?第五講 電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量
? 知識(shí)梳理
考點(diǎn)一、伏安法測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻
1．實(shí)驗(yàn)原理
閉合電路的歐姆定律。
2．實(shí)驗(yàn)器材
電池、電壓表、電流表、滑動(dòng)變阻器、開(kāi)關(guān)、導(dǎo)線、坐標(biāo)紙和刻度尺。
3．實(shí)驗(yàn)步驟
(1)電流表用0.6 A的量程，電壓表用3 V的量程，按圖連接好電路。

(2)把滑動(dòng)變阻器的滑片移到使阻值最大的一端。
(3)閉合開(kāi)關(guān)，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器，使電流表有明顯示數(shù)并記錄一組數(shù)據(jù)(I1，U1)。用同樣的方法再測(cè)量幾組I、U值，填入表格中。
(4)斷開(kāi)開(kāi)關(guān)，拆除電路，整理好器材。
4．?dāng)?shù)據(jù)處理
(1)列方程求解：由U＝E－Ir得，解得E、r。
(2)用作圖法處理數(shù)據(jù)，如圖所示。

①圖線與縱軸交點(diǎn)為E。
②圖線與橫軸交點(diǎn)為I短＝。
③圖線的斜率表示r＝||。
5．注意事項(xiàng)
(1)為了使路端電壓變化明顯，可使用內(nèi)阻較大的舊電池。
(2)電流不要過(guò)大，應(yīng)小于0.5 A，讀數(shù)要快。
(3)要測(cè)出不少于6組的(I，U)數(shù)據(jù)，變化范圍要大些。
(4)若U－I圖線縱軸刻度不從零開(kāi)始，則圖線和橫軸的交點(diǎn)不再是短路電流，內(nèi)阻應(yīng)根據(jù)r＝||確定。
(5)干電池內(nèi)阻較小時(shí)，U的變化較小，此時(shí)，坐標(biāo)圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)將呈現(xiàn)如圖甲所示的狀況，使下部大面積空間得不到利用。為此，可使縱坐標(biāo)不從零開(kāi)始而是根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)從某一恰當(dāng)值開(kāi)始(橫坐標(biāo)I必須從零開(kāi)始)，如圖乙所示，并且把縱坐標(biāo)的比例放大，可使結(jié)果的誤差減小。此時(shí)圖線與橫軸交點(diǎn)不表示短路電流，而圖線與縱軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)仍為電動(dòng)勢(shì)。要在直線上任取兩個(gè)相距較遠(yuǎn)的點(diǎn)，用r＝||，計(jì)算出電池的內(nèi)阻r。

6．誤差來(lái)源
(1)偶然誤差：用圖像法求E和r時(shí)作圖不準(zhǔn)確。
(2)系統(tǒng)誤差：電壓表分流。
(3)本實(shí)驗(yàn)中測(cè)量結(jié)果是：E測(cè)＜E真，r測(cè)＜r真。
例1、(2020·浙江7月選考·18)某同學(xué)分別用圖甲和圖乙的電路測(cè)量同一節(jié)干電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻．
　
(1)在方框中畫(huà)出圖乙的電路圖；




(2)某次測(cè)量時(shí)電流表和電壓表的示數(shù)如圖丙所示，則電流I＝_______ A，電壓U＝_______ V；

(3)實(shí)驗(yàn)得到如圖丁所示的兩條直線，圖中直線Ⅰ對(duì)應(yīng)電路是圖________(選填“甲”或“乙”)；

(4)該電池的電動(dòng)勢(shì)E＝________ V(保留三位有效數(shù)字)，內(nèi)阻r＝________ Ω(保留兩位有效數(shù)字)．
【答案】(1)見(jiàn)解析圖　(2)0.40(0.39～0.41均可)　1.30(1.29～1.31均可)　(3)乙　(4)1.52(1.51～1.54均可)　0.53(0.52～0.54均可)
【解析】(1)如圖所示

(2)測(cè)電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻所用電流表量程為0～0.6 A，電壓表量程為0～3.0 V，則兩表示數(shù)分別為0.40 A(0.39 A～0.41 A均可)、1.30 V(1.29 V～1.31 V均可)．
(3)由E＝U＋I(xiàn)r，得U＝E－Ir，即Ⅰ、Ⅱ兩圖線的斜率絕對(duì)值表示電源內(nèi)阻，且rⅡ>rⅠ.
題圖甲中由于電流表的分壓作用，所測(cè)電阻為電源內(nèi)阻與電流表電阻的和，r甲測(cè)>r；題圖乙中由于電壓表的分流作用，所測(cè)電阻為電源內(nèi)阻與電壓表電阻的并聯(lián)值，r乙測(cè)7.5 Ω
因此電阻箱接入電路的電阻值選15.0 Ω.
(3)由閉合回路的歐姆定律可得E＝U＋(R＋r)
化簡(jiǎn)可得＝·R＋＋r
(5)由上面公式可得＝k＝，
＋r＝b＝＋
由－R圖像計(jì)算可得k≈0.034 V－1·Ω
延長(zhǎng)圖線，得到圖線與縱軸的交點(diǎn)為0.85 V－1，則有0.85 V－1＝＋＋(V－1)
代入可得E≈1.55 V，r≈1.0 Ω.
(6)如果電壓表為理想電壓表，則有＝＋＋R
則此時(shí)E′＝
因此誤差為×100%＝5%.
l 課堂隨練
訓(xùn)練1、某同學(xué)要測(cè)量一節(jié)干電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，實(shí)驗(yàn)器材僅有一個(gè)電壓表(內(nèi)阻很大)、一個(gè)電阻箱、一個(gè)開(kāi)關(guān)和導(dǎo)線若干，該同學(xué)按如圖甲所示的電路進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下表所示。

實(shí)驗(yàn)次數(shù)
1
2
3
4
5
R/Ω
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
U/V
1.00
1.19
1.27
1.31
1.35
/A
0.50
0.30
0.21
0.16
0.13
(1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，若利用圖像確定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，則應(yīng)作________(填選項(xiàng)前的字母)。
A．U-圖像　　　 B．R-U圖像
C．R-圖像 D． -U圖像
(2)根據(jù)(1)，利用測(cè)得的數(shù)據(jù)，在圖乙的坐標(biāo)紙上畫(huà)出適當(dāng)?shù)膱D像。

(3)由(2)中作出的圖像可知，該電池的電動(dòng)勢(shì)E＝________ V，內(nèi)阻r＝________ Ω。
【答案】(1)A　(2)見(jiàn)解析圖　(3)1.47　0.94
【解析】(1)由閉合電路歐姆定律可知E＝U＋r，變形得U＝E－r，則應(yīng)作U-圖像，可得到一條傾斜的直線，故A正確。
(2)描點(diǎn)連線時(shí)，應(yīng)讓盡可能多的點(diǎn)落在直線上，如圖所示。

(3)由閉合電路歐姆定律可知，圖像的縱截距表示電動(dòng)勢(shì)，故E＝1.47 V，圖像斜率的絕對(duì)值表示內(nèi)阻，故r＝0.94 Ω。
? 同步訓(xùn)練
1、某中學(xué)生課外科技活動(dòng)小組利用銅片、鋅片和家鄉(xiāng)盛產(chǎn)的橙子制作了橙子電池，電動(dòng)勢(shì)不足1 V，內(nèi)阻上千歐。
(1)甲同學(xué)用如圖a所示的實(shí)驗(yàn)電路測(cè)量這種電池的電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r。實(shí)驗(yàn)室提供備用的器材如下：

A．電流表A1：內(nèi)阻為0.5 Ω，量程為0～0.6 A
B．電流表A2：內(nèi)阻為100 Ω，量程為0～300 μA
C．電阻箱R1(0～100 Ω)
D．電阻箱R2(0～9999 Ω)
E．開(kāi)關(guān)一個(gè)，導(dǎo)線若干
實(shí)驗(yàn)中，電流表應(yīng)選________，電阻箱應(yīng)選________。(填寫(xiě)所給器材的序號(hào))
(2)甲同學(xué)正確連接電路后，調(diào)節(jié)電阻箱R的阻值，得到的測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算出電阻箱R兩端的電壓，作出的U-I圖像如圖b所示，則從圖像中得出該橙子電池的電動(dòng)勢(shì)為E＝________ V，內(nèi)阻為r＝________ kΩ。(均保留兩位有效數(shù)字)。
R/kΩ
9
8
7
6
5
4
3
I/μA
92
102
115
131
152
180
220

(3)乙同學(xué)將四個(gè)這樣的橙子電池串聯(lián)起來(lái)給“2.5 V,0.5 A”的小燈泡供電，燈泡仍不發(fā)光，檢查電路無(wú)故障，分析燈泡不亮的原因是：________________________________________________________________________________。
【答案】(1)B　D　(2)0.95　1.2
(3)橙子電池的內(nèi)阻太大，回路電流太小，路端電壓太小，燈泡實(shí)際功率太小
【解析】(1)橙子電池的電動(dòng)勢(shì)很小、內(nèi)阻很大，為使電表有明顯示數(shù)，電流表應(yīng)選擇B，電阻箱應(yīng)選擇D。
(2)根據(jù)圖a所示電路圖，由閉合電路的歐姆定律可知E＝I(R＋RA2＋r)＝IR＋I(xiàn)(RA2＋r)＝U＋I(xiàn)(RA2＋r)，整理得：U＝E－I(RA2＋r)，由圖b所示圖像可知，橙子電池電動(dòng)勢(shì)E＝0.950 V，圖像斜率的絕對(duì)值k＝RA2＋r＝ Ω，得橙子電池的內(nèi)阻r＝1.2 kΩ。
(3)橙子電池的內(nèi)阻太大，回路中電流太小，路端電壓太小，燈泡實(shí)際功率太小，燈泡不發(fā)光。
2、在測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)室提供了如下器材和參考電路：
電壓表V1(量程3 V，內(nèi)阻約6 kΩ)
電壓表V2(量程1 V，內(nèi)阻約6 kΩ)
電流表A1(量程0.6 A，內(nèi)阻約0.1 Ω)
電流表A2(量程2 mA，內(nèi)阻約1 Ω)
滑動(dòng)變阻器R1(最大阻值3 kΩ)
滑動(dòng)變阻器R2(最大阻值10 Ω)
定值電阻R3(阻值1 Ω)
開(kāi)關(guān)，導(dǎo)線若干

(1)甲同學(xué)想要測(cè)量馬鈴薯電池的電動(dòng)勢(shì)(約1.0 V)和內(nèi)阻(約500 Ω)。選用合適器材后，應(yīng)選擇最優(yōu)電路_________(填寫(xiě)參考電路對(duì)應(yīng)的字母)進(jìn)行測(cè)量。
(2)乙同學(xué)想要測(cè)量一節(jié)新干電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。選用合適器材后，應(yīng)選擇最優(yōu)電路___________(填寫(xiě)參考電路對(duì)應(yīng)的字母)進(jìn)行測(cè)量。
(3)乙同學(xué)將測(cè)得的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)如圖。請(qǐng)畫(huà)出U-I圖像，并求出電動(dòng)勢(shì)E為_(kāi)__________ V，內(nèi)阻r為_(kāi)_______ Ω(小數(shù)點(diǎn)后保留2位)

【答案】(1)A　(2)C　(3)見(jiàn)解析圖　1.48　0.10
【解析】(1)馬鈴薯電池的電動(dòng)勢(shì)較小，B圖中電壓表分流，所以電流表測(cè)量的干路電流偏小，則電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值偏小，所以不宜選用；選擇A圖測(cè)量的干路電流I準(zhǔn)確，根據(jù)閉合電路歐姆定律E＝U＋I(xiàn)r可知當(dāng)I＝0時(shí)，斷路電壓即為電動(dòng)勢(shì)，所以A圖能準(zhǔn)確測(cè)量馬鈴薯的電動(dòng)勢(shì)，內(nèi)阻測(cè)量偏大，為電流表和馬鈴薯內(nèi)阻之和，但因?yàn)轳R鈴薯內(nèi)阻遠(yuǎn)大于電流表內(nèi)阻，所以誤差較小，故選A圖。
(2)新的干電池內(nèi)阻較小，所以需要給電池串聯(lián)一個(gè)定值電阻R3，方便測(cè)量，而D圖中測(cè)量的內(nèi)阻為電流表內(nèi)阻、電源內(nèi)阻和定值電阻R3之和，因?yàn)楦呻姵貎?nèi)阻較小，所以?xún)?nèi)阻的測(cè)量會(huì)存在較大誤差，所以選擇C圖。
(3)做出U-I圖像如圖

根據(jù)閉合電路歐姆定律E＝U＋I(xiàn)r變形得U＝E－Ir，則圖像縱截距即為電源電動(dòng)勢(shì)E＝1.48 V。根據(jù)圖像斜率可知r＝R3＋r0＝Ω＝1.10 Ω，則電源內(nèi)阻為r0＝r－R3＝1.10 Ω－1 Ω＝0.10 Ω。
3、某興趣小組為了測(cè)量電動(dòng)車(chē)上電池的電動(dòng)勢(shì)E(約為36 V)和內(nèi)阻r(約為10 Ω)，需要將一個(gè)量程為15 V的電壓表(內(nèi)阻Rg約為10 kΩ)改裝成量程為45 V的電壓表，然后再測(cè)量電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻．以下是該實(shí)驗(yàn)的操作過(guò)程．


(1)由于不知道該電壓表內(nèi)阻的確切值，該小組將一個(gè)最大阻值為50 kΩ的電位器RP(可視為可變電阻)與電壓表串聯(lián)后，利用如圖甲所示的電路進(jìn)行改裝，請(qǐng)完成③的填空．
①將總阻值較小的滑動(dòng)變阻器的滑片P移至最右端，同時(shí)將電位器的阻值調(diào)為零；
②閉合開(kāi)關(guān)S，將滑動(dòng)變阻器的滑片P調(diào)到適當(dāng)位置，使電壓表的示數(shù)為9 V；
③保持滑動(dòng)變阻器滑片P的位置不變，調(diào)節(jié)電位器，使電壓表的示數(shù)為_(kāi)_______ V；
④不再改變電位器的阻值，保持電壓表和電位器串聯(lián)，撤去其他電路，即可得到量程為45 V的電壓表．
(2)該小組利用一個(gè)電阻箱R(阻值范圍0～999.9 Ω)和改裝后的電壓表(電壓表的表盤(pán)沒(méi)有改變，讀數(shù)記為U)連接成如圖乙所示的測(cè)量電路來(lái)測(cè)量該電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻．該小組首先得出了與的關(guān)系式為＝________(用E、r和U表示)，然后根據(jù)測(cè)得的電阻值R和電壓表的讀數(shù)U作出－圖像如圖丙所示，則該電池的電動(dòng)勢(shì)E＝______ V、內(nèi)阻r＝________ Ω；
(3)不考慮電壓表改裝時(shí)的誤差．利用圖乙所示電路測(cè)得的電動(dòng)勢(shì)E測(cè)和內(nèi)阻r測(cè)與真實(shí)值E真和r真相比，E測(cè)________E真，r測(cè)________r真(填“大于”“等于”或“小于”)．
【答案】(1)3　(2)·－　36　8　(3)小于　小于
【解析】(1)由于電壓表的內(nèi)阻不確定，所以不能采用教材提供的方法進(jìn)行改裝．但由于電壓表的量程為15 V，所以要想將電壓表改裝成量程為45 V的電壓表，電位器承擔(dān)的電壓應(yīng)該是電壓表電壓的兩倍，由于二者之間是串聯(lián)關(guān)系，所以電位器的阻值應(yīng)調(diào)節(jié)為電壓表內(nèi)阻的兩倍，因此，當(dāng)電壓表的示數(shù)為9 V時(shí)，只需調(diào)節(jié)電位器，使電壓表的示數(shù)變?yōu)? V即可；
(2)由閉合電路歐姆定律可知3U＝E－·r，整理可得＝·－
故由圖像可得＝，＝
解得E＝36 V，r＝8 Ω
(3)設(shè)電壓表和電位器的總阻值為R′，則由閉合電路歐姆定律可得3U＝E真－(＋)·r真，整理得＝·－(＋)
而＝·－，故有E測(cè)＜E真，r測(cè)＜r真．
4、利用如圖(a)所示電路，可以測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，所用的實(shí)驗(yàn)器材有：
待測(cè)電源，電阻箱R(最大阻值999.9 Ω)，電阻R0(阻值為3.0 Ω)，電阻R1(阻值為3.0 Ω)，電流表(量程為200 mA，內(nèi)阻為RA＝6.0 Ω)，開(kāi)關(guān)S.



實(shí)驗(yàn)步驟如下：
①將電阻箱阻值調(diào)到最大，閉合開(kāi)關(guān)S；
②多次調(diào)節(jié)電阻箱，記下電流表的示數(shù)I和電阻箱相應(yīng)的阻值R；
③以為縱坐標(biāo)，R為橫坐標(biāo)，作－R圖線(用直線擬合)；
④求出直線的斜率k和在縱軸上的截距b.
回答下列問(wèn)題：
(1)分別用E和r表示電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，則與R的關(guān)系式為_(kāi)_______________．
(2)實(shí)驗(yàn)得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，其中電阻R＝3.0 Ω時(shí)，電流表的示數(shù)如圖(b)所示，讀出數(shù)據(jù)，完成下表．答：①________，②________.
R/Ω
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
I/A
0.143
0.125
①
0.100
0.091
0.084
/
A－1
6.99
8.00
②
10.0
11.0
11.9

(3)在圖(c)的坐標(biāo)紙上描點(diǎn)并作圖，根據(jù)圖線求得斜率k＝_____ A－1·Ω－1，截距b＝_____ A－1.
(4)根據(jù)圖線求得電源電動(dòng)勢(shì)E＝________ V，內(nèi)阻r＝________ Ω.
【答案】(1)＝R＋　(2)0.110　9.09　(3)見(jiàn)解析圖　1.0(0.96～1.04均可)　6.0(5.9～6.1均可)　(4)3.0(2.7～3.3均可)　1.0(0.6～1.4均可)
【解析】(1)根據(jù)閉合電路歐姆定律有
E＝(＋I(xiàn))(R＋R0＋r)＋I(xiàn)RA，
代入數(shù)據(jù)，化簡(jiǎn)得＝R＋.
(2)電流表每小格表示4 mA，因此電流表讀數(shù)I＝0.110 A，≈9.09 A－1.
(3)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)，畫(huà)出一條直線，得出斜率k＝1.0 A－1·Ω－1，截距b＝6.0 A－1.

(4)斜率k＝，因此E＝3.0 V，縱截距b＝，因此 r＝1.0 Ω.


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