?第三講 機(jī)械能守恒定律
? 知識梳理
一、重力勢能
1．定義
物體由于被舉高而具有的能量，叫作重力勢能。
2．表達(dá)式
Ep＝mgh，其中h是相對于參考平面（零勢能面）的高度。
3．特點(diǎn)
(1)系統(tǒng)性：重力勢能是地球與物體所組成的“系統(tǒng)”所共有的。
(2)相對性：重力勢能的數(shù)值與所選參考平面有關(guān)，物體在參考平面上方，h>0，在參考平面下方，hvb>vc
【答案】C
【解析】設(shè)桌面下方L處為零勢能面。鏈條由靜止釋放之后，到整根剛離開桌面，由于桌面無摩擦，對三種情況，則釋放前，系統(tǒng)的重力勢能為：圖a中，Ep1＝mgL＋mg·L＝mgL，圖b中，Ep2＝gL＋mg·L＝，圖c中，Ep3＝mgL＋mg·L＋mg·＝mgL。釋放后，整根鏈條剛離開桌面時(shí)，系統(tǒng)的重力勢能為：圖a中，Ep1′＝mg，圖b中，Ep2′＝mgL＋mg·＝mgL，圖c中，Ep3′＝mgL。則系統(tǒng)損失的重力勢能ΔEp1＝mgL，ΔEp2＝mgL，ΔEp3＝mgL，而ΔEp1＝mv，ΔEp2＝(2m)v，ΔEp3＝(2m)v，解得：v＝gL，v＝gL，v＝gL，顯然v>v>v，所以vc>va>vb，故C正確。
訓(xùn)練3、一般的曲線運(yùn)動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，如圖3甲所示，曲線上A點(diǎn)的曲率圓定義為：通過A點(diǎn)和曲線上緊鄰A點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)作一個(gè)圓，在極限情況下，這個(gè)圓叫作A點(diǎn)的曲率圓，其半徑叫作A點(diǎn)的曲率半徑。現(xiàn)將一物體沿著與水平面成α角的方向以某一速度從地面拋出，如圖乙所示，其軌跡最高點(diǎn)P離地面的高度為h，曲率半徑為，忽略空氣阻力，則tan α的值為(　　)

圖3
A． B．
C．2 D．4
【答案】C
【解析】在P點(diǎn)時(shí)，重力恰好作為向心力，滿足mg＝m，又由題意可知R＝，聯(lián)立可解得vP＝，vP即為物體拋出時(shí)速度的水平分量，設(shè)物體拋出時(shí)速度的豎直分量為vy，拋出時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律可得mv2＝mgh＋mv，又v2＝v＋v，聯(lián)立可得vy＝，物體拋出時(shí)速度v與水平面所成α角滿足
tan α＝，代入數(shù)據(jù)可得tan α＝2，C正確。
考點(diǎn)三、多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒的應(yīng)用
1．輕繩連接的物體系統(tǒng)模型
常見
情景

模型
提醒
①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。
②用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。
③對于單個(gè)物體，一般繩上的力要做功，機(jī)械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機(jī)械能則可能守恒。
2．輕桿連接的物體系統(tǒng)模型
常見
情景

模型
特點(diǎn)
①平動時(shí)兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動時(shí)兩物體角速度相等。
②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒。
③對于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
3．輕彈簧連接的物體系統(tǒng)模型
模型
特點(diǎn)
由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時(shí)系統(tǒng)內(nèi)物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能守恒。
兩點(diǎn)
提醒
①對同一彈簧，彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。
②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。
例1、(2020·江蘇高考) 如圖所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉(zhuǎn)動。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質(zhì)量為m的小球，球與O的距離均為2R。在輪上繞有長繩，繩上懸掛著質(zhì)量為M的重物。重物由靜止下落，帶動鼓形輪轉(zhuǎn)動。重物落地后鼓形輪勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動的角速度為ω。繩與輪之間無相對滑動，忽略鼓形輪、直桿和長繩的質(zhì)量，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。求：

(1)重物落地后，小球線速度的大小v；
(2)重物落地后一小球轉(zhuǎn)到水平位置A，此時(shí)該球受到桿的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
【答案】(1)2Rω　(2)m (3)
【解析】(1)由題意可知，重物落地后，鼓形輪轉(zhuǎn)動的角速度為ω，則根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系可知，小球線速度的大小v＝2Rω。

(2)小球勻速轉(zhuǎn)動，合力提供向心力，對轉(zhuǎn)到水平位置A的小球分析受力，如圖所示，
根據(jù)牛頓第二定律得 ＝m，
解得F＝m。
(3)設(shè)重物落地時(shí)的速度為v1，重物下落過程中，對重物、鼓形輪和小球組成的系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得Mgh＝Mv＋×4mv2
重物落地時(shí)的速度等于鼓形輪勻速轉(zhuǎn)動時(shí)邊緣的線速度，即v1＝Rω
聯(lián)立解得h＝。
例2、(多選)如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端與固定的豎直板P連接，另一端與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上，A右端連接一細(xì)線，細(xì)線繞過光滑的定滑輪與物體B相連。開始時(shí)托住B，讓A處于靜止?fàn)顟B(tài)且細(xì)線恰好伸直，然后由靜止釋放B，直至B獲得最大速度。下列有關(guān)該過程的分析正確的是(　　)

A．B受到細(xì)線的拉力保持不變
B．A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒
C．B機(jī)械能的減少量小于彈簧彈性勢能的增加量
D．當(dāng)彈簧的拉力等于B的重力時(shí)，A的動能最大
【答案】BD
【解析】對A有FT－kx＝mAa，對B有mBg－FT＝mBa，聯(lián)立有mBg－kx＝(mA＋mB)a，由于彈簧的伸長量x逐漸變大，從開始到B速度達(dá)到最大的過程中，B的加速度逐漸減小，可知，此過程中細(xì)線的拉力逐漸增大，是變力，A錯(cuò)誤；A、彈簧與B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，而A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，B正確；B機(jī)械能的減少量等于A機(jī)械能的增加量與彈簧彈性勢能的增加量之和，故B機(jī)械能的減少量大于彈簧彈性勢能的增加量，C錯(cuò)誤；當(dāng)彈簧的拉力等于B的重力時(shí)，B的速度最大，A的速度也達(dá)到最大，則動能最大，D正確。
例3、質(zhì)量均為m的物體A和B分別系在一根不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩兩端，繩子跨過固定在傾角為30°的斜面頂端的定滑輪上，斜面固定在水平地面上，開始時(shí)把物體B拉到斜面底端，這時(shí)物體A離地面的高度為0.8 m，如圖所示．若摩擦力均不計(jì)，從靜止開始放手讓它們運(yùn)動．(斜面足夠長，物體A著地后不反彈，g取10 m/s2)求：

(1)物體A著地時(shí)的速度大小；
(2)物體A著地后物體B繼續(xù)沿斜面上滑的最大距離．
【答案】(1)2 m/s　(2)0.4 m
【解析】(1)以地面為參考平面，
A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgh＝mghsin 30°＋mvA2＋mvB2
因?yàn)関A＝vB，
所以vA＝vB＝2 m/s.
(2)A著地后，B機(jī)械能守恒，
則B上升到最大高度過程中，
有mvB2＝mgΔssin 30°
解得Δs＝0.4 m.
例4、如圖所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，由繩子通過定滑輪連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上．開始時(shí)連接圓環(huán)的繩子水平，長度l＝4 m．現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)，不計(jì)定滑輪和空氣的阻力，g取10 m/s2.若圓環(huán)下降h＝3 m時(shí)的速度v＝5 m/s，則A和B的質(zhì)量關(guān)系為(　　)

A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】A
【解析】圓環(huán)下降3 m后的速度可以按如圖所示分解，故可得vA＝vcos θ＝，A、B和繩子看成一個(gè)整體，整體只有重力做功，機(jī)械能守恒，當(dāng)圓環(huán)下降h＝3 m時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得mgh＝MghA＋mv2＋MvA2，其中hA＝－l，聯(lián)立可得＝，故A正確．

l 課堂隨練
訓(xùn)練1、如圖所示，質(zhì)量不計(jì)的細(xì)直硬棒長為2L，其一端O點(diǎn)用鉸鏈與固定轉(zhuǎn)軸連接，在細(xì)棒的中點(diǎn)固定質(zhì)量為2m的小球甲，在細(xì)棒的另一端固定質(zhì)量為m的小球乙。將棒置于水平位置由靜止開始釋放，棒與球組成的系統(tǒng)將在豎直平面內(nèi)做無阻力的轉(zhuǎn)動。則該系統(tǒng)在由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中(　　)

A．系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒
B．系統(tǒng)中細(xì)棒對乙球做正功
C．甲、乙兩球所受的向心力不相等
D．乙球轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)的速度比甲球小
【答案】B
【解析】以系統(tǒng)為研究對象，由于只有重力做功，只有重力勢能和動能相互轉(zhuǎn)化，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；在轉(zhuǎn)動過程中，甲、乙兩球的角速度相同，設(shè)轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，甲球的速度為v1，乙球的速度為v2，由v＝ωr，可得v2＝2v1，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒知系統(tǒng)減少的重力勢能等于增加的動能，可得2mgL＋mg×2L＝×2mv＋mv，聯(lián)立解得v1＝，v2＝，設(shè)細(xì)棒對乙球做的功為W，根據(jù)動能定理得W＋mg×2L＝mv－0，解得W＝mgL，可見，系統(tǒng)中細(xì)棒對乙球做正功，故B正確；甲、乙兩球所受的向心力分別為F1＝2m，F(xiàn)2＝m＝m＝2m，即F1＝F2，故C錯(cuò)誤；由v2＝2v1知，乙球轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)的速度比甲球大，故D錯(cuò)誤。
訓(xùn)練2、(多選)如圖所示，一根不可伸長的輕繩跨過光滑且不計(jì)質(zhì)量的定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質(zhì)量為m，靜置于地面上；b球質(zhì)量為2m，用手托住，高度為h，此時(shí)輕繩剛好拉緊而沒有張力。小球由靜止釋放后，在小球b下落過程中，下列說法正確的是(　　)

A．小球a處于超重狀態(tài)，小球b處于失重狀態(tài)
B．繩的拉力對a球做的功等于a球機(jī)械能的增量
C．小球b落地瞬間的速度大小為
D．小球b的加速度大小為
【答案】AB
【解析】小球由靜止釋放后，小球a向上做加速運(yùn)動，處于超重狀態(tài)，小球b向下做加速運(yùn)動，處于失重狀態(tài)，故A正確；根據(jù)功能關(guān)系可知，繩的拉力對a球做的功等于a球機(jī)械能的增量，故B正確；設(shè)小球b落地瞬間的速度大小為v，對a、b組成的系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：2mgh＝mgh＋(2m＋m)v2，解得v＝，故C錯(cuò)誤；a、b兩球加速度大小相等，設(shè)為a，根據(jù)牛頓第二定律，對a球：T－mg＝ma，對b球：2mg－T＝2ma，聯(lián)立解得a＝，故D錯(cuò)誤。
訓(xùn)練3、(多選)如圖所示，三個(gè)小球A、B、C的質(zhì)量均為m，A與B、C間通過鉸鏈用輕桿連接，桿長為L，B、C置于水平地面上，用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧處于原長?，F(xiàn)A由靜止釋放下降到最低點(diǎn)，兩輕桿間夾角α由60°變?yōu)?20°。A、B、C在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則此下降過程中，以下說法正確的是(　　)

A．A的動能最大時(shí)，B、C的動能均為零
B．A的動能最大時(shí)，B受到地面的支持力等于mg
C．自靜止釋放到A的動能最大時(shí)，A球機(jī)械能減少量等于彈簧彈性勢能的增加量
D．彈簧的彈性勢能最大值為mgL
【答案】BD
【解析】A的動能最大時(shí)，A的加速度為零，速度最大，方向向下，彈簧要繼續(xù)伸長，B、C的動能均不為零，故A錯(cuò)誤；A的動能最大時(shí)，其加速度為零，設(shè)B和C受到地面的支持力大小均為F，此時(shí)整體在豎直方向受力平衡，可得2F＝3mg，所以F＝mg，故B正確；當(dāng)A動能最大時(shí)，B、C的速度并不為零，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知，A球機(jī)械能的減少量大于彈簧彈性勢能的增加量，故C錯(cuò)誤；A由靜止釋放下降到最低點(diǎn)下落的高度為：h＝Lsin60°－Lsin30°＝L，根據(jù)功能關(guān)系可知，小球A的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，即彈簧的彈性勢能最大值為：Ep＝mgh＝mgL，故D正確。
訓(xùn)練4、如圖所示，長直輕桿兩端分別固定小球A和B，兩球質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計(jì)，桿的長度為L。先將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕撥動小球B，使小球B在水平面上由靜止開始向右滑動，當(dāng)小球A沿墻下滑距離為時(shí)，下列說法正確的是(不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g)(　　)

A．桿對小球A做功為mgL
B．小球A、B的速度都為
C．小球A、B的速度分別為和
D．桿與小球A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能減少了mgL
【答案】C
【解析】對A、B組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得mg·＝mv＋mv，又有vAcos 60°＝vBcos 30°，解得vA＝，vB＝，選項(xiàng)C正確，B、D錯(cuò)誤；對A，由動能定理得，mg＋W＝mv，解得桿對小球A做的功W＝mv－mg·＝－mgL，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。
訓(xùn)練5、(2016·全國卷Ⅱ)(多選)如圖，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連?，F(xiàn)將小球從M點(diǎn)由靜止釋放，它在下降的過程中經(jīng)過了N點(diǎn)。已知在M、N兩點(diǎn)處，彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM

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