2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考A卷·基礎(chǔ)知識達標測（考試時間：120分鐘  試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：必修第一冊第一章、第二章。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，若，則（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選B.2．設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（    ）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】利用作差法解出的結(jié)果，然后與0進行比較，即可得到答案【詳解】因為，，所以，所以，故選A.3．已知實數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，可得，再根據(jù)的范圍求解即可.【詳解】令，，則，所以．因為，所以．因為，所以，所以.故選B．4．若，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳解】解法一：因為，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因為，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因為，且，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選C.5．已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題可得恒成立，由即可求出.【詳解】因為命題“，使”是假命題，所以恒成立，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍是．故選B．6．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性質(zhì)判斷ACD；取特殊值判斷B.【詳解】對于A，因為，所以，即，故錯誤；對于B，取，則，故錯誤；對于C，由，得，所以，故錯誤；對于D，由，得，所以，故正確.故選D.7．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】令，用分別乘，兩邊再用均值不等式求解即可.【詳解】因為，且為正實數(shù)，所以，當且僅當，即時等號成立.所以.故選B.8．關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（　?。?/span>A．  B． C．  D． 【答案】C【分析】分類討論一元二次不等式的解，根據(jù)解集中只有一個整數(shù)，即可求解.【詳解】由得，若，則不等式無解．若，則不等式的解集為，此時要使不等式的解集中恰有個整數(shù)解，則此時個整數(shù)解為，則．若，則不等式的解集為，此時要使不等式的解集中恰有個整數(shù)解，則此時個整數(shù)解為，則．綜上，滿足條件的的取值范圍是.故選C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下面命題為真命題的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【分析】利用特殊值判斷A、B，利用不等式的性質(zhì)判斷C、D.【詳解】對于A：當時，故A錯誤；對于B：取，則，故B錯誤；對于C：若，則，，所以，故C正確；對于D：由，所以，所以，故D正確.故選CD.10．不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（   ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與二次不等式關(guān)系求解即可.【詳解】解：因為不等式的解集是，所以，且，所以所以，，，所以，故A、B、C正確，D錯誤．故選ABC．11．若正實數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（    ）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值【答案】ABC【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別分析各選項即可判斷．【詳解】解：因為正實數(shù)，滿足，所以，當且僅當時取等號，所以，故有最大值，故A正確；，當且僅當時取等號，故，即有最大值，故B正確；，當且僅當時取等號，故有最小值4，故C正確；，當且僅當時取等號，所以有最小值，故D錯誤．故選ABC．12．1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機．將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是（    ）A．若，，則滿足戴德金分割B．若為戴德金分割，則沒有最大元素，有一個最小元素C．若為戴德金分割，則有一個最大元素，有一個最小元素D．若為戴德金分割，則沒有最大元素，也沒有最小元素【答案】BD【分析】根據(jù)集合的定義和題目要求，分析各選項即可.【詳解】對于選項A，因為，，，故A錯誤；對于選項B，設(shè)，，滿足戴德金分割，則M中沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；對于選項C，若有一個最大元素，有一個最小元素，若，一定存在使不成立；若，則不成立，故C錯誤；對于選項D，設(shè)，，滿足戴德金分割，此時沒有最大元素，也沒有最小元素，故D正確．故選BD．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．命題“?x∈R，x≥1或x＞2”的否定是__________．【答案】?x∈R，x＜1【詳解】特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“?x∈R，x≥1或x＞2”的等價條件為：“?x∈R，x≥1”，所以命題的否定是：?x∈R，x＜1．故答案為：?x∈R，x＜1．14．設(shè)集合，則集合的子集個數(shù)為__________．【答案】16【分析】先化簡集合A，再利用子集的定義求解.【詳解】解：，故A的子集個數(shù)為，故答案為：16.15．設(shè)函數(shù)，不等式的解集為，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【分析】先根據(jù)不等式的解集求得，得到，再把對任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為恒成立，即可求解.【詳解】由函數(shù)，且不等式的解集為，即是方程兩個實數(shù)根，可得，解得，所以，又由，且，當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，因為對任意恒成立，即恒成立，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16．已知非負實數(shù)，滿足，則的最小值為__________．【答案】【分析】將變形為，再借助“1”的妙用求解作答.【詳解】非負實數(shù)，滿足，有，則，當且僅當，即時取“=”，由，得，所以當時，的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．第17題10分，其他每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．設(shè)全集，集合，.（1）求及；（2）求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)集合的交并集運算求解即可；（2）根據(jù)集合的補集的運算和交集的運算求解即可.【詳解】解：（1）因為，，所以，（2）因為，所以，所以.18．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．（1）若不等式f(x)＞0的解集為(－1，1)，求a，b的值；（2）若f(1)=2，①a＞0，b＞0，求的最小值；②若f(x)＞1在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）①9；②【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根與系數(shù)關(guān)系列方程求解；（2）由條件得，①利用基本不等式求最小值；②化簡不等式為標準的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．【詳解】（1）由題意的兩根是和1且，所以，解得．（2），，①因為，所以，當且僅當，即時等號成立．所以的最小值是9．②易知，，即，的解集為R，時，不合題意，所以，且，解得，所以的取值范圍是．19．已知集合.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)集合的運算法則計算；（2）由得，然后分和兩種情況求解．【詳解】（1）當時，中不等式為，即，所以，則.（2）若，則，①當時，，即，此時；②當時，，即，此時.綜上的取值范圍為.20．集合，．（1）若，，求實數(shù)a的值；（2）從①，②，③這三個條件中選擇一個作為已知條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）1；（2）條件選擇見解析，.【分析】（1）由可知、，即可求出答案.（2）三個條件中選擇一個都可得，由此即可列出不等式組，即可求出答案.【詳解】（1）因為，所以，所以，得或．當時，，不滿足，故舍去；當時，，滿足題意．故實數(shù)a的值為1．（2）方案一  選擇條件①．由，得，所以，解得．故實數(shù)a的取值范圍是．方案二  選擇條件②．由，得，所以，解得．故實數(shù)a的取值范圍是．方案三  選擇條件③．由，得，所以解得．故實數(shù)a的取值范圍是．21．某廠家擬在2023年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計算）.（1）將2023年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2023年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）；（2）該廠家2023年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元.【分析】（1）根據(jù)題意列方程即可.（2）根據(jù)基本不等式，可求出的最小值，從而可求出的最大值.【詳解】（1）由題意知，當時，（萬件），則，解得，所以．所以每件產(chǎn)品的銷售價格為（元），所以2023年的利潤．（2）因為當時，，所以，當且僅當，即時等號成立．所以，即萬元時，（萬元）．故該廠家2023年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元．22．已知函數(shù)，．（1）當時，求不等式的解集；（2）若存在使關(guān)于的方程有四個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）先因式分解，對兩根大小作討論，求出解集；（2）先令，由，則可得，再將有四個不同的實根，轉(zhuǎn)化為有兩個不同正根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出的取值范圍．【詳解】（1）由題意，，即，解方程得，.①當時，即當時，解不等式，得或，此時的解集為；②當時，即時，解不等式，得，此時的解集為；③當時，即當時，解不等式，得或，此時的解集為；綜上，當時，的解集為；當時，的解集為；當時，的解集為；（2）當時，令，當且僅當時，等號成立；則關(guān)于的方程可化為，關(guān)于的方程有四個不同的實根，即有兩個不同正根，則，由②③式可得，由①知：存在使不等式成立，故，即，解得或.故實數(shù)的取值范圍是．【點睛】已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．

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