湖南省長沙市雅禮中學2024-2025學年高二上學期期中考試數學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網

時量：120分鐘分值：150分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1 已知等差數列滿足，則等于（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
2. 若圓的半徑為2，則實數的值為（）
A. -9B. -8C. 9D. 8
3. 若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，則該拋物線的準線方程為（）
A. B. C. D.
4. 空氣質量指數是評估空氣質量狀況的一組數字，空氣質量指數劃分為、、、、和六檔，分別對應“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴重污染”六個等級．如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質量指數趨勢圖，則下面說法中正確的是（）．
A. 這14天中有5天空氣質量為“中度污染”
B. 從2日到5日空氣質量越來越好
C. 這14天中空氣質量指數的中位數是214
D. 連續(xù)三天中空氣質量指數方差最小是5日到7日
5. 已知雙曲線C ：-=1焦距為10 ，點P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為
A. -=1B. -=1C. -=1D. -=1
6. 定義行列式，若函數，則下列表述正確是（）
A. 的圖象關于點中心對稱B. 的圖象關于直線對稱
C. 在區(qū)間上單調遞增D. 是最小正周期為的奇函數
7. 已知中，，，，D為BC的中點，則（）
A 25B. 19C. D.
8. 已知橢圓：的左、右焦點分別為、，是上一點，且軸，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 設i為虛數單位，下列關于復數z的命題正確的有（）
A.
B. 若，互為共軛復數，則
C. 若，則z的軌跡是以原點為圓心，半徑為1的圓
D. 若復數為純虛數，則
10. 如圖，正方體的棱長為1，E是棱CD上的動點（含端點）.則下列結論正確的是（）
A. 三棱錐的體積為定值
B.
C. 存在某個點E，使直線與平面ABCD所成角為
D. 二面角的平面角的大小為
11. 數學中的數形結合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，一些優(yōu)美的曲線是數學形象美?對稱美?和諧美的產物，曲線為四葉玫瑰線，下列結論正確的有（）
A. 方程，表示的曲線在第二和第四象限；
B. 曲線上任一點到坐標原點距離都不超過；
C. 曲線構成的四葉玫瑰線面積大于；
D. 曲線上有個整點（橫?縱坐標均為整數的點）.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
12. 圓與圓的交點為A，B，則公共弦AB所在的直線的方程是________.
13. 若數列滿足（，d為常數），則稱數列為“調和數列”，已知正項數列為“調和數列”，且，則的最大值是________.
14. 如圖，在四棱錐中，頂點P在底面的投影恰為正方形ABCD的中心且，設點M，N分別為線段PD，PO上的動點，已知當取得最小值時，動點M恰為PD的中點，則該四棱錐的外接球的表面積為____________．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知數列是等差數列，是的前n項和，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）求的最小值.
16. 已知公差不為零的等差數列的前n項和為，若，且，，成等比數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前n項和.
17. 在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側面底面，，且，分別為，的中點，
（1）證明：平面；
（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
18. 已知拋物線上一點到焦點F的距離為9.
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點，點M為拋物線C準線上一點，且，求的面積.
（3）過點的動直線l與拋物線相交于C，D兩點，是否存在定點T，使得為常數？若存在，求出點T的坐標及該常數；若不存在，說明理由.
19. “工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數學內容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：
步驟1：在紙上畫一個圓，并在圓外取一定點；
步驟2：把紙片折疊，使得點折疊后與圓上某一點重合；
步驟3：把紙片展開，并得到一條折痕；
步驟4：不斷重復步驟2和3，得到越來越多的折痕.
你會發(fā)現，當折痕足夠密時，這些折痕會呈現出一個雙曲線的輪廓.
若取一張足夠大的紙，畫一個半徑為2的圓，并在圓外取一定點，按照上述方法折紙，點折疊后與圓上的點重合，折痕與直線交于點的軌跡為曲線.
（1）以所在直線為軸建立適當的坐標系，求的方程；
（2）設的中點為，若存在一個定圓，使得當的弦與圓相切時，上存在異于的點使得，且直線均與圓相切.
（i）求證：；
（ii）求四邊形面積的取值范圍.