?第二講 拋體運動
? 知識梳理
一、平拋運動的規(guī)律
1.定義：將物體以一定的初速度沿水平方向拋出，且只在重力作用下的運動。
2.性質(zhì)：平拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線。
3.特點：(1)水平方向：勻速直線運動；
(2)豎直方向：自由落體運動。
4.基本規(guī)律
如圖，以拋出點O為坐標(biāo)原點，以初速度v0方向(水平方向)為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向．



二、斜拋運動
1.定義：將物體以初速度v0沿斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運動。
2.性質(zhì)：斜拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線。
3.特點：(1)水平方向：勻速直線運動
(2)豎直方向：豎直上拋或豎直下拋
4.基本規(guī)律(以斜向上拋為例，如圖所示)

(1)水平方向:
v0x＝v0cosθ，x＝v0t cos θ。
(2)豎直方向
v0y＝v0sinθ，y＝v0t sin θ－gt2。
? 知識訓(xùn)練
考點一、平拋運動
1.平拋運動物體的速度變化量
因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示．

2.兩個重要推論
(1)做平拋運動的物體在任意時刻(任意位置處)，有tan θ＝2tan α(如圖所示)
推導(dǎo)：

(2)做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過水平位移的中點，如圖所示，即xB＝.

推導(dǎo)：
例1、如圖，拋球游戲中，某人將小球水平拋向地面的小桶，結(jié)果球落在小桶的前方。不計空氣阻力，為了把小球拋進(jìn)小桶中，則原地再次水平拋球時，他可以(　　)

A．增大拋出點高度，同時增大初速度
B．減小拋出點高度，同時減小初速度
C．保持拋出點高度不變，增大初速度
D．保持初速度不變，增大拋出點高度
【答案】B
【解析】設(shè)小球做平拋運動的初速度為v0，拋出點離桶的高度為h，水平位移為x，則平拋運動的時間t＝ ，水平位移x＝v0t＝v0，由上式分析可知，要減小水平位移x，可保持拋出點高度h不變，減小初速度v0，或保持初速度v0大小不變，減小拋出點高度h，或減小拋出點高度，同時減小初速度，故B正確，A、C、D錯誤。
例2、一小球被水平拋出，做平拋運動。若從小球被拋出開始計時，則小球在運動過程中(　　)
A．加速度大小與時間成正比
B．速度大小與時間成正比
C．速度的增量大小與時間成正比
D．位移大小與時間的二次方成正比
【答案】C
【解析】小球做平拋運動，加速度為重力加速度，不隨時間改變，故A錯誤；設(shè)小球從拋出到某一位置經(jīng)過的時間為t，豎直分速度為：vy＝gt，水平分速度為v0，則速度為：vt＝，可知速度大小與時間不成正比，故B錯誤；平拋運動的加速度不變，則速度的增量為：Δv＝gt，與時間成正比，故C正確；時間t內(nèi)，小球的豎直位移為：y＝gt2，水平位移為：x＝v0t，所以小球的位移為：s＝＝ ，可知位移大小與時間的二次方不成正比，故D錯誤。
例3、將一個物體以10 m/s的速度從20 m的高度水平拋出(不計空氣阻力，取g＝10 m/s2)，下列說法正確的是(　　)
A．落地時間為2 s
B．落地時速度為20 m/s
C．落地時速度方向與地面夾角的正切值為
D．物體的位移為20 m
【答案】A
【解析】由h＝gt2得t＝＝2 s，故A正確；落地時豎直分速度vy＝gt＝20 m/s，落地速度為v＝ ＝10 m/s，故B錯誤；落地時速度方向與地面夾角的正切值tan θ＝＝2，故C錯誤；物體的水平位移x＝v0t＝20 m，位移為20 m，故D錯誤。
例4、如圖所示，兩個高度相同的斜面，傾角分別為30°和60°，小球A、B分別由斜面頂端以相同大小的水平速度v0拋出，若兩球均落在斜面上，不計空氣阻力，則A、B兩球平拋運動過程(　　)

A．飛行的時間之比為1∶3
B．水平位移大小之比為1∶9
C．豎直下落高度之比為1∶3
D．落至斜面時速度大小之比為1∶3
【答案】A
【解析】對于A球，tan 30°＝＝，解得tA＝，對于B球，tan 60°＝＝，解得tB＝，所以＝＝，由x＝v0t可知水平位移大小之比為1∶3，由y＝gt2，可知豎直下落高度之比為1∶9，故A正確，B、C錯誤；落在斜面上的豎直分速度vyA＝gtA＝2v0tan 30°，vyB＝gtB＝2v0tan 60°，vA2＝vyA2＋v02，vB2＝vyB2＋v02，則落至斜面時vA＝v0，vB＝v0，速度大小之比為∶，故D錯誤．
例5、(2021·廣西桂林、崇左市高三下聯(lián)合調(diào)研考試)如圖所示，傾斜角為θ的斜面AB，在A點的正上方高度為H的P點以水平初速度v0，拋出一個物體M，物體M恰好垂直落到斜面上，現(xiàn)在A點正上方2H的Q點水平拋出另一個物體N，這個物體N也能垂直落在斜面上，那么物體N的初速度為(　　)

A．2v0 B．v0
C．v0 D．v0
【答案】D
【解析】因M、N末速度方向相同，由平拋運動推論(末速度與水平方向夾角的正切值等于位移與水平方向夾角的正切值的2倍)可知，M、N落在斜面時的位移方向平行，由幾何關(guān)系可知，＝，＝；根據(jù)h＝gt2可得＝，則由初速度vx＝，可知＝，即v＝v0，故選D。
例6、如圖所示，B為豎直圓軌道的左端點，它和圓心O的連線與豎直方向的夾角為α.一小球在圓軌道左側(cè)的A點以速度v0平拋，恰好沿B點的切線方向進(jìn)入圓軌道．已知重力加速度為g，不計空氣阻力，則A、B之間的水平距離為(　　)

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由小球恰好沿B點的切線方向進(jìn)入圓軌道可知，小球在B點時的速度方向與水平方向的夾角為α.由tan α＝，x＝v0t，聯(lián)立解得A、B之間的水平距離為x＝，選項A正確．
例7、如圖所示，水平屋頂高H＝5 m，圍墻高h(yuǎn)＝3.2 m，圍墻到房子的水平距離L＝3 m，圍墻外空地寬x＝10 m，為使小球從屋頂水平飛出落在圍墻外的空地上，g取10 m/s2。求：

(1)小球離開屋頂時的速度v0的大小范圍；
(2)小球落在空地上的最小速度。
【答案】(1)5 m/s≤v0≤13 m/s (2)vmin＝5 m/s
【解析】(1)設(shè)小球恰好落到空地的右側(cè)邊緣時的水平初速度為v1，則小球的水平位移：
L＋x＝v1t1
小球的豎直位移：H＝g
解以上兩式得：v1＝(L＋x)＝13 m/s
設(shè)小球恰好越過圍墻的邊緣時的水平初速度為v2，則此過程中小球的水平位移：L＝v2t2
小球的豎直位移：H－h(huán)＝g
解以上兩式得：v2＝L ＝5 m/s
小球拋出時的速度大小范圍為5 m/s≤v0≤13 m/s
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地時的豎直分速度一定，當(dāng)小球恰好越過圍墻的邊緣落在空地上時，落地速度最小。豎直方向：＝2gH
又有：vmin＝
解得：vmin＝5 m/s
l 課堂隨練
訓(xùn)練1、(多選)如圖所示，x軸在水平地面上，y軸沿豎直方向．圖中畫出了從y軸上不同位置沿x軸正方向水平拋出的三個小球a、b和c的運動軌跡．小球a從(0，2L)處拋出，落在(2L，0)處；小球b、c從(0，L)處拋出，分別落在(2L，0)和(L，0)處．不計空氣阻力，下列說法正確的是(　　)

A．b和c運動時間相同
B．a(chǎn)的運動時間是b的兩倍
C．a(chǎn)和b加速度相同
D．b的初速度是c的兩倍
【答案】ACD
【解析】b、c拋出時的高度相同，小于a拋出時的高度，根據(jù)h＝gt2得t＝，知b、c的運動時間相同，a的運動時間是b的運動時間的倍，B錯誤，A正確；由于a和b都做平拋運動，豎直方向只受重力，故a和b加速度相同，C正確；b、c的運動時間相同，b的水平位移是c的水平位移的兩倍，則b的初速度是c的初速度的兩倍，D正確．
訓(xùn)練2、(2021·東北三省四市教研聯(lián)合體高三下3月高考模擬)(多選)如圖所示，兩小球a、b分別從斜面頂端和斜面中點沿水平方向拋出，均落在斜面底端。不計空氣阻力，關(guān)于兩小球在平拋過程中的判斷正確的是(　　)

A．小球a、b到達(dá)斜面底端時的速度方向相同
B．小球a、b在空中飛行時間之比為2∶1
C．小球a、b拋出時的初速度之比為1∶1
D．小球a、b離斜面的最大距離之比為2∶1
【答案】AD
【解析】設(shè)斜面傾角為θ，小球落在斜面底端時，有＝＝tan θ，可得＝＝2tan θ，根據(jù)平拋運動規(guī)律有vx＝v0，vy＝gt，則＝＝2tan θ，可知兩球末速度與水平方向的夾角的正切值相等，故小球a、b到達(dá)斜面底端時的速度方向相同，故A正確；由圖可知＝2，＝2，由h＝gt2，可得＝，由x＝v0t，可得＝，故B、C錯誤；將初速度和加速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向進(jìn)行正交分解，小球沿垂直斜面方向的速度減為0時，小球離斜面的距離最大，沿垂直斜面方向有a⊥＝g cos θ，v⊥＝v0sin θ，設(shè)小球沿垂直斜面方向運動的最大距離為l，則有2a⊥l＝，則l＝∝，可得小球a、b離斜面的最大距離之比為2∶1，故D正確。
訓(xùn)練3、橫截面為直角三角形的兩個相同斜面緊靠在一起，固定在水平面上，如圖所示。它們的豎直邊長都是底邊長的一半。現(xiàn)有三個小球從左邊斜面的頂點以不同的初速度向右平拋，最后落在斜面上，其落點分別是a、b、c。下列判斷正確的是(　　)

A．落在a點的小球落在斜面上的速度方向與斜面平行
B．三小球比較，落在c點的小球飛行時間最長
C．三小球比較，落在b點的小球飛行過程速度變化最快
D．無論小球拋出時初速度多大，落到斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直
【答案】D
【解析】設(shè)落在a點的小球落在斜面上的速度方向與水平方向夾角為θ，位移方向與水平方向夾角為α，根據(jù)平拋運動的推論可知，tan θ＝2tan α，即落在a點的小球落在斜面上的速度方向不可能與斜面平行，A錯誤；根據(jù)平拋運動規(guī)律可知，三小球飛行時間t＝，落在a點的小球豎直方向下落距離最大，所以落在a點的小球飛行時間最長，B錯誤；三小球都做平拋運動，速度變化快慢(加速度)均相同，C錯誤；通過A項的分析可知，落在a點的小球不可能與斜面垂直，對于落在b、c點的小球而言，落在斜面上時豎直方向分速度為gt，水平速度為v0，假設(shè)落到斜面上的瞬時速度能與斜面垂直，則＝tan α＝，對應(yīng)的豎直方向的位移為y＝gt2，水平方向的位移為x＝v0t＝t＝y(tǒng)，由題給條件及幾何關(guān)系可知這是不可能滿足的，因此D正確。
訓(xùn)練4、如圖，兩小球P、Q從同一高度分別以v1和v2的初速度水平拋出，都落在了傾角θ＝53°的斜面上的A點，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.則v1、v2大小之比為(　　)

A．2∶1 B．3∶2
C．9∶16 D．32∶9
【答案】D
【解析】兩小球拋出后都做平拋運動，兩球從同一高度拋出落到同一點，兩小球在豎直方向上的位移相等，小球在豎直方向上都做自由落體運動，由t＝可知，兩球的運動時間相等，對Q球，tan 53°＝＝＝，解得v2＝，球P垂直打在斜面上，則有v1＝vytan 53°＝gttan 53°＝，所以＝，A、B、C錯誤，D正確．
訓(xùn)練5、(多選)如圖所示為一半球形的坑，其中坑邊緣兩點M、N與圓心O等高且在同一豎直平面內(nèi)．現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)分別站在M、N兩點，同時將兩個小球以v1、v2的速度沿圖示方向水平拋出，發(fā)現(xiàn)兩球剛好落在坑中同一點Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空氣阻力．則下列說法中正確的是(　　)

A．兩球拋出的速率之比為1∶3
B．若僅增大v1，則兩球?qū)⒃诼湓诳颖谥跋嘧?br /> C．兩球的初速度無論怎樣變化，只要落在坑中的同一點，兩球拋出的速率之和不變
D．若僅從M點水平拋出小球，改變小球拋出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
【答案】AB
【解析】由于兩球拋出的高度相等，則運動時間相等，x1＝v1t，x2＝v2t，由幾何關(guān)系可知x2＝3x1，所以兩球拋出的速率之比為1∶3，故A正確；由2R＝(v1＋v2)t可知，若僅增大v1，時間減小，所以兩球?qū)⒃诼湓诳颖谥跋嘧?，故B正確；要使兩小球落在坑中的同一點，必須滿足v1與v2之和與時間的乘積等于半球形坑的直徑，即(v1＋v2)t＝2R，落點不同，豎直方向位移就不同，t也不同，所以兩球拋出的速度之和不是定值，故C錯誤；由平拋運動速度的反向延長線過水平位移的中點可知，若僅從M點水平拋出小球，改變小球拋出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D錯誤．
訓(xùn)練6、如圖所示為四分之一圓柱體OAB的豎直截面，半徑為R，在B點正上方的C點水平拋出一個小球，小球軌跡恰好在D點與圓柱體相切，OD與OB的夾角為60°，則C點到B點的距離為(　　)

A．R B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)小球平拋運動的初速度為v0，由題意知小球通過D點時的速度與圓柱體相切，則有＝tan 60°，即＝；小球平拋運動的水平位移：x＝Rsin 60°＝v0t，聯(lián)立解得：v02＝，vy2＝，設(shè)平拋運動的豎直位移為y，vy2＝2gy，解得：y＝，則CB＝y(tǒng)－R(1－cos 60°)＝，故D正確，A、B、C錯誤．
訓(xùn)練7、一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺如圖所示，水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網(wǎng)高度為h.發(fā)射機(jī)安裝于臺面左側(cè)邊緣的中點，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點距臺面高度為3h.不計空氣的作用，重力加速度大小為g.若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，則v的最大取值范圍是(　　)

A．< v

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