萬有引力與航天章末測試(建議用時：75分鐘)一、單項選擇題1、（2022·全國乙卷·T14）2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400 km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學們上了一堂精彩的科學課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們（　　）A．所受地球引力的大小近似為零B．所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零C．所受地球引力的大小與其隨飛船運動所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運動所需向心力的大小【答案】C【解析】ABC．航天員在空間站中所受萬有引力完全提供做圓周運動的向心力，飛船對其作用力等于零，故C正確，AB錯誤；D．根據(jù)萬有引力公式，可知在地球表面上所受引力的大小大于在飛船所受的萬有引力大小，因此地球表面引力大于其隨飛船運動所需向心力的大小，故D錯誤。故選C。2、（2021·全國甲卷·T18）2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為（　?。?/span>A．6×105m                         B．6×106m C．6×107m                         D．6×108m【答案】C【解析】忽略火星自轉(zhuǎn)則①可知，設與為1.8×105s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為，由萬引力提供向心力可知②設近火點到火星中心為③設遠火點到火星中心為④由開普勒第三定律可知⑤ 由以上分析可得故選C。3、近地衛(wèi)星繞地球的運動可視為勻速圓周運動，若其軌道半徑近似等于地球半徑R，運行周期為T，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則(　　)A．近地衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度大小近似為B．近地衛(wèi)星繞地球運動的線速度大小近似為 C．地球表面的重力加速度大小近似為D．地球的平均密度近似為【答案】D　【解析】由向心加速度公式可知，近地衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度大小an＝w2R＝2R＝，故A錯誤；近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得G＝解得近地衛(wèi)星繞地球運動的線速度大小v＝ ，故B錯誤；地球表面物體的重力等于萬有引力，所以有G＝mg地球表面的重力加速度大小為g＝，故C錯誤；近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得G＝mrω2＝mR2解得地球的質(zhì)量為M＝地球的平均密度近似為ρ＝＝＝，故D正確。4、2020年5月，我國航天局組織最后一次北斗衛(wèi)星發(fā)射后，北斗全球系統(tǒng)建設全面完成。其中北斗三號系統(tǒng)首創(chuàng)了由MEO衛(wèi)星(中圓地球軌道衛(wèi)星)、GEO衛(wèi)星(地球靜止軌道衛(wèi)星)和IGSO衛(wèi)星(傾斜地球同步軌道衛(wèi)星)三種不同軌道的衛(wèi)星組網(wǎng)。假設圖中A、B、C分別為GEO衛(wèi)星、IGSO衛(wèi)星、MEO衛(wèi)星，其中衛(wèi)星B、C的軌道共面，它們都繞地球做勻速圓周運動。已知衛(wèi)星C離地高度為h，地球自轉(zhuǎn)周期為T，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，則下列判斷正確的是(　　)A．衛(wèi)星C的線速度小于衛(wèi)星A的線速度B．衛(wèi)星B的角速度大于衛(wèi)星A的角速度C．衛(wèi)星C的周期為D．衛(wèi)星B離地高度為－R【答案】D　【解析】根據(jù)G＝m解得v＝，衛(wèi)星C的軌道半徑小于衛(wèi)星A的軌道半徑，則衛(wèi)星C的線速度大于衛(wèi)星A的線速度，A錯誤； 根據(jù)G＝mrω2解得ω＝，衛(wèi)星B的軌道半徑大于衛(wèi)星A的軌道半徑，則衛(wèi)星B的角速度小于衛(wèi)星A的角速度，B錯誤；由地面上的物體所受重力近似等于萬有引力，有G＝mg，對衛(wèi)星C，根據(jù)G＝m2(R＋h)，解得T＝，C錯誤；根據(jù)G＝m2(R＋h′)，解得h′＝－R，D正確。5、（2022·廣東肇慶市高三下學期三模）2021年12月9日，中國空間站“天宮課堂”第一課正式開講，這是時隔8年之后，中國航天員再次進行太空授課?？臻g站轉(zhuǎn)一圈的時間約90分鐘，保證太空授課信號通暢的功臣是中繼衛(wèi)星，中繼衛(wèi)星在地球同步靜止軌道運行，空間站、中繼衛(wèi)星繞地球的運動均可視為勻速圓周運動，下列說法正確的是（　?。?/span>A. 空間站的角速度小于中繼衛(wèi)星的角速度B. 空間站的加速度大于中繼衛(wèi)星的加速度C. 空間站的線速度小于中繼衛(wèi)星的線速度D. 中繼衛(wèi)星的線速度等于第一宇宙速度【答案】B【解析】A．中繼衛(wèi)星在地球同步靜止軌道運行，周期為24小時，空間站轉(zhuǎn)一圈約90分鐘，由公式知，空間站角速度大于中繼衛(wèi)星角速度，故A錯誤；B．由開普勒第三定律知，中繼衛(wèi)星軌道半徑大于空間站軌道半徑，由得知空間站的加速度大于中繼衛(wèi)星的加速度，故B正確；CD．由萬有引力定律提供向心力得可知空間站的線速度大于中繼衛(wèi)星的線速度，中繼衛(wèi)星的線速度小于第一宇宙速度，故CD錯誤。故選B。6、（2022·河北石家莊市高三下學期二模）1970年4月我國發(fā)射了首顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，目前依然在太空翱翔。其運行軌道為繞地球的橢圓，遠地點A距地球表面的高度為2129km，近地點B距地球表面的高度為429km；地球同步衛(wèi)星距地面的高度約為36000km。已知地球可看成半徑為6371km的勻質(zhì)球體，地球自轉(zhuǎn)周期為24h，引力常量，根據(jù)以上數(shù)據(jù)不能計算出（　?。?/span>A. 地球的質(zhì)量B. “東方紅一號”繞地球運動的周期C. “東方紅一號”通過B點時的速度大小D. “東方紅一號”經(jīng)過A點時的加速度大小【答案】C【解析】A．對同步衛(wèi)星可以計算地球質(zhì)量，故A不符合題意；B．根據(jù)題意可以計算“東方紅一號”繞地球運動的半長軸，根據(jù)同步衛(wèi)星周期及半徑，結(jié)合開普勒第三定律，可以計算“東方紅一號”繞地球運動的周期，故B不符合題意；C．“東方紅一號”通過B點時的速度大小無法計算，因為是橢圓軌道的近地點，故C符合題意；D．“東方紅一號”經(jīng)過A點時的加速度大小可以計算，根據(jù)萬有引力等于合外力，故D不符合題意；故選C。7、2022年左右我國將建成載人空間站，軌道高度距地面約400 km，在軌運營10年以上，它將成為中國空間科學和新技術(shù)研究實驗的重要基地。設該空間站繞地球做勻速圓周運動，其運動周期為T，軌道半徑為r，引力常量為G，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)A．地球的質(zhì)量為M＝B．空間站的線速度大小為v＝C．空間站的向心加速度為a＝RD．空間站的運行周期大于地球自轉(zhuǎn)周期【答案】A　【解析】由萬有引力提供空間站做圓周運動所需的向心力得G＝m2r，可得M＝，故A正確；由于在地表，g＝，空間站的向心加速度a＝＝＝r，可得v＝故B、C錯誤；因為空間站軌道半徑小于同步衛(wèi)星軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，空間站的運行周期小于地球自轉(zhuǎn)周期，故D錯誤。8、據(jù)報道，我國將于2020年發(fā)射火星探測器。假設圖示三個軌道是探測器繞火星飛行的軌道，其中軌道Ⅰ、Ⅲ均為圓形軌道，軌道Ⅱ為橢圓形軌道，三個軌道在同一平面內(nèi)，軌道Ⅱ與軌道Ⅰ相切于P點，與軌道Ⅲ相切于Q點，不計探測器在變軌過程中的質(zhì)量變化，則下列說法正確的是(　　)A．探測器在軌道Ⅱ的任何位置都具有相同速度B．探測器在軌道Ⅲ的任何位置都具有相同加速度C．不論在軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ運行，探測器在P點的動量都相同D．不論在軌道Ⅱ還是軌道Ⅲ運行，探測器在Q點的加速度都相同【答案】D　【解析】根據(jù)開普勒第二定律可知，探測器在軌道Ⅱ上運動時，在距離地球較近的點速度較大，較遠的點速度較小，選項A錯誤；探測器在軌道Ⅲ的任何位置都具有相同大小的加速度，但是方向不同，選項B錯誤；探測器從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ要在P點加速，則探測器在軌道Ⅰ上P點的動量小于在軌道Ⅱ上P點的動量，選項C錯誤；不論在軌道Ⅱ還是軌道Ⅲ運行，探測器在Q點時受到火星的萬有引力相同，則加速度相同，選項D正確。9、(2022·南京秦淮中學檢測)如圖，“食雙星”是指在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。在地球上通過望遠鏡觀察這種雙星，視線與雙星軌道共面。觀測發(fā)現(xiàn)每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知兩顆恒星A、B間距為d，引力常量為G，則可推算出雙星的總質(zhì)量為(　　)A．　　　　　　　　　 B．C．   D．【答案】B【解析】設A、B兩天體的軌道半徑分別為r1、r2，兩者做圓周運動的周期相同，設為T′，由于經(jīng)過時間T兩者在此連成一條直線，故T′＝2T，對兩天體，由萬有引力提供向心力可得G＝mAr1，G＝mBr2，其中d＝r1＋r2，聯(lián)立解得mA＋mB＝，故B正確。10、2020年7月23日，我國成功發(fā)射了“天問一號”火星探測器，將一次實現(xiàn)火星的“環(huán)繞、著陸、巡視”三個目標。假設探測器到達火星附近時，先在高度恰好等于火星半徑的軌道上環(huán)繞火星做勻速圓周運動，測得運動周期為T，之后通過變軌、減速落向火星。探測器與火星表面碰撞后，以速度v豎直向上反彈，經(jīng)過時間t再次落回火星表面。不考慮火星的自轉(zhuǎn)及火星表面大氣的影響，已知引力常量為G，則火星的質(zhì)量M和火星的半徑R分別為(　　)A．M＝，R＝B．M＝，R＝C．M＝，R＝D．M＝，R＝【答案】A　【解析】探測器與火星表面碰撞后，以速度v豎直向上反彈，經(jīng)過時間t再次落回火星表面，則火星表面的重力加速度g＝，火星表面物體所受重力近似等于萬有引力，有G＝mg，探測器在高度恰好等于火星半徑的軌道上環(huán)繞火星做勻速圓周運動周期為T，則G＝m·2R，聯(lián)立解得R＝，M＝，故A項正確，B、C、D錯誤。11、科學家計劃在2025年將首批宇航員送往火星進行考察。一質(zhì)量為m的物體，假設在火星兩極宇航員用彈簧測力計測得的讀數(shù)為F1，在火星赤道上宇航員用同一個彈簧測力計測得的讀數(shù)為F2，通過天文觀測測得火星的自轉(zhuǎn)角速度為ω，引力常量為G，將火星看成是質(zhì)量分布均勻的球體，則火星的密度和半徑分別為(　　)A．，B．，C．，D．，【答案】A　【解析】在火星的兩極，宇航員用彈簧測力計測得的讀數(shù)F1等于萬有引力，即G＝F1，在火星的赤道上，物體的重力不等于萬有引力，有G－F2＝mω2R，聯(lián)立解得R＝，又M＝πR3ρ，解得ρ＝，選項A正確，B、C、D錯誤。12、假設宇宙中有兩顆相距無限遠的行星A和B，自身球體半徑分別為RA和RB。兩顆行星各自周圍的衛(wèi)星的軌道半徑的三次方(r3)與運行公轉(zhuǎn)周期的平方(T2)的關(guān)系如圖所示；T0為衛(wèi)星環(huán)繞各自行星表面運行的周期。則(　　)A．行星A的質(zhì)量小于行星B的質(zhì)量B．行星A的密度小于行星B的密度C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度D．當兩行星周圍的衛(wèi)星的運動軌道半徑相同時，行星A的衛(wèi)星的向心加速度大于行星B的衛(wèi)星的向心加速度【答案】D　【解析】根據(jù)萬有引力提供向心力，有＝mR，解得T＝，對于環(huán)繞行星A表面運行的衛(wèi)星，有T0＝①，對于環(huán)繞行星B表面運行的衛(wèi)星，有T0＝②，聯(lián)立①②得＝③，由題圖知，RA>RB，所以MA>MB，故A錯誤； A行星質(zhì)量MA＝ρAπRA3，B行星的質(zhì)量MB＝ρBπRB3，代入③解得ρA＝ρB，故B錯誤；行星的近地衛(wèi)星的線速度即第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力提供向心力，有＝m，解得v＝＝R∝R，因為RA>RB，所以vA>vB，故C錯誤；根據(jù)＝ma知a＝，由于MA>MB，行星運動的軌道半徑相等，則行星A的衛(wèi)星的向心加速度大于行星B的衛(wèi)星的向心加速度，故D正確。二、多項選擇題13、(2022·梧州3月聯(lián)考)宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)。設某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的某固定點O點做勻速圓周運動，如圖所示。若A、B兩星球到O點的距離之比為3∶1，則(　　)A．星球A與星球B所受引力大小之比為1∶1B．星球A與星球B的線速度大小之比為1∶3C．星球A與星球B的質(zhì)量之比為3∶1D．星球A與星球B的動能之比為3∶1【答案】AD【解析】星球A所受的引力與星球B所受的引力均為二者之間的萬有引力，大小是相等的，故A正確；雙星系統(tǒng)中，星球A與星球B轉(zhuǎn)動的角速度相等，根據(jù)v＝ωr，則線速度大小之比為3∶1，故B錯誤；A、B兩星球做勻速圓周運動的向心力由二者之間的萬有引力提供，可得G＝mAω2rA＝mBω2rB，則星球A與星球B的質(zhì)量之比為mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C錯誤；星球A與星球B的動能之比為＝＝＝，故D正確。14、(2022·河北省開學摸底)探測器接近火星后，需經(jīng)歷如圖所示的變軌過程，軌道Ⅰ為圓軌道，已知引力常量為G，則下列說法正確的是(　　)A．探測器在軌道Ⅰ上的機械能大于在軌道Ⅱ上的機械能B．探測器在軌道上運動時，運行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠC．探測器若從軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅰ，需要在P點朝速度的反向噴氣D．若軌道Ⅰ貼近火星表面，并已知探測器在軌道Ⅰ上運動的角速度，可以推知火星的密度【答案】BD【解析】探測器在軌道Ⅱ上的P點需要朝速度方向噴氣減速降低至軌道Ⅰ，所以在軌道Ⅰ上的機械能小于在軌道Ⅱ上的機械能，A、C錯誤；根據(jù)開普勒第三定律＝k，圖中半長軸和半徑的關(guān)系aⅢ>aⅡ>aⅠ，繞同一中心天體運行，所以TⅢ>TⅡ>TⅠ，B正確；若軌道Ⅰ貼近火星表面，軌道半徑近似為火星半徑，萬有引力提供向心力：G＝mω2R，火星密度：ρ＝＝，解得ρ＝，可以求出火星密度，D正確。15、2021年2月15日17時，我國首次火星探測任務“天問一號”探測器成功實施“遠火點平面軌道調(diào)整”。如圖為該過程的示意圖，圖中虛線軌道所在平面，與實線軌道所在平面垂直。探測器由遠處經(jīng)A點進入軌道1，經(jīng)B點進入軌道2，經(jīng)C點進入軌道3，再經(jīng)C點進入軌道4，上述過程僅在點A、B、C啟動發(fā)動機點火，A、B、C、D、E各點均為各自所在軌道的近火點或遠火點，各點間的軌道均為橢圓。以下說法正確的是（　　）A．探測器在軌道3的運動周期大于在軌道4的運動周期B．探測器從軌道3經(jīng)過C點的向心加速度小于軌道4經(jīng)過C點的向心加速度C．探測器在B點變軌后機械能增加D．探測器在B點變軌前的速度大于變軌后的速度【答案】AD【解析】A．由于軌道3的半長軸大于軌道4的半長軸，根據(jù)開普勒第三定律可知，探測器在軌道3的運動周期大于在軌道4的運動周期，A正確；B．根據(jù)萬有引力提供向心力，可得由于軌道3和軌道4在C點到地心的距離相等，故探測器從軌道3經(jīng)過C點的向心加速度等于軌道4經(jīng)過C點的向心加速度，B錯誤；C．探測器在B點變軌時，速度減小，故機械能減小，C錯誤；D．探測器在B點變軌時，做近心運動，速度減小，故探測器在B點變軌前的速度大于變軌后的速度，D正確。16、兩顆人造衛(wèi)星繞地球逆時針運動，衛(wèi)星1、衛(wèi)星2分別沿圓軌道、橢圓軌道運動，圓的半徑與橢圓的半長軸相等，兩軌道相交于A、B兩點，某時刻兩衛(wèi)星與地球在同一直線上，如圖所示，下列說法中正確的是(　　)A．兩衛(wèi)星在圖示位置的速度v2＝v1B．兩衛(wèi)星在A處的加速度大小相等C．兩顆衛(wèi)星在A或B點處可能相遇D．兩衛(wèi)星永遠不可能相遇【答案】BD　【解析】v2為衛(wèi)星2在橢圓軌道的遠地點的速度，速度小于對應圓軌道的環(huán)繞速度，v1表示做勻速圓周運動的速度，根據(jù)v＝可知，v1>v2，故A錯誤；兩個軌道上的衛(wèi)星運動到A點時，所受的萬有引力產(chǎn)生加速度a＝，加速度相同，故B正確；橢圓的半長軸與圓軌道的半徑相同，根據(jù)開普勒第三定律知，兩顆衛(wèi)星的運動周期相等，則不會相遇，故C錯誤，D正確。17、某同學認為只要測出地球赤道位置處的重力加速度g，就可以利用一些常見的數(shù)據(jù)計算出地球的半徑和質(zhì)量。已知常見數(shù)據(jù)為萬有引力常量G，地球的自轉(zhuǎn)周期T，地球兩極處的重力加速度g0。若視地球為質(zhì)量分布均勻的球體，赤道處的重力加速度g已經(jīng)測出，則下列說法中正確的是(　　)A．地球的半徑為B．地球的半徑為C．地球的質(zhì)量為D．地球的質(zhì)量為【答案】BD　【解析】在兩極地區(qū)，物體受到地球的萬有引力等于其所受的重力，則有＝mg0，在赤道處，則有－mg＝m，聯(lián)立可得地球的半徑為R＝，將R＝代入＝mg0可得地球的質(zhì)量為M＝，故A、C錯誤，B、D正確。18、下表是一些有關(guān)火星和地球的數(shù)據(jù)，利用引力常量G和表中選擇的一些信息可以完成的估算是(　　)  信息序號①②③④⑤信息內(nèi)容地球一年約為365天地表重力加速度約為9.8 m/s2火星的公轉(zhuǎn)周期約為687天日地距離大約是1.5億千米地球半徑約為6 400千米A．選擇②⑤可以估算地球的質(zhì)量B．選擇①④可以估算太陽的密度C．選擇①③④可以估算火星公轉(zhuǎn)的線速度D．選擇①②④可以估算太陽對地球的吸引力【答案】AC　【解析】由G＝mg，解得地球質(zhì)量M地＝，所以選擇②⑤可以估算地球質(zhì)量，選項A正確；由G＝M地r2，解得M太＝，所以選擇①④可以估算太陽的質(zhì)量，由于不知太陽半徑(太陽體積)，不能估算太陽的密度，選項B錯誤；根據(jù)開普勒第三定律，選擇①③④可以估算火星公轉(zhuǎn)軌道半徑r火，則火星公轉(zhuǎn)的線速度v火＝ωr火＝r火，選項C正確；選擇①②④可以估算地球圍繞太陽運動的加速度，因為不知地球質(zhì)量，所以不能估算太陽對地球的吸引力，選項D錯誤。三、計算題19、衛(wèi)星發(fā)射進入預定軌道時往往需要進行多次軌道調(diào)整。如圖所示，某次發(fā)射任務中先將衛(wèi)星送至近地圓軌道，然后衛(wèi)星從圓軌道上A點加速，控制衛(wèi)星進入橢圓軌道，最后在B點進入距地高為6R的預定圓形高軌道運動，其中A、B分別是兩個圓軌道與橢圓軌道相切之處。已知衛(wèi)星從A點到B點所需的時間為t0，地球半徑為R。假定衛(wèi)星在兩個圓軌道上穩(wěn)定運行時均做勻速圓周運動，求：(1)衛(wèi)星在高軌道上運行時的周期；(2)地表的重力加速度。【答案】(1)t0　(2)【解析】(1)當衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時，其半長軸為＝4R由開普勒第三定律有＝而衛(wèi)星從A到B的時間為t0＝故T1＝t0。(2)衛(wèi)星在高軌道上有G＝m(6R＋R)質(zhì)量為m′的物體在地球表面有G＝m′g得g＝。20、如圖是在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛(wèi)星。設它們運行的周期分別是T1、T2(T1<T2),且某時刻兩衛(wèi)星相距最近。問:(1)兩衛(wèi)星再次相距最近所用的時間是多少?(2)兩衛(wèi)星相距最遠所用的時間是多少?【答案】(1)  (2)(k=0，1，2，……)【解析】(1)依題意，T1<T2，周期大的軌道半徑大，故在外層軌道的衛(wèi)星運行一周所需的時間長。設經(jīng)過Δt兩衛(wèi)星再次相距最近，則它們運行的角度之差Δθ=2π，有，解得Δt=。(2)兩衛(wèi)星相距最遠時,它們運行的角度之差Δθ=(2k+1)π(k=0，1，2，……)，即(k=0，1，2，……)，解得t=(k=0，1，2，……)。
 

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