?哈師大附中2023—2024學(xué)年度高二上學(xué)期月考
數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本大題共 8 小題，每個小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 過點的直線的方向向量為，則該直線方程為（????）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直線的斜率和方向向量之間的關(guān)系即可求解.
【詳解】不妨設(shè)點為直線上異于點的任意一點，
則由直線的斜率和方向向量之間的關(guān)系可知，
整理得，因此滿足題意的直線方程為.
故選：A.
2. 國家射擊運動員甲在某次訓(xùn)練中次射擊成績（單位：環(huán)）如：，則這組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序，根據(jù)百分位數(shù)的求法直接求解即可.
【詳解】將次射擊成績按照從小到大順序排序為：，
，第百分位數(shù)為.
故選：C.
3. 已知直線和，若，則（ ）
A. 3 B. 1 C. -1 D. 3或-1
【答案】C
【解析】
【分析】代入兩直線平行的公式，即可求解.
【詳解】若，則，解得：.
故選：C
4. 若圓經(jīng)過點，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求解的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標(biāo)，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.
【詳解】圓經(jīng)過點，，
可得線段中點為，又，
所以線段的中垂線的方程為，
即，
由，解得，
即，圓的半徑，
所以圓的方程為.
故選：A.
5. 某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)，對2022屆初三年級所有學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計，結(jié)果如下圖所示.該校2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆初三學(xué)生人數(shù)上升了10%，則下列說法錯誤的是（ ）

A. 該校2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占70%
B. 該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)同個數(shù)段的學(xué)生人數(shù)的2倍還多
C. 該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)和2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)均在內(nèi)
D. 相比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占比增加
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖和條形圖對四個選項逐個判斷可得答案.
【詳解】2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占比為
，A正確.
由于2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆上升了，
假設(shè)2022屆初三學(xué)生人數(shù)為（），
則仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，
2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為
，，B正確.
2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，
2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，C錯誤.
2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占，
2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占，D正確.
故選： C.
6. 已知直線：mx－y－3m＋1＝0與直線：x＋my－3m－1＝0相交于點P，點Q是圓C：上的動點，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析可得點的軌跡是圓心為，半徑為的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)運算求解.
【詳解】圓C：的圓心，半徑，
因為，
所以直線與直線互相垂直，
由，得，所以直線過定點，
由得，所以直線過定點，
因為中點為，且，
所以點的軌跡方程為，其圓心為，半徑為，
所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
且，
故的最小值為.
故選：C.
7. 根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如下：
①平均數(shù)；
②平均數(shù)且極差小于或等于3；
③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；
④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．
則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（ ）
A. 1組 B. 2組 C. 3組 D. 4組
【答案】B
【解析】
【分析】舉反例否定①；反證法證明②符合要求；舉反例否定③；直接法證明④符合要求.
【詳解】①舉反例：，，，，，其平均數(shù)．但不符合入冬指標(biāo)；
②假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3可知，
則此組數(shù)據(jù)中的最小值為，此時數(shù)據(jù)的平均數(shù)必然大于7，
與矛盾，故假設(shè)錯誤.則此組數(shù)據(jù)全部小于10. 符合入冬指標(biāo)；
③舉反例：1，1，1，1，11，平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差.但不符合入冬指標(biāo)；
④在眾數(shù)等于5且極差小于等于4時，則最大數(shù)不超過9.符合入冬指標(biāo).
故選：B．
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓，若曲線上存在四個點，過動點作圓的兩條切線，為切點，滿足，則的取值范圍是（????）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用條件，先求出的軌跡方程，分情況討論此曲線軌跡與交點情況即可.
詳解】如圖所示，設(shè)，則，，，

化簡得，或（舍去），
即在以O(shè)為圓心的圓上，軌跡方程為，

如上圖所示，易知曲線過定點，記為，
若，最多與圓有一個交點，不符合題意，可排除C、D選項；
若，先判定與相切的情況，
則圓心到直線的距離為，
由圖形可知當(dāng)時，曲線與有四個交點.
故選：B




二、多項選擇題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得 5 分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分.
9. 已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，中位數(shù)為，方差為，極差為.由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則（ ）
A. 新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 B. 新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是
C. 新數(shù)據(jù)的方差是 D. 新數(shù)據(jù)的極差是
【答案】CD
【解析】
【分析】直接利用平均數(shù)，中位數(shù)，方差，極差的定義求解判斷即可.
【詳解】對于A，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

，故A錯誤；
對于B，因為原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故B錯誤；
對于C，因為原數(shù)據(jù)的方差為，
所以新數(shù)據(jù)的方差是，故C正確；
對于D，設(shè)數(shù)據(jù)中最大，最小，其中,, 則，
所以新數(shù)據(jù)的極差是，故D正確.
故選：CD.
10. 圓和圓的交點為，則有（　　）
A. 公共弦所在直線方程為
B. 線段中垂線方程為
C. 公共弦的長為
D. 為圓上一動點，則到直線距離的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接把兩圓的方程作差判斷A；利用直線方程的點斜式寫出線段的中垂線方程判斷B；求出公共弦長判斷C；由到的距離加上的半徑判斷D．
【詳解】對于A，由與，兩式作差可得，即，
∴公共弦所在直線方程為，故A正確；
對于B，圓的圓心為，
圓的圓心，
的中點坐標(biāo)，，
∴的中垂線的斜率為，可得的中垂線方程為，
即，故B正確；
對于C，圓心到直線的距離，半徑為，
則，故C錯誤；
對于D，為圓上一動點，圓心到直線的距離為，半徑，
則到直線的距離的最大值為，故D正確．
故選：ABD
11. 已知實數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項正確的是（ ）
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 過點作曲線的切線，則切線方程為
【答案】BD
【解析】
【分析】由表示圓上的點到定點的距離的平方，可判定A錯誤；由表示圓上的點與點的斜率，設(shè)，結(jié)合點到直線的距離公式，列出不等式，可判定B正確；由表示圓上任意一點到直線的距離的倍，進(jìn)而可判定C錯誤；根據(jù)點在圓上，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)，可判定D正確.
【詳解】由圓可化為，可得圓心，半徑為，
對于A中，由表示圓上的點到定點的距離的平方，
所以它的最大值為，所以A錯誤；
對于B中，表示圓上的點與點的斜率，設(shè)，即，
由圓心到直線的距離，解得，
所以的最大值為，所以B正確；
對于C中，由表示圓上任意一點到直線的距離的倍，
圓心到直線的距離，所以其最小值為，所以C錯誤；
對于D中，因為點滿足圓的方程，即點在圓上，
則點與圓心連線的斜率為，
根據(jù)圓的性質(zhì)，可得過點作圓的切線的斜率為，
所以切線方程為，即，所以D正確.
故選：BD.
12. 已知圓上兩點滿足，點滿足，則下列選項正確的有（????）
A. 當(dāng)時
B. 當(dāng)時，過點的圓的最短弦長是
C. 線段的中點縱坐標(biāo)最小值是
D. 過點作圓的切線且切點為，則的取值范圍是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由題意可知點在線段的垂直平分線上，對于A，令舉出反例即可判斷；對于B ，此時點剛好在原點，通過分析發(fā)現(xiàn)圓的過點的最短弦長即為被軸所截得的弦長；對于C，設(shè)出線段的中點坐標(biāo)，由垂徑分線定理將不等式轉(zhuǎn)換成，從而即可判斷；對于D，由切線長定理即可判斷.
【詳解】圓的圓心、半徑分別為，令圓心到線段的距離為；
對于A，不妨設(shè)直線，此時，由弦長公式可知，
但此時線段的垂直平分線是平行于軸的，即此時點不存在，故A選項錯誤；
對于B，如圖所示：

當(dāng)時，點與坐標(biāo)原點重合，設(shè)為過點的任意一條不與重合的弦，，
可以發(fā)現(xiàn)，由弦長公式可知，若要弦長最短，只需最大，
而當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時，
所以當(dāng)時，過點的圓的最短弦長是，故B選項正確；
對于C，不妨設(shè)線段的中點坐標(biāo)，由垂徑分線定理可知，
又，所以，解得，
注意到，所以，解得，
因此當(dāng)時，，即線段的中點縱坐標(biāo)最小值是，故C選項正確；
對于D，如圖所示：

設(shè)線段的中點為，由題意及切線長定理可知，
我們來簡單說明一下切線長定理：事實上四邊形的面積一方面可以表示為，
另一方面也可以表示為，
且注意到，
所以由等面積法結(jié)合以上式子可得，
又由勾股定理有，
且注意到，
所以，解得，
又，
所以有，解得或，即的取值范圍是，故D選項正確.
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題A選項的關(guān)鍵是舉反例證偽，B選項較為常規(guī)，至于C選項要注意轉(zhuǎn)換成來做，D選項的話關(guān)鍵在于用切線長定理以及勾股定理來轉(zhuǎn)換已知條件，從而順利求解.
三、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.
13. 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)三百人，南鄉(xiāng)兩百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役六十人，而北鄉(xiāng)需遺十，問北鄉(xiāng)人數(shù)幾何?”其意思為：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，這三面要征調(diào)60人，而北面共征調(diào)10人（用分層抽樣的方法），則北面共有________人.
【答案】100
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意列方程求解即可．
【詳解】設(shè)北面共有x人，則由題意可得，解得，
所以北面共有100人.
故答案為：100．
14. 兩條平行線和的距離為________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由兩平行線直接的距離公式即可求解.
【詳解】由題意直接由兩平行線之間的距離公式可知，兩條平行線和的距離為.
故答案為：.
15. 將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點與點重合，點與點重合，則_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)直線對稱的性質(zhì)，結(jié)合直線斜率公式、中點坐標(biāo)公式、互相垂直的直線斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)點為點，點為點，所以線段的中點為.
設(shè)點為點，設(shè)點為點，所以線段的中點為，
由題意可知，
于是有： ，
故答案為：1
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)直線對稱，得到斜率之間的關(guān)系.
16. 阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是“如果動點與兩定點的距離之比為(，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓”下面我們來研究與此相關(guān)的一個問題，已知點為圓上的動點，，則的最小值為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】首先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，假設(shè)存在這樣的點，使得，則，設(shè)點，可得，該圓對照，所以，求得點，再由，即可得解.
【詳解】
假設(shè)存在這樣的點，使得，則，設(shè)點，則，
即，
該圓對照，所以，所以點，
所以.
故答案為：
四、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知圓C經(jīng)過三點.
（1）求圓C的方程；
（2）經(jīng)過點的直線l被圓C所截得的弦長為，求直線l的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓C的一般方程，再利用待定系數(shù)法求解作答.
（2）由（1）求出圓C的圓心和半徑，結(jié)合弦長及點到直線距離求解作答.
【小問1詳解】
設(shè)圓C的方程為，
由圓C經(jīng)過三點，得，解得，
所以圓C的方程為
【小問2詳解】
由（1）知圓C：，即圓心，半徑為5，
由直線l被圓C所截得的弦長為，得圓心C到直線l的距離，
而直線l經(jīng)過點，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，
即，于是，得或，
所以直線l的方程為或

18. 某高校就業(yè)部從該校2022年已就業(yè)的博士研究生的畢業(yè)生中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中一項是他們的月薪收入情況，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們的月薪收入在人民幣1.65萬元到2.35萬元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分組，得到如下的頻率分布直方圖：

（1）將同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，求這200人月薪收入的樣本平均數(shù)；
（2）該校在某地區(qū)就業(yè)的2022屆博士研究生的畢業(yè)生共100人，決定于2023年五一勞動節(jié)長假期間舉辦一次同學(xué)聯(lián)誼會，并收取一定的活動費用，有兩種收費方案：
方案一：設(shè)區(qū)間，月薪落在區(qū)間左側(cè)的每人收取400元，月薪落在區(qū)間內(nèi)的每人收取600元，月薪落在區(qū)間右側(cè)的每人收取800元；
方案二：每人按月薪收入的樣本平均數(shù)的3%收?。?br /> 用該校就業(yè)部統(tǒng)計的這200人月薪收入的樣本頻率進(jìn)行估算，哪一種收費方案能收到更多的費用？
【答案】（1）2（萬元）
（2）方案一能收到更多的費用
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解；
（2）分別計算得到方案一和方案二中這50人共收活動費用的多少，比較即可得到結(jié)論.
【小問1詳解】
解：根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得這200人月薪收入的樣本平均數(shù)：
（萬元）．
【小問2詳解】
解：方案一：
月薪落在區(qū)間左側(cè)收活動費用約為（萬元）；
月薪落在區(qū)間內(nèi)收活動費用約（萬元）；
月薪落在區(qū)間右側(cè)收活動費用約為（萬元）．
因此方案一，這100人共收活動費用約為（萬元）；
方案二：這100人共收活動費用約為（萬元）．
因為，故方案一能收到更多的費用.
19. 在四棱錐中，，，平面，分別為的中點，.

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角大小
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）易得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可證得平面，進(jìn)而可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）分別取的中點，連接，不妨設(shè)，先利用勾股定理求出，從而可證得，進(jìn)而可得即為二面角的平面角，再解即可得解.
【小問1詳解】
因為平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
因為分別為的中點，所以，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
【小問2詳解】
分別取的中點，連接，
不妨設(shè)，則，
在中，，則，
在中，，則，
因為平面，平面，
所以，
則，
因為分別為的中點，所以，
由（1）得平面，
因為平面，所以，
則，
因為為的中點，所以，
因為為的中點，
所以且，
又，所以，
所以即為二面角平面角，
因為為的中點，
所以且，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，所以，
即二面角的大小為.

20. 某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，使用按男女學(xué)生人數(shù)比例分配的分層抽樣方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）已知樣本中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；
（2）試估計測評成績的第三四分位數(shù)；
（3）已知樣本中男生與女生的比例是3：1，男生樣本的均值為69，方差為180，女生樣本的均值為73，方差為200，求總樣本的方差.
【答案】（1）20人 （2）78.75
（3）188
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可計算超過50分的人數(shù)，結(jié)合題意可估計總體；
（2）直接利用頻率分布直方圖計算75%分位數(shù)即可；
（3）根據(jù)分層抽樣的方差公式計算即可.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在的頻率為，
在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為（人），
又在樣本中分?jǐn)?shù)在在的學(xué)生有5人，
所以樣本中低于40分的人數(shù)有人，
故總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為人；
【小問2詳解】
測試成績從低到高排序，樣本中分?jǐn)?shù)在的頻率為，
樣本中分?jǐn)?shù)在的頻率為，則75%分位數(shù)在之間，
所以估計測評成績的75%分位數(shù)為；
【小問3詳解】
由題意可知總樣本的均值為：，
所以總樣本的方差為.
21. 已知圓：，點.
（1）若，求以為圓心且與圓相切的圓的方程；
（2）若過點的兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點、，，求的值.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）由題意，可設(shè)圓的方程為，判斷出點在圓外，則圓與圓外切或內(nèi)切，分類討論兩圓內(nèi)切與外切兩種情況，列方程求解，從而可得圓的方程；
（2）先排除過點與軸垂直的情況，從而設(shè)過點的直線方程為，再根據(jù)圓的弦長公式建立方程并化簡可得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及，從而可得的方程，解方程即可得解.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，設(shè)圓的方程為，
因為，所以點在圓外，
所以圓與圓外切或內(nèi)切，又，圓的半徑為，
當(dāng)兩圓外切時：，可得；
當(dāng)兩圓內(nèi)切時：，可得；
所以以為圓心且與圓相切的圓的方程為或.
【小問2詳解】
若過點的直線與軸垂直時，直線方程為，
圓心到直線的距離為，直線與圓相離，不滿意題意；
設(shè)過點的直線方程為，即，
由題意得，，
化簡得，設(shè)直線、的斜率分別為，
則，且，
對過點的直線，令，得，
，
，解得，
所以.
【點睛】方法點睛：解決直線與圓的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、圓的條件；
（2）強(qiáng)化利用幾何法求解圓的弦長，代入公式化簡得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率等問題．
22. 已知直線，圓.
（1）證明：直線l與圓C相交；
（2）設(shè)l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當(dāng)m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）點Q恒在直線上，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）求出直線過定點，得到在圓內(nèi)部，故證明直線l與圓C相交；（2）設(shè)出點，利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓的方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過的定點，得到，從而得到點Q恒在直線上.
【小問1詳解】
證明：直線過定點，代入得：，故在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；
【小問2詳解】
圓的圓心為，設(shè)點，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點M的軌跡方程為：
【小問3詳解】
設(shè)點，由題意得：Q、A、B、C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項得：，即為直線的方程，因為直線過定點，所以，解得：，所以當(dāng)m變化時，點Q恒在直線上.
【點睛】本題的第三問是稍有難度的，處理方法是根據(jù)四點共圓，直徑的端點坐標(biāo)，求出此圓的方程，與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程，是處理此類問題的關(guān)鍵.



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