C由橢圓定義可得到|PA|、|PB|之和為定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘積的最大值，結(jié)合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；選項(xiàng)D中分析蒙日?qǐng)A的關(guān)鍵信息，圓心是原點(diǎn)，找兩條特殊的切線，切線交點(diǎn)在圓上，求得圓半徑得圓方程．
【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，
則，，
則，
當(dāng)位于橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；
對(duì)于B，半圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離都是，
半橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，
所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確；
對(duì)于C，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
在△PAB中，，由余弦定理知：

，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以cos∠APB的最小值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由題意知：蒙日?qǐng)A的圓心O坐標(biāo)為原點(diǎn)(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點(diǎn)為，
該點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，半徑為
此時(shí)蒙日?qǐng)A方程為：，故D正確．
故選：ABD．
12. 已知F為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，，垂足為E，BE與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則（ ）
A. 的最小值為2 B. 的面積的最大值為
C. 直線BE的斜率為 D. 為直角
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)A、P坐標(biāo)，結(jié)合橢圓定義、均值不等式、斜率坐標(biāo)公式逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.
【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)，由橢圓對(duì)稱(chēng)性知線段AB，互相平分于點(diǎn)O，則四邊形為平行四邊形，如圖，

則，有
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，A不正確；
設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
即，因，垂足為E，則，B正確；
因，有，由橢圓對(duì)稱(chēng)性可得，而，則直線BE的斜率，C正確；
設(shè)，由及得， ，即，
直線PA，PB的斜率有，而，
于是得，有，所以為直角，D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)橢圓中心的弦(除橢圓長(zhǎng)軸外)與橢圓二焦點(diǎn)圍成平行四邊形.
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 已知直線，若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____，動(dòng)直線被圓截得弦長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線的一般方程，利用直線平行的公式，代入即可求解；首先判斷直線過(guò)定點(diǎn)，利用直線與圓的位置關(guān)系，判斷當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與垂直的弦的弦長(zhǎng)最短.
【詳解】由題意得，所以．
當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去，故．
因?yàn)閳A的方程可化為，
即圓心為，半徑為5．
由于直線過(guò)定點(diǎn)，
所以過(guò)點(diǎn)且與垂直的弦的弦長(zhǎng)最短，
且最短弦長(zhǎng)為．
故答案為：；
14. 若過(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先將圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，通過(guò)半徑的平方大于0可得到，再通過(guò)點(diǎn)能作兩條圓的切線，可得到點(diǎn)在圓外，能得到或，即可得到答案
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑的平方為，即，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條，所以點(diǎn)在圓外，
故點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，即，解得或，
綜上所述，的取值范圍是，
故答案為：．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，離心率為，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，那么的方程為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：依題意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.
∴橢圓C的方程為
考點(diǎn)：橢圓的定義及幾何性質(zhì)

16. 已知F1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓的焦點(diǎn)，M是橢圓上第一象限的點(diǎn)，若I是的內(nèi)心，G是的重心，記與的面積分別為S1，S2，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)離心率確定，再根據(jù)條件用表示的面積，然后尋找及與的面積的關(guān)系即可得出結(jié)果.
【詳解】由于橢圓的離心率為，所以，即，
設(shè)的面積為S，內(nèi)切圓的半徑為r，
則，
所以，
所以，
因?yàn)镚是的重心，
所以，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是及和的面積建立聯(lián)系.
四、解答題（本大題共6小題，共73.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合圓內(nèi)切的性質(zhì)求解即可.
【詳解】設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)，
由得，即動(dòng)圓圓心到兩定點(diǎn)，的距離之和等于定圓的半徑，
∴動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，則，.
∴的軌跡方程是．

18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上.
（1）若圓心C也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使得，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】（1）所求切線方程為或；（2）
【解析】
【分析】（1）先求得圓心，再根據(jù)半徑為1，可得圓的方程.分類(lèi)討論斜率不存在和存在時(shí)的情況，由圓心到切線的距離等于半徑求得切線方程；?
（2）可設(shè)圓心?，設(shè)點(diǎn)，則由可得，設(shè)此圓為圓D，由題意可得，圓C和圓D有交點(diǎn)，故兩圓相交，由此有，解之可得的取值范圍.
【詳解】（1）由題設(shè)，知圓心C是直線和的交點(diǎn)，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，圓C的方程為，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線的斜率存在時(shí)，
設(shè)切線方程為，
由題意得，解得，
所以切線方程為.
故所求切線方程為或.
（2）因?yàn)閳A心C在直線上，
所以設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
圓C的方程為，
設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?br /> 所以，
化簡(jiǎn)得，即，
所以點(diǎn)M在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上.
由題意，點(diǎn)在圓C上，
所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，
則，即，
解得.
所以圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓相切的等價(jià)條件和圓與圓相交的等價(jià)條件是解題的關(guān)鍵，此題屬綜合性較強(qiáng)的中檔題.
19. 已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點(diǎn)M滿(mǎn)足．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)為時(shí)直線l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，即可求出、，即可求出橢圓方程；
（2）首先求出直線斜率不存在時(shí)弦顯然可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為、、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到方程，求出，即可得解；
【小問(wèn)1詳解】
解：依題意，解得，所以橢圓方程為；
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，不符合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，則，消元整理得，設(shè)，，則，，所以，即，解得，所以直線的方程為；
20. 已知橢圓及直線，.
（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)；
（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】
（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)點(diǎn)、，列出韋達(dá)定理，由，可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并代入韋達(dá)定理，進(jìn)而可計(jì)算得出的值，由此可求得直線的方程.
【詳解】（1）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，消去得，
由于直線與橢圓有公共點(diǎn)，則，解得，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，，
，所以，，解得.
因此，直線的方程為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
21. 已知橢圓C：1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，﹣1)，離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=k(x﹣1)(k0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B(1，0)，求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫(xiě)出橢圓方程；
（2）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，聯(lián)立直線與橢圓，寫(xiě)出韋達(dá)定理，將用表示出來(lái)，證明即可.
【詳解】（1）解：由題意可知，解得，
所以橢圓C的方程為.
（2）證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，
由得，
所以.
所以當(dāng)k為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有.
所以，.
因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為M，
所以，，
因?yàn)锽(1，0)，
所以，.
所以


.
又因?yàn)閗0，，
所以，
所以點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題.
22. 已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，，且．
（1）求的方程．
（2）若，為上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)且垂直軸的直線平分，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】(1)由條件，可得的值，再由條件結(jié)合，可得答案.
（2）由條件先得出，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，代入結(jié)論中可 求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以?br /> 又，所以，，
故的方程為．
（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，，
設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，
由，得，
則，
，．
設(shè)直線，的傾斜角分別為，，
則，，
所以，
即，
所以，
所以，
化簡(jiǎn)可得，
所以直線的方程為，
故直線過(guò)定點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的方程和直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件得出，設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立由韋達(dá)定理代入解決，屬于中檔題.

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