第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）
1. 集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 《九章算術(shù)》是我國算術(shù)名著，其中有這樣的一個(gè)問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？”意思是說：“現(xiàn)有扇形田，弧長30步，直徑16步，問面積是多少？”在此問題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是（ ）
A B. C. D. 120
4. 已知函數(shù)，則函數(shù)減區(qū)間是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函數(shù)的圖象大致是（ ）
A B. C. D.
6. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
7. 已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（ ）
A. 21B. 25C. 29D. 33
8. 已知，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. ，
10. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 存在，使得是偶函數(shù)B.
C. 為奇數(shù)D. 最大值為7
11. 已知函數(shù)滿足對任意的都有，，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且對任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是______.
13. （1）______.
（2）若，且，，則______.
14. 對于給定的區(qū)間，如果存在一個(gè)正的常數(shù)，使得都有，且對恒成立，那么稱函數(shù)為上的“成功函數(shù)”.已知函數(shù)，若函數(shù)是上的“4成功函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)，且.
（1）求的值；
（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值.
16. 已知函數(shù) .
（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；
（2）設(shè)是銳角，且，求 的值.
17. 某醫(yī)院發(fā)熱門診改造，如圖，原發(fā)熱門診是區(qū)域，可利用部分為扇形區(qū)域，，米，米，區(qū)域?yàn)槿切?，區(qū)域?yàn)橐詾榘霃降纳刃?，?
（1）若需在區(qū)域外輪廓設(shè)置隔離帶，求隔離帶的總長度;
（2）在區(qū)域中，設(shè)置矩形區(qū)域作為便民門診，求便民門診面積最大值.
18. 已知函數(shù)，.
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）若存在兩不相等的實(shí)數(shù)a，b，使，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19. 復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受.形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中稱為實(shí)部，稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位，.當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為純虛數(shù).其中，叫做復(fù)數(shù)的模.設(shè)，，，，，，如圖，點(diǎn)，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)，反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng).一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即，其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作.叫做復(fù)數(shù)的三角形式.
（1）設(shè)復(fù)數(shù)，，求、的三角形式；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，求；
（3）在中，已知、、為三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)邊.借助平面直角坐標(biāo)系及閱讀材料中所給復(fù)數(shù)相關(guān)內(nèi)容，證明：
①；
②，，.
注意：使用復(fù)數(shù)以外的方法證明不給分.
哈師大附中2023級高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷
第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）
1. 集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合中元素范圍，再求交集即可.
【詳解】，，
則.
故選：C.
2. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得的范圍，依據(jù)小范圍推出大范圍的原則判定充分必要條件.
【詳解】由，解得或，
故由能夠推出；由不能夠推出，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選：A．
3. 《九章算術(shù)》是我國算術(shù)名著，其中有這樣的一個(gè)問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？”意思是說：“現(xiàn)有扇形田，弧長30步，直徑16步，問面積是多少？”在此問題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是（ ）
A. B. C. D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)扇形面積公式得到面積為120步，設(shè)出扇形圓心角，根據(jù)求出扇形圓心角.
【詳解】因?yàn)橹睆?6步，故半徑為步，
（平方步），
設(shè)扇形的圓心角為，則，
即．
故選：A
4. 已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則來解答.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞減，
故函數(shù)的減區(qū)間即為函數(shù)的增區(qū)間，
所以，解得，
即函數(shù)的減區(qū)間是.
故選：D.
5. 函數(shù)的圖象大致是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求函數(shù)定義域得，再根據(jù)定義域分，，三種情況分別討論即可得答案.
【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋海?br>當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故排除CD選項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)，故排除B選項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，該函數(shù)圖象可以看成將函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位得到.
故選：A.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．
(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.
6. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及中間值法即可比較大小.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>所以．
故選：A
7. 已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（ ）
A. 21B. 25C. 29D. 33
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】∵，等式恒成立，
∴，
由于，所以
∵，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號．
∴，∴，故的最小值為21．
故選：A
8. 已知，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得函數(shù)的周期，求出，再利用圖像的平移變換規(guī)律寫出函數(shù)平移后的解析式，再利用函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，列出等式即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，
要使該圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，，所以，，
又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先根據(jù)正切函數(shù)圖象的特征求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而求出，然后根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換得到平移后的函數(shù)圖象的解析式，最后利用正切函數(shù)圖象的對稱中心建立方程求解即可，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】先通過最高點(diǎn)和周期求出，再代入點(diǎn)求出，則函數(shù)的解析可求出，然后逐一計(jì)算判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A，由已知，
得，A正確，
對于C，所以，
又，且，解得，C錯(cuò)誤，
對于B，所以，
所以 ，B錯(cuò)誤
對于D，
，D正確.
故選：AD.
10. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 存在，使得是偶函數(shù)B.
C. 為奇數(shù)D. 最大值為7
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A：通過求出來判斷；對于B：通過為的對稱軸來判斷；對于C：通過和分別求出，進(jìn)而可得；對于D：將和代入函數(shù)，確定在的單調(diào)性即可判斷.
【詳解】對于A：若是偶函數(shù)，則，得，又，所以無解，A錯(cuò)誤；
對于B：因?yàn)?，所以為的對稱軸，所以，B正確；
對于C： 因?yàn)?，可得，解得?br>又恒成立，即，可得，解得，
所以，得，C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上不單調(diào)，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 已知函數(shù)滿足對任意的都有，，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且對任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A選項(xiàng)：根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即可判斷；
對于B選項(xiàng)：由A選項(xiàng)可知函數(shù)為奇函數(shù)，可推得，即可判斷圖象關(guān)于直線對稱；
對于C選項(xiàng)：由可推出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性可推得，，即可判斷C；
對于D選項(xiàng)： 由可得，推出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求得，，即可得.
【詳解】A選項(xiàng)：由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A不正確.
B選項(xiàng)：由函數(shù)為奇函數(shù)可得，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確.
C選項(xiàng)：由函數(shù)滿足對任意的都有，
可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，由得，
故，則，
，
所以，故C正確.
D選項(xiàng)：由對任意，，都有，
即對任意的，，都有，
可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?br>，且，所以，即,故D正確，
故選：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于此類關(guān)于函數(shù)圖象的對稱問題，要理解并能應(yīng)用以下常見結(jié)論：
（1）對于函數(shù)，若其圖象關(guān)于直線對稱（當(dāng)時(shí)，偶函數(shù)），則①；②；③.
（2）對于函數(shù)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱（當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)），則①；②；③.
（3）對于函數(shù)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則①；②；③.
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】求得平移后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)對稱性求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最小值.
【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后，
得到，其圖像關(guān)于軸對稱，
所以，
由于，所以的最小值為.
故答案為：
13. （1）______.
（2）若，且，，則______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）通分，利用倍角公式以及利用展開化簡計(jì)算即可；
（2）先通過角的范圍求出，，再利用展開計(jì)算即可.
【詳解】（1）
;
（2）因?yàn)?，所以?br>又，所以，則，
因?yàn)?，，所以?br>又，所以，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，
所以
，
所以.
14. 對于給定的區(qū)間，如果存在一個(gè)正的常數(shù)，使得都有，且對恒成立，那么稱函數(shù)為上的“成功函數(shù)”.已知函數(shù)，若函數(shù)是上的“4成功函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】方法一：先分析出為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，分，與三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，得到實(shí)數(shù)的取值范圍；
方法二：先得到在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到，變形后得到在上恒成立，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.
【詳解】方法一：設(shè)，則定義域?yàn)镽，
且，故為偶函數(shù)，
所以為偶函數(shù)，
定義域?yàn)镽，
且
故為奇函數(shù)，
且在上單調(diào)遞增，
故在R上單調(diào)遞增，
若，則畫出的圖象如下：
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，可知：在單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以有在上恒成立，
滿足4成功函數(shù)，
若，畫出的圖象如下：
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，可知：在單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以只需任取，使得，
由對稱性可知，存在，使得，且，
故滿足，故滿足在上為4成功函數(shù)，
若時(shí)，畫出的圖象如下：
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，可知：在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
故只需滿足任取，使得，
由對稱性可知：存在，使得，
所以要滿足，結(jié)合，解得：，
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
方法二：定義域?yàn)镽，
且
故為奇函數(shù)，
由于在上單調(diào)遞增，
故在R上單調(diào)遞增，
由題意得，即，
故，即在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
由于，故，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，，故，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，先考慮函數(shù)的定義域，再拆分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，利用同增異減來判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；
復(fù)合函數(shù)的奇偶性，先考慮函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再拆分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，利用“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”進(jìn)行判斷，即若內(nèi)層函數(shù)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù)，若內(nèi)層函數(shù)為奇函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的奇偶性取決于外層函數(shù)的奇偶性，若外層函數(shù)為奇函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為奇函數(shù)，若外層函數(shù)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù).
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)，且.
（1）求的值；
（2）若點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)給定條件可得，再利用誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算作答.
(2)由給定條件求出，再利用和角公式、倍角公式計(jì)算作答.
【小問1詳解】
依題意，，所以.
【小問2詳解】
因點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，而點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)，即有，
于是得，，
，，
所以.
16. 已知函數(shù) .
（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；
（2）設(shè)是銳角，且，求 的值.
【答案】（1），對稱中心為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合正弦二倍角公式、余弦型函數(shù)的對稱性和周期進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)特殊角的正弦和余弦值進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
，
所以函數(shù)的最小正周期為，
令，
所以函數(shù)的對稱中心為；
【小問2詳解】
因?yàn)槭卿J角，所以，
所以由，
.
17. 某醫(yī)院發(fā)熱門診改造，如圖，原發(fā)熱門診是區(qū)域，可利用部分為扇形區(qū)域，，米，米，區(qū)域?yàn)槿切?，區(qū)域?yàn)橐詾榘霃降纳刃危?
（1）若需在區(qū)域外輪廓設(shè)置隔離帶，求隔離帶的總長度;
（2）在區(qū)域中，設(shè)置矩形區(qū)域作為便民門診，求便民門診面積最大值.
【答案】（1）（米）
（2）（平方米）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知求得，再利用弧長公式求出弧的長即可求解；
（2）連接，設(shè)，結(jié)合已知條件分別求出的值，表示出矩形的面積，化簡后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，?br>所以，
則，
所以弧的長為，
所以隔離帶的總長度為（米）.
【小問2詳解】
連接，如圖:
設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以，
所以
，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)即時(shí)取得最大值.
所以便民門診面積最大值為（平方米）.
18. 已知函數(shù)，.
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）若存在兩不相等的實(shí)數(shù)a，b，使，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得函數(shù)定義域，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷和證明；
（2）根據(jù)得到關(guān)系；再根據(jù)不等式有界，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
，解得，
的定義域?yàn)?，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.
又，
故為定義域內(nèi)的奇函數(shù).
【小問2詳解】
函數(shù)都是上的減函數(shù)，
是定義域內(nèi)減函數(shù).
，且為定義在的奇函數(shù)，
且，
原問題等價(jià)于不等式在有解，
而，
令，則，
令，可知，則，
構(gòu)造函數(shù)
根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由，可得，所以，
所以在上有解，
注意到當(dāng)時(shí)，，因此在有解.
取，則，從而.
因此在上有解.
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即
【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中第二問中，處理不等式有解問題，往往要使用分離參數(shù)的手段，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的問題；本題中多次使用對勾函數(shù)的單調(diào)性，并進(jìn)行了多次換元，對學(xué)生處理問題的能力提出了較高的要求，屬綜合中檔題.
19. 復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受.形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中稱為實(shí)部，稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位，.當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為純虛數(shù).其中，叫做復(fù)數(shù)的模.設(shè)，，，，，，如圖，點(diǎn)，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)，反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng).一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即，其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作.叫做復(fù)數(shù)的三角形式.
（1）設(shè)復(fù)數(shù)，，求、的三角形式；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，求；
（3）在中，已知、、為三個(gè)內(nèi)角的對應(yīng)邊.借助平面直角坐標(biāo)系及閱讀材料中所給復(fù)數(shù)相關(guān)內(nèi)容，證明：
①；
②，，.
注意：使用復(fù)數(shù)以外的方法證明不給分.
【答案】（1），
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）直接利用復(fù)數(shù)的乘除法計(jì)算即可；
（2）設(shè)，的模為，的模為，，通過題意可得，發(fā)現(xiàn)，從而無意義，再根據(jù)角的范圍求解即可；
（3）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，利用復(fù)數(shù)的向量表示，以及復(fù)數(shù)的定義列式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
,
；
【小問2詳解】
設(shè)，的模為，的模為，，
對于有，，
對于有，，
所以，
所以，
，
所以無意義，即的角的終邊在軸上，
又，
所以，
即
【小問3詳解】
如圖建立平面直角坐標(biāo)系，在復(fù)平面內(nèi)，過原點(diǎn)作的平行線，過作的平行線，交于點(diǎn)，則，
所以，
即，
即
根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

相關(guān)試卷

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析），共11頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析），共11頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)PDF版含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)PDF版含答案，文件包含黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)答案pdf、黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共12頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期第二次（線上）考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期第二次（線上）考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析
2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含解析
2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題含解析
2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)含答案練習(xí)題

2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)含答案練習(xí)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
開學(xué)考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部