?第一講 萬(wàn)有引力定律
? 知識(shí)梳理
一、開(kāi)普勒定律
定律
內(nèi)容
圖示或公式
開(kāi)普勒第一定律(軌道定律)
所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，
太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上

開(kāi)普勒第二定律(面積定律)
任何一個(gè)行星與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)
掃過(guò)的面積相等

開(kāi)普勒第三定律(周期定律)
行星繞太陽(yáng)運(yùn)行軌道半長(zhǎng)軸a的立方與其
公轉(zhuǎn)周期T的平方成正比

二、萬(wàn)有引力定律
1．內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。
2．表達(dá)式：F＝G，G是比例系數(shù)，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．適用條件
(1)公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。
(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離。
? 知識(shí)訓(xùn)練
考點(diǎn)一、開(kāi)普勒定律的理解
1．行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道通常按圓軌道處理．
2．由開(kāi)普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在兩個(gè)位置的速度之比與到太陽(yáng)的距離成反比，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最?。?br />
3．開(kāi)普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，且該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間．
例1、(2022·濰坊二模)中國(guó)首個(gè)火星探測(cè)器“天問(wèn)一號(hào)”已于2021年2月10日成功環(huán)繞火星運(yùn)動(dòng)。若火星和地球可認(rèn)為在同一平面內(nèi)繞太陽(yáng)同方向做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行過(guò)程中火星與地球最近時(shí)相距R0、最遠(yuǎn)時(shí)相距5R0，則兩者從相距最近到相距最遠(yuǎn)需經(jīng)過(guò)的最短時(shí)間約為(　　)
A．365天　　　　　　　　　 B．400天
C．670天 D．800天
【答案】B
【解析】設(shè)火星軌道半徑為R1，公轉(zhuǎn)周期為T(mén)1，地球軌道半徑為R2，公轉(zhuǎn)周期為T(mén)2，依題意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，有＝，解得T1＝年，設(shè)從相距最近到相距最遠(yuǎn)需經(jīng)過(guò)的最短時(shí)間為t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝，代入數(shù)據(jù)，可得t≈401天。
例2、 (多選)如圖，海王星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)行的周期為T(mén)0，若只考慮海王星和太陽(yáng)之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)過(guò)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中(　　)

A．從P到M所用的時(shí)間等于
B．從Q到N階段，機(jī)械能逐漸變大
C．從P到Q階段，速率逐漸變小
D．從M到N階段，萬(wàn)有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功
【答案】CD
【解析】由行星運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，從P經(jīng)M到Q點(diǎn)的時(shí)間為T(mén)0，根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知，從P到M運(yùn)動(dòng)的速率大于從M到Q運(yùn)動(dòng)的速率，可知從P到M所用的時(shí)間小于T0，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；海王星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受太陽(yáng)的引力作用，故機(jī)械能守恒，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知，從P到Q階段，速率逐漸變小，選項(xiàng)C正確；海王星受到的萬(wàn)有引力指向太陽(yáng)，從M到N階段，萬(wàn)有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功，選項(xiàng)D正確。
l 課堂隨練
訓(xùn)練1、某行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，如圖所示，在這顆行星的軌道上有a、b、c、d四個(gè)對(duì)稱點(diǎn)．若行星運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，則該行星(　　)

A．從a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
B．從d經(jīng)a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從b經(jīng)c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
C．a(chǎn)到b的時(shí)間tab>
D．c到d的時(shí)間tcd>
【答案】D
【解析】據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知，行星在近日點(diǎn)的速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度最小，行星由a到b運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均速率大于由c到d運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均速率，而弧長(zhǎng)ab等于弧長(zhǎng)cd，故從a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于從c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，同理可知，從d經(jīng)a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于從b經(jīng)c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，A、B錯(cuò)誤；從a經(jīng)b到c的時(shí)間和從c經(jīng)d到a的時(shí)間均為，可得tab＝tda，C錯(cuò)誤，D正確．
訓(xùn)練2、(2021·安徽六安市示范高中教學(xué)質(zhì)檢)國(guó)產(chǎn)科幻巨作《流浪地球》開(kāi)創(chuàng)了中國(guó)科幻電影的新紀(jì)元，引起了人們對(duì)地球如何離開(kāi)太陽(yáng)系的熱烈討論．其中有一種思路是不斷加速地球使其圍繞太陽(yáng)做半長(zhǎng)軸逐漸增大的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，最終離開(kāi)太陽(yáng)系．假如其中某一過(guò)程地球剛好圍繞太陽(yáng)做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球到太陽(yáng)的最近距離仍為R，最遠(yuǎn)距離為7R(R為加速前地球與太陽(yáng)間的距離)，則在該軌道上地球公轉(zhuǎn)周期將變?yōu)?　　)
A．8年 B．6年
C．4年 D．2年
【答案】A
【解析】由開(kāi)普勒第三定律得：＝，解得T1＝8年，選項(xiàng)A正確．
考點(diǎn)二、萬(wàn)有引力定律的理解及應(yīng)用
1．地球表面的重力與萬(wàn)有引力

地面上的物體所受地球的吸引力產(chǎn)生兩個(gè)效果，其中一個(gè)分力提供了物體繞地軸做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，另一個(gè)分力等于重力。
(1)在兩極，向心力等于零，重力等于萬(wàn)有引力；
(2)除兩極外，物體的重力都比萬(wàn)有引力小；
(3)在赤道處，物體的萬(wàn)有引力分解為兩個(gè)分力，F(xiàn)向和mg，這兩個(gè)分力剛好在一條直線上，則有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω。
2．地球表面上的重力加速度
(1)設(shè)在地球表面附近的重力加速度為g(不考慮地球自轉(zhuǎn))，由mg＝G，得g＝G。
(2)設(shè)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由mg′＝，得g′＝，所以＝。
3．萬(wàn)有引力的“兩點(diǎn)理解”和“兩個(gè)推論”
(1)兩點(diǎn)理解
①兩物體相互作用的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力和反作用力．
②地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力．
(2)星體內(nèi)部萬(wàn)有引力的兩個(gè)推論
①推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬(wàn)有引力的合力為零，即∑F引＝0.
②推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬(wàn)有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對(duì)它的萬(wàn)有引力，即F＝G.
考向1　萬(wàn)有引力定律的理解和簡(jiǎn)單計(jì)算
例1、(2019·全國(guó)卷Ⅱ·14)2019年1月，我國(guó)嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功在月球背面軟著陸．在探測(cè)器“奔向”月球的過(guò)程中，用h表示探測(cè)器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是(　　)

【答案】D
【解析】在嫦娥四號(hào)探測(cè)器“奔向”月球的過(guò)程中，根據(jù)萬(wàn)有引力定律F＝G，可知隨著h的增大，探測(cè)器所受的地球引力逐漸減小，但不是均勻減小的，故能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是D.
考向2　不同天體表面引力的比較與計(jì)算

例2、(2021·高考山東卷，T5)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國(guó)星際探測(cè)事業(yè)實(shí)現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由著陸平臺(tái)支撐的懸停過(guò)程。懸停時(shí)，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺(tái)的作用力大小之比為(　　)

A．9∶1　　　　　　　　　 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【答案】B
【解析】懸停時(shí)所受平臺(tái)的作用力等于萬(wàn)有引力，根據(jù)F＝G，可得＝G∶G＝×2＝，故選B。
考向3　重力和萬(wàn)有引力的關(guān)系
例3、某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，則該天體的半徑為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在“極點(diǎn)”處：mg2＝；在其表面“赤道”處：－mg1＝m()2R；解得：R＝，故選C.
例4、一飛船圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其離地面的高度為H，若已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R。則飛船所在處的重力加速度大小(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，有
在地球表面＝mg
在離地面的高度為H處＝mg′
解得g′＝，故C正確。
考向4　地球表面與地表下某處重力加速度的比較與計(jì)算
例5、假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(　　)
A．1－ B．1＋
C．2 D．2
【答案】A
【解析】如圖所示，根據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對(duì)處于礦井底部的物體引力為零．設(shè)地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球表面的物體m受到的重

力近似等于萬(wàn)有引力，故mg＝G，又M＝ρ·πR3，故g＝πρGR；設(shè)礦井底部的重力加速度為g′，圖中陰影部分所示球體的半徑r＝R－d，則g′＝πρG(R－d)，聯(lián)立解得＝1－，A正確．
l 課堂隨練
訓(xùn)練1、(2020·全國(guó)卷Ⅲ)“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器于2019年1月在月球背面成功著陸，著陸前曾繞月球飛行，某段時(shí)間可認(rèn)為繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑為月球半徑的K倍。已知地球半徑R是月球半徑的P倍，地球質(zhì)量是月球質(zhì)量的Q倍，地球表面重力加速度大小為g。則“嫦娥四號(hào)”繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的速率為(　　)
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】設(shè)地球質(zhì)量為M，在地球表面處，對(duì)質(zhì)量為m的物體有G＝mg。設(shè)“嫦娥四號(hào)”的質(zhì)量為m1，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得G＝m1，解得v＝，故D正確。
訓(xùn)練2、(2020·全國(guó)卷Ⅰ)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，半徑約為地球半徑的，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為(　　)
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
【答案】B
【解析】設(shè)該物體質(zhì)量為m，則在火星表面有F火＝G，在地球表面有F地＝G，由題意知＝，＝。聯(lián)立以上各式可得＝·2＝×＝0.4，故B正確。
訓(xùn)練3、某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，質(zhì)量為m。科研人員研究同一物體在該行星上的重力時(shí)，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B　
【解析】 由萬(wàn)有引力定律得G=1.1m'g，G-m'g=m'ω2R，由以上兩式解得，該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω=，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
訓(xùn)練4、萬(wàn)有引力定律和庫(kù)侖定律都滿足與距離的二次方成反比的規(guī)律，因此引力場(chǎng)和電場(chǎng)之間有許多相似的性質(zhì)，在處理有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以將它們進(jìn)行類比。例如電場(chǎng)中引入電場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)反映電場(chǎng)的強(qiáng)弱，其定義式為E=，在引力場(chǎng)中可以用一個(gè)類似的物理量來(lái)反映引力場(chǎng)的強(qiáng)弱。設(shè)地球質(zhì)量為m地，半徑為R，地球表面處重力加速度為g，引力常量為G。如果一個(gè)質(zhì)量為m的物體位于距地心2R處的某點(diǎn)，則下列表達(dá)式中能反映該點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)弱的是(　　)
A． B．G
C．G D．
【答案】C　
【解析】類比電場(chǎng)強(qiáng)度定義式E=，該點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)弱為，所以C正確。
考點(diǎn)三　天體質(zhì)量和密度的計(jì)算

1．利用天體表面重力加速度
已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
①由G＝mg，得天體質(zhì)量M＝.
②天體密度ρ＝＝＝.
2．利用運(yùn)行天體(以已知周期為例)
測(cè)出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T.
①由G＝mr，得M＝.
②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝.
③若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，故只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．
例1、(2021·全國(guó)乙卷，18)科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖3所示?？茖W(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸約為1 000 AU(太陽(yáng)到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為(　　)

圖3
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
【答案】B
【解析】由萬(wàn)有引力提供向心力有＝mR，整理得＝，可知只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，則＝，已知T地＝1年，由題圖可知恒星S2繞銀河系運(yùn)動(dòng)的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正確。
例2、(多選)(2021·八省聯(lián)考遼寧卷)“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道半徑為r，速度大小為v。已知月球半徑為R，引力常量為G，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響。下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A．月球平均密度為
B．月球平均密度為
C．月球表面重力加速度為
D．月球表面重力加速度為
【答案】BD
【解析】根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有G＝m，解得m月＝，月球體積V＝πR3，所以月球平均密度ρ＝＝，故B項(xiàng)正確，A項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)月球表面物體的重力等于萬(wàn)有引力，有G＝mg月，又m月＝，解得g月＝，故D項(xiàng)正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤。
例3、假設(shè)在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過(guò)時(shí)間t物體落回月面，上升的最大高度為h。已知月球半徑為R、引力常量為G，不計(jì)一切阻力，則月球表面的重力加速度大小為　　　　，月球的密度為　　　　。?
【答案】 　
【解析】由自由落體公式得，解得g=，設(shè)月球質(zhì)量為M，月球表面質(zhì)量為m的物體所受重力等于萬(wàn)有引力，有mg=G，設(shè)月球體積為V，V=πR3，則月球的密度為ρ=，聯(lián)立以上各式得ρ=。
l 課堂隨練
訓(xùn)練1、(2022·葫蘆島一模)若銀河系內(nèi)每個(gè)星球貼近其表面運(yùn)行的衛(wèi)星的周期用T表示，被環(huán)繞的星球的平均密度用ρ表示。ρ與的關(guān)系圖像如圖所示，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。則該圖像的斜率約為(　　)

A．1.4×1010 kg2/(N·m2)
B．1.4×1011 kg2/(N·m2)
C．7×10－10 N·m2/kg2
D．7×10－11 N·m2/kg2
【答案】B
【解析】令該星球的半徑為R，則星球的體積V＝πR3，衛(wèi)星繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則G＝mR，星球的密度為ρ＝，聯(lián)立解得ρ＝，由數(shù)學(xué)知識(shí)知，題中圖像斜率k＝≈1.4×1011 kg2/（N·m2）。
訓(xùn)練2、(多選)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運(yùn)動(dòng)，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中實(shí)線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過(guò)程，其a-x關(guān)系如圖中虛線所示。假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則(　　)

A．M與N的密度相等
B．Q的質(zhì)量是P的3倍
C．N的密度是M的3倍
D．Q的質(zhì)量是P的6倍
【答案】AD
【解析】如圖，當(dāng)x＝0時(shí)，對(duì)P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；對(duì)Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。當(dāng)P、Q的加速度a＝0時(shí)，對(duì)P有：mPgM＝kx0，則mP＝，對(duì)Q有：mQgN＝k·2x0，則mQ＝，即mQ＝6mP，B錯(cuò)誤，D正確；根據(jù)mg＝G得，星球質(zhì)量M＝，則星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，A正確，C錯(cuò)誤。
訓(xùn)練3、已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，地球視為質(zhì)量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響。
(1)北京時(shí)間2020年3月9日，中國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星，此次發(fā)射的是北斗第2顆地球靜止軌道衛(wèi)星(又稱地球同步衛(wèi)星)，它離地的高度為h，求此衛(wèi)星進(jìn)入地球靜止軌道后正常運(yùn)行時(shí)的速度v的大小(不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響)；
(2)為考察地球自轉(zhuǎn)對(duì)重力的影響，某研究者在赤道時(shí)，用測(cè)力計(jì)測(cè)得一小物體的重力是F1，在南極時(shí)，用測(cè)力計(jì)測(cè)得該小物體的重力為F2，求地球的質(zhì)量M。(已知地球的自轉(zhuǎn)周期為T(mén))
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)設(shè)該衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力定律提供向心力可得：
G＝m，
在地球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系可得：
G＝mg，
解得：v＝＝。
(2)設(shè)小物體的質(zhì)量為m0，在赤道處，小物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到萬(wàn)有引力和測(cè)力計(jì)的作用力，有：G－F1＝m0R，
在南極有：G＝F2，
聯(lián)立可得地球的質(zhì)量M＝。
? 同步訓(xùn)練
1、根據(jù)開(kāi)普勒第一定律可知：火星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．太陽(yáng)對(duì)火星的萬(wàn)有引力大小始終保持不變
B．火星運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)的加速度最大
C．火星在橢圓上運(yùn)動(dòng)，速率相等的點(diǎn)總有兩個(gè)
D．火星繞太陽(yáng)運(yùn)行過(guò)程中萬(wàn)有引力始終不做功
【答案】B
【解析】根據(jù)開(kāi)普勒第一定律可知，火星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，結(jié)合萬(wàn)有引力定律F＝G可知，由于它們之間的距離在變化，則太陽(yáng)對(duì)火星的萬(wàn)有引力的大小在變化，故A錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律得出：a＝G，故火星運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)的加速度最大，B正確；火星在橢圓上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)，沒(méi)有其他點(diǎn)的速率與這兩個(gè)點(diǎn)相等，故C錯(cuò)誤；火星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓，萬(wàn)有引力指向地心，與運(yùn)動(dòng)方向不總是垂直，所以萬(wàn)有引力不是始終不做功，故D錯(cuò)誤。
2、(多選)地球的某衛(wèi)星的工作軌道為圓軌道，軌道高度為h，運(yùn)行周期為T(mén)。若還知道引力常量G和地球半徑R，僅利用以上條件能求出的是(　　)
A．地球表面的重力加速度
B．地球?qū)υ撔l(wèi)星的吸引力
C．該衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速度
D．該衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的加速度
【答案】ACD
【解析】該衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，則有G＝m(R＋h)，得M＝，故根據(jù)已知量可以求得地球的質(zhì)量M，再根據(jù)物體在地球表面時(shí)的重力與萬(wàn)有引力相等，有G＝mg，在已知地球質(zhì)量和半徑及引力常量的情況下可以求得地球表面的重力加速度，故A正確；由于不知道該衛(wèi)星的質(zhì)量，故無(wú)法求出地球?qū)υ撔l(wèi)星的吸引力，故B錯(cuò)誤；已知該衛(wèi)星的軌道半徑和周期，根據(jù)v＝知，可以求出衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速度，故C正確；該衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的加速度也就是衛(wèi)星的向心加速度，根據(jù)a＝r，已知該衛(wèi)星的軌道半徑和周期可以求出其加速度，故D正確。
3、(2020·全國(guó)卷Ⅱ)若一均勻球形星體的密度為ρ，引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對(duì)在該星體表面附近繞其做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星有G＝mR，對(duì)該星體有V＝πR3，ρ＝，聯(lián)立可得，在該星體表面附近沿圓軌道繞其運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期T＝，A正確。
4、(2020·江蘇高考)(多選)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應(yīng)用公式進(jìn)行的推論正確的有(　　)
A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
【答案】CD
【解析】衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，則F＝G＝m＝mω2r＝mr＝ma。因?yàn)樵诓煌霃降能壍捞巊值不同，故不能由v＝得出甲、乙的速度關(guān)系，衛(wèi)星的線速度v＝，可得＝＝，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樵诓煌霃降能壍郎闲l(wèi)星的角速度不同，故不能由a＝ω2r得出兩衛(wèi)星的加速度關(guān)系，衛(wèi)星的加速度a＝，可得＝＝，故B錯(cuò)誤；衛(wèi)星所受的向心力F＝G，兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，可得＝＝，故C正確；兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，由開(kāi)普勒第三定律＝k，可得＝＝2，故D正確。
5、(多選)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處．若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過(guò)時(shí)間5t小球落回原處．已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計(jì)．則(　　)
A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
【答案】AD
【解析】設(shè)初速度為v0，由對(duì)稱性可知豎直上拋的小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝，因此得＝＝，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；由G＝mg得M＝，則＝＝×2＝，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確．
6、假設(shè)某探測(cè)器在著陸火星前貼近火星表面運(yùn)行一周用時(shí)為T(mén)，已知火星的半徑為R1，地球的半徑為R2，地球的質(zhì)量為M，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則火星的質(zhì)量為(　　)
A． B．　
C． D．
【答案】A
【解析】對(duì)繞地球表面運(yùn)動(dòng)的物體，由牛頓第二定律可知：
G＝mg
對(duì)繞火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體有：
＝m()2R1
結(jié)合兩個(gè)公式可解得：M火＝，故A對(duì)．
7、若在某行星和地球上相對(duì)于各自的水平地面附近相同的高度處以相同的速率平拋一物體，它們?cè)谒椒较蜻\(yùn)動(dòng)的距離之比為2∶.已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R，不考慮氣體阻力．由此可知，該行星的半徑約為(　　)
A．R B．R　
C．2R D．R
【答案】C
【解析】由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：x＝v0t，h＝gt2，得x＝v0，兩種情況下，拋出的速率相同，高度相同，故＝；由G＝mg，可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，選項(xiàng)C正確．
8、將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點(diǎn)時(shí)，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時(shí)，該物體的重力為mg.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出(　　)
A．g0小于g
B．地球的質(zhì)量為
C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝
D．地球的平均密度為
【答案】C
【解析】設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體在赤道處隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，軌道半徑等于地球半徑，物體在赤道上的重力和物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力是萬(wàn)有引力的分力．有G－mg＝mω2R，物體在兩極受到的重力等于萬(wàn)有引力G＝mg0，所以g0＞g，故A錯(cuò)誤；在兩極mg0＝G，解得M＝，故B錯(cuò)誤；由G－mg＝mω2R，mg0＝G，解得ω＝，故C正確；地球的平均密度ρ＝＝＝，故D錯(cuò)誤．
9、(2021·全國(guó)甲卷·18)2021年2月，執(zhí)行我國(guó)火星探測(cè)任務(wù)的“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105 s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105 m．已知火星半徑約為3.4×106 m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2，則“天問(wèn)一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
【答案】C
【解析】忽略火星自轉(zhuǎn)，設(shè)火星半徑為R，
則火星表面處有＝mg①
可知GM＝gR2
設(shè)與周期為1.8×105 s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為r，由萬(wàn)有引力提供向心力可知
＝mr②
設(shè)近火點(diǎn)到火星中心的距離為R1＝R＋d1③
設(shè)遠(yuǎn)火點(diǎn)到火星中心的距離為R2＝R＋d2④
由開(kāi)普勒第三定律可知＝⑤
聯(lián)立①②③④⑤可得d2≈6×107 m，故選C.
10、若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體．“蛟龍?zhí)枴毕聺撋疃葹閐，“天宮一號(hào)”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號(hào)所在處與“天宮一號(hào)”所在處的加速度大小之比為(質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)內(nèi)部物體的萬(wàn)有引力為零)(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)地球的密度為ρ，則在地球表面，物體受到的重力和地球的萬(wàn)有引力大小相等，有g(shù)＝G.由于地球的質(zhì)量為M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表達(dá)式可寫(xiě)成g＝＝＝πGρR.質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬(wàn)有引力即為半徑等于(R－d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬(wàn)有引力，故“蛟龍?zhí)枴钡闹亓铀俣萭′＝πGρ(R－d)，所以有＝．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有G＝ma，“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度為a＝，所以＝，＝，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤．
11、(2018·全國(guó)卷Ⅱ)2018年2月，我國(guó)500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬(wàn)有引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【答案】C
【解析】設(shè)脈沖星質(zhì)量為M，密度為ρ，星體表面一物塊質(zhì)量為m，根據(jù)天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：≥m2R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正確。
12、(2020·東北三省三校聯(lián)考一模)如圖所示，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星P的角速度為ω，對(duì)地球的張角為θ弧度，萬(wàn)有引力常量為G。則下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)屬于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)
B．張角θ越小的衛(wèi)星，其角速度ω越大
C．根據(jù)已知量可以求地球質(zhì)量
D．根據(jù)已知量可以求地球的平均密度
【答案】D
【解析】衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其加速度指向圓心，方向時(shí)刻在變化，它的運(yùn)動(dòng)為變加速曲線運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；設(shè)地球的半徑為R，則衛(wèi)星的軌道半徑為r＝，可知張角θ越小的衛(wèi)星的軌道半徑越大，由G＝mrω2可知ω＝，則軌道半徑越大角速度越小，故B錯(cuò)誤；根據(jù)G＝mrω2，可得地球的質(zhì)量M＝，則地球的平均密度ρ＝＝＝，ω、θ、G已知，R未知，故C錯(cuò)誤，D正確。
13、(2021·河南省豫南九校高三(上)聯(lián)考)2020年7月23日，我國(guó)成功發(fā)射了天問(wèn)一號(hào)火星探測(cè)器(簡(jiǎn)稱“天問(wèn)一號(hào)”)，天問(wèn)一號(hào)從地球發(fā)射升空順利送入預(yù)定軌道，然后沿地火轉(zhuǎn)移軌道飛向火星并被火星“捕獲”。某同學(xué)忽略了天問(wèn)一號(hào)進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道后受到的地球和火星的引力影響，并構(gòu)建了一個(gè)如圖所示的理想化的“物理模型”：火星和地球的公轉(zhuǎn)軌道均視為圓軌道，天問(wèn)一號(hào)從地球出發(fā)時(shí)恰好位于地火轉(zhuǎn)移橢圓軌道的近日點(diǎn)位置，被火星“捕獲”時(shí)恰好到達(dá)橢圓軌道遠(yuǎn)日點(diǎn)位置，中間過(guò)程僅在太陽(yáng)引力作用下運(yùn)動(dòng)。已知火星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的1.5倍，地球公轉(zhuǎn)周期(1年)均分為12月，根據(jù)該理想模型，請(qǐng)幫助該同學(xué)求出：(取＝2.2，＝5.5)

(1)天問(wèn)一號(hào)在地火轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)行的時(shí)間(以月為單位)；
(2)天問(wèn)一號(hào)從地球出發(fā)進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道時(shí)日地連線與日火連線的夾角θ。
【答案】(1)8.25月　(2)48°
【解析】(1)根據(jù)開(kāi)普勒第三定律＝k可知，天問(wèn)一號(hào)在地火轉(zhuǎn)移橢圓軌道上的運(yùn)動(dòng)周期為
T探＝＝×12月＝16.5月
則天問(wèn)一號(hào)在地火轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)行的時(shí)間為
t＝＝8.25月。
(2)同理可得火星運(yùn)行周期為
T火＝ T地＝×12月＝××12月＝22.5月
火星運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t′＝T火
要保證天問(wèn)一號(hào)正好在遠(yuǎn)日點(diǎn)與火星相遇，兩者運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)相等，即t＝t′，則有：＝T火，
解得θ＝48°。


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