?第一講 功和功率
? 知識梳理
一、功的概念
1．定義：一個物體受到力的作用，如果在力的方向上發(fā)生了一段位移，就說這個力對物體做了功。
2．物理意義：功是能量轉化的量度。
3．做功的兩個必要因素
(1)作用在物體上的力。
(2)物體在力的方向上發(fā)生了位移。
4．公式：W＝Flcosα。
(1)α是力與位移方向之間的夾角，l為物體對地的位移。
(2)該公式只適用于恒力做功。
(3)功是標量，功的正負表示對物體做功的力是動力還是阻力。
5．功的正負
夾角
功的正負
0≤α
W2，A正確．
例4、某同學參加學校運動會立定跳遠項目比賽，起跳直至著地過程如圖，測量得到比賽成績是2.4 m，目測空中腳離地最大高度約0.8 m，假設該同學的質量為60 kg，忽略空氣阻力，則起跳過程該同學所做功為(g＝10 m/s2)(　　)

A．750 J B．480 J
C．270 J D．1470 J
【答案】A
【解析】該同學起跳后至著地的過程做拋體運動，從起跳至達到最大高度的過程中，沿豎直方向做加速度為g的勻減速直線運動，則從起跳至最高所用時間t＝＝0.4 s，豎直方向的初速度vy＝gt＝4 m/s，沿水平方向做勻速直線運動，則vx＝＝ m/s＝3 m/s，則該同學起跳時的速度v0＝＝5 m/s，該同學的質量為60 kg，根據動能定理得W＝mv＝750 J，故B、C、D錯誤，A正確。
l 課堂隨練
訓練1、用鐵錘把釘子釘入木板,設木板對釘子的阻力與釘進木板的深度成正比。已知鐵錘第一次將釘子釘進深度d，如果鐵錘第二次敲釘子時對釘子做的功與第一次相同，那么，第二次釘子進入木板的深度為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B　
【解析】據題意設釘子受的阻力與進入木板深度關系為F=kx，作F-x圖像如圖所示，則圖像與橫軸所圍成圖形的面積表示阻力功的大小，由能量關系知W錘=W阻。又因為兩次W錘相等，故S△=S梯，即·d2，所以d2=(-1)d，選項B正確。

訓練2、（2021·山東卷，3）如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另一端與質量為m的小木塊相連．木塊以水平初速度v0出發(fā)，恰好能完成一個完整的圓周運動．在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為(　　)

A．　　　 B．
C． D．
【答案】B
【解析】木塊做圓周運動過程中，只有摩擦力做功且做功與路徑有關，根據動能定理有－f·2πL＝，可得摩擦力的大小f＝，B項正確．
訓練3、如圖所示，木板可繞固定水平軸O轉動．木板從水平位置OA緩慢轉到OB位置，木板上的物塊始終相對于木板靜止．在這一過程中，物塊的重力勢能增加了2 J．用FN表示物塊受到的支持力，用Ff表示物塊受到的摩擦力．在此過程中，以下判斷正確的是(　　)

A．FN和Ff對物塊都不做功
B．FN對物塊做功為2 J，Ff對物塊不做功
C．FN對物塊不做功，Ff對物塊做功為2 J
D．FN和Ff對物塊所做功的代數和為0
【答案】B
【解析】物塊所受的摩擦力Ff沿木板斜向上，與物塊的運動方向垂直，故摩擦力Ff對物塊不做功，物塊在慢慢移動過程中，重力勢能增加了2 J，重力做功－2 J，支持力FN對物塊做功2 J，故B正確．
考點三、功率的分析和計算
1．平均功率的計算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中為物體運動的平均速度．其中F為恒力，α不變．
2．瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v為t時刻的瞬時速度．F可為恒力，也可為變力，α為F與v的夾角，α可以不變，也可以變化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可認為是力F在速度v方向上的分力，vcos α可認為是速度v在力F方向上的分速度．
例1、如圖1所示，物體受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直線運動。監(jiān)測到推力F、物體速度v隨時間t變化的規(guī)律如圖2、3所示，g＝10 m/s2，則(　　)

A．第1 s內推力做的功為1 J
B．第2 s內物體克服摩擦力做的功W＝2 J
C．第1.5 s時推力F做功的功率為2 W
D．第2 s內推力F做功的平均功率＝1.5 W
【答案】B
【解析】由題圖3可知，第1 s內物體的速度為零，物體靜止不動，故位移為零，推力不做功，A錯誤；第2 s內推力為3 N，第3 s內推力為2 N且物體做勻速直線運動，則可知摩擦力f＝2 N，物體第2 s內的位移x＝1 m，則克服摩擦力所做的功W＝fx＝2 J，B正確；第1.5 s時推力為3 N，速度v＝1 m/s，則推力F做功的功率P＝3×1 W＝3 W，C錯誤；第2 s內平均速度＝1 m/s，推力F＝3 N，推力F做功的平均功率＝F＝3 W，D錯誤。
例2、如圖所示，AB是斜坡，BC是水平面，從斜坡頂端A以不同初速度v向左水平拋出同一小球，當初速度為v0時，小球恰好落到坡底B。不計空氣阻力，則下列圖像能正確表示小球落地(不再彈起)前瞬間重力瞬時功率P隨v變化關系的是(　　)


【答案】C
【解析】當平拋的初速度v≤v0時，小球均落在斜面上，具有相同的位移偏向角且均等于斜坡傾角θ，可得：tanθ＝＝＝，可得平拋時間：t＝，則小球落地前所受的重力的瞬時功率為：P＝mg·vy＝mg·gt＝2mgtanθ·v，可知，P與v成正比；當平拋的初速度v>v0時，小球落在水平面上，平拋的豎直高度相同，為h，且有：h＝gt2，則平拋時間為：t＝ ，則小球落地前所受的重力的瞬時功率為：P＝mg·vy＝mg·gt＝mg，可知功率P為恒定值；綜合兩種情況可知C正確，A、B、D錯誤。
例3、如圖所示，細線的一端固定于O點，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在豎直平面內由A點運動到B點．在此過程中拉力的瞬時功率的變化情況是(　　)

A．逐漸增大 B．逐漸減小
C．先增大，后減小 D．先減小，后增大
【答案】A
【解析】小球以恒定速率在豎直平面內由A點運動到B點，即小球做勻速圓周運動，那么小球受到的重力mg、水平拉力F、繩子拉力FT三者的合力必是沿繩子指向O點．對小球受力分析如圖，F＝mgtan θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐漸增大，則功率P逐漸增大，A項正確．

l 課堂隨練
訓練1、無論是遠海島礁建設，還是超大型疏浚及填海造陸工程，都離不開鋼鐵巨輪——重型絞吸船。我國自主研制的自航絞吸挖泥船“天鯤號”性能達到世界先進水平，其遠程輸送能力達15000米，居世界第一。若某段工作時間內，“天鯤號”的泥泵輸出功率恒為1.6×104 kW，排泥量為1.6 m3/s，排泥管的橫截面積為0.8 m2，則泥泵對排泥管內泥漿的推力為(　　)

A．5×106 N B．8×106 N
C．5×107 N D．8×107 N
【答案】B
【解析】由于功率大小P＝Fv，而每秒鐘排泥管排出泥漿的體積(排泥量)Q＝Sv，聯立并代入數據，解得F＝8×106 N，故B正確，A、C、D錯誤。
訓練2、如圖所示，質量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的斜面上由靜止開始下滑，斜面足夠長，木塊與斜面間的動摩擦因數為μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，則前2 s內重力的平均功率和2 s末重力的瞬時功率分別為(　　)

A．48 W　24 W B．24 W　48 W
C．24 W　12 W D．12 W　24 W
【答案】B
【解析】木塊所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
木塊的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s內木塊的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s內做的功為W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s內的平均功率＝＝24 W
木塊在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬時功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W.
故選項B正確．
訓練3、一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時其速度為1 m/s，從此刻開始在滑塊運動方向上再施加一水平作用力F，力F和滑塊的速度v隨時間t的變化規(guī)律分別如圖甲、乙所示，則以下說法正確的是(　　)

A．第1 s內，F對滑塊做的功為3 J
B．第2 s內，F對滑塊做功的平均功率為4 W
C．第3 s末，F對滑塊做功的瞬時功率為1 W
D．前3 s內，F對滑塊做的總功為零
【答案】C
【解析】由題圖可知，第1 s內，滑塊位移為1 m，F對滑塊做的功為2 J，A錯誤；第2 s內，滑塊位移為1.5 m，F對滑塊做的功為4.5 J，平均功率為4.5 W，B錯誤；第3 s內，滑塊位移為1.5 m，F對滑塊做的功為1.5 J，第3 s末，F對滑塊做功的瞬時功率P＝Fv＝1 W，C正確；前3 s內，F對滑塊做的總功為8 J，D錯誤．
考點四　機車啟動問題
1．兩種啟動方式
兩種方式
以恒定功率啟動
以恒定加速度啟動
P－t圖像
和v－t圖像


OA
段
過程
分析
v↑?F＝↓?a＝↓
a＝不變?F不變P＝Fv↑直到P＝P額＝Fv1
運動
性質
加速度減小的加速直線運動
勻加速直線運動，持續(xù)時間t0＝
AB
段
過程
分析
F＝F阻?a＝0?vm＝
v↑?F＝↓?a＝↓
運動
性質
以vm做勻速直線運動
加速度減小的加速直線運動
BC段

F＝F阻?a＝0?以vm＝做勻速直線運動
2．三個重要關系式
(1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝.
(2)機車以恒定加速度啟動的過程中，勻加速過程結束時，功率最大，但速度不是最大，v＝P2 B．W1>W2，P1＝P2
C．W1>W2，P1>P2 D．W1＝W2，P1＝P2
【答案】A
【解析】根據功的定義，兩次水平恒力F做的功相等，即W1＝W2；第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，第二次受到摩擦力作用，作用同樣大小的力F，第一次的加速度較大，由x＝at2可知，使物體沿力的方向發(fā)生相同的位移，第一次需要的時間較短，根據功率的定義，可知第一次的平均功率較大，即P1>P2，選項A正確．
2、(2021·浙江6月選考) 中國制造的某一型號泵車如圖所示，表中列出了其部分技術參數。已知混凝土密度為2.4×103 kg/m3，假設泵車的泵送系統(tǒng)以150 m3/h的輸送量給30 m高處輸送混凝土，則每小時泵送系統(tǒng)對混凝土做的功至少為(　　)

發(fā)動機最大輸出功率(kW)
332
最大輸送高度(m)
63
整車滿載質量(kg)
5.4×104
最大輸送量(m3/h)
180
A．1.08×107 J B．5.04×107 J
C．1.08×108 J D．2.72×108 J
【答案】C
【解析】泵車的泵送系統(tǒng)以150 m3/h的輸送量給30 m高處輸送混凝土，每小時泵送系統(tǒng)對混凝土做的功至少為W＝mgh＝ρVgh＝2.4×103×150×10×30 J＝1.08×108 J，故選C。
3、(2022·馬鞍山一模)一輛質量為m的汽車在水平路面上以速度v勻速行駛，此時發(fā)動機功率為P，汽車運動過程中所受阻力恒定不變。當汽車功率突然變?yōu)镻的瞬間，加速度大小為(　　)
A．0 B．
C． D．
【答案】B
【解析】汽車勻速行駛時，有F＝f，P＝Fv，汽車功率突然變?yōu)镻的瞬間，牽引力發(fā)生變化，速度不變，則有P＝F′v，此時加速度由牛頓第二定律有f－F′＝ma，由上面幾式解得a＝，所以B正確，A、C、D錯誤。
4、(2022·廣東選考模擬)高鐵在高速行駛時，受到的阻力f與速度v的關系為f＝kv2(k為常量)。若某高鐵以160 km/h的速度勻速行駛時機車的輸出功率為P，則該高鐵以320 km/h的速度勻速行駛時機車的輸出功率為(　　)
A．8P B．4P
C．2P D．P
【答案】A
【解析】當高鐵勻速行駛時，牽引力F與阻力f大小相等，由題意可知當高鐵以v1＝160 km/h行駛時機車的輸出功率為P＝Fv1＝kv，所以當高鐵以v2＝320 km/h 行駛時機車的輸出功率為P′＝Fv2＝kv＝8kv＝8P。
5、 (2021·湖南省郴州市第三次教學質監(jiān))一質量m＝2 kg的物體在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段時間內的速度隨時間變化情況如圖所示。已知物體與水平面間的動摩擦因數為0.5，則拉力的功率最大值是(　　)

A．30 W B．50 W
C．60 W D．120 W
【答案】C
【解析】由v-t圖像可知，前5 s物體的加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，由牛頓第二定律可知，F－f＝ma，又f＝0.5mg，解得F＝12 N；當速度達到5 m/s時物體勻速運動，此時拉力的功率最大，由P＝Fv可得，最大功率Pmax＝12×5 W＝60 W，故C正確，A、B、D錯誤。
6、(2021·廣東省廣州市高三二模)已知動車組列車每節(jié)動車的額定功率相同，每節(jié)動車與拖車質量相等，動車組運行時所受阻力與其重力成正比。若某動車組由4節(jié)動車加8節(jié)拖車組成，其運行的最大速率為240 km/h，則由該4節(jié)動車加4節(jié)拖車組成的動車組，運行的最大速率為(　　)
A．480 km/h B．360 km/h
C．320 km/h D．240 km/h
【答案】B
【解析】設每節(jié)車質量為m，每節(jié)車廂所受阻力為f，則4節(jié)動車加8節(jié)拖車時4Pm＝12fvm1，其中vm1＝240 km/h,4節(jié)動車加4節(jié)拖車時4Pm＝8fvm2，解得vm2＝360 km/h，故選B。
7、(2022·湖南高考模擬)如圖，小物塊P在沿斜面向上的拉力F作用下沿固定光滑斜面勻速上滑?，F將力F的方向變?yōu)樗较蛴遥允筆保持原來的速度沿斜面勻速上滑。則變化后與變化前比較(　　)

A．斜面對物塊的支持力不變
B．力F變大
C．力F變小
D．力F的功率變大
【答案】B
【解析】對物塊受力分析可知，物塊受重力、支持力和拉力，根據受力平衡可得FN＝mgcos θ，當力F的方向變?yōu)樗较蛴遥鶕芰ζ胶饪傻肍N′＝mgcos θ＋Fsin θ，因此支持力變大，故A錯誤；力F沿斜面方向時，根據受力平衡可得mgsin θ＝F，當力F的方向變?yōu)樗较蛴視r，由受力平衡可得mgsin θ＝Fcos θ，因此F變大，故B正確，C錯誤；一開始F的功率為P＝Fv＝mgsin θ·v，變化之后功率為P′＝Fcos θ·v＝mgsin θ·v，拉力F的功率不變，故D錯誤。
8、(多選)地下礦井中的礦石裝在礦車中，用電機通過豎井運送至地面．某豎井中礦車提升的速度大小v隨時間t的變化關系如圖所示，其中圖線①②分別描述兩次不同的提升過程，它們變速階段加速度的大小都相同；兩次提升的高度相同，提升的質量相等．不考慮摩擦阻力和空氣阻力．對于第①次和第②次提升過程，(　　)

A．礦車上升所用的時間之比為4∶5
B．電機的最大牽引力之比為2∶1
C．電機輸出的最大功率之比為2∶1
D．電機所做的功之比為4∶5
【答案】AC
【解析】由題圖可得，變速階段的加速度大小a＝，設第②次所用時間為t2，根據速度－時間圖像與時間軸所圍的面積等于位移(此題中為提升的高度)可知，×2t0×v0＝[t2＋(t2－2×)]×v0，解得：t2＝，所以第①次和第②次礦車上升所用時間之比為2t0∶＝4∶5 ，選項A正確；由于兩次提升過程變速階段的加速度大小相同，在勻加速階段，由牛頓第二定律，F－mg＝ma，可得電機的最大牽引力之比為1∶1，選項B錯誤；由功率公式，P＝Fv，電機輸出的最大功率之比等于最大速度之比，為2∶1，選項C正確；加速上升過程的加速度a1＝，加速上升過程的牽引力F1＝ma1＋mg＝m(＋g)，減速上升過程的加速度a2＝－，減速上升過程的牽引力F2＝ma2＋mg＝m(g－)，勻速運動過程的牽引力F3＝mg.第①次提升過程做功W1＝F1××t0×v0＋F2××t0×v0＝mgv0t0；第②次提升過程做功W2＝F1××t0×v0＋F3×t0×v0＋F2××t0×v0＝mgv0t0，兩次做功相同，選項D錯誤．
9、(2022·東北三省四市質檢)“ETC”是高速公路上電子不停車收費系統(tǒng)的簡稱。若某汽車以恒定功率勻速行駛，為合理通過收費處，司機在t1時刻使汽車功率減半，并保持該功率行駛，到t2時刻又做勻速運動；通過收費處后，逐漸增加功率，使汽車做勻加速運動直到恢復原來功率，以后保持該功率行駛。設汽車所受阻力大小不變，則在該過程中，汽車的速度隨時間變化的圖像可能正確的是(　　)

【答案】選C
【解析】0～t1時間內，汽車以恒定功率勻速行駛，則有F＝f，P＝Fv1，t1時刻使汽車功率減半，則有＝F1v1，解得F1＝＝，則汽車做減速運動，速度減小，t1到t2時刻保持該功率行駛，所以牽引力增大，由牛頓第二定律可得f－F1＝ma，則汽車做加速度逐漸減小的減速運動，t1到t2時間內圖像的斜率逐漸減??；t2到 t3時間內做勻速運動則速度保持不變；t3到 t4時間內先做勻加速運動有F2－f＝ma2，P2＝F2v2，由于牽引力不變，速度增大，功率增大，當P2＝P時，保持功率不變，則汽車繼續(xù)加速運動，其牽引力減小，由牛頓第二定律可知，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，加速度為0時，汽車的速度達到最大值，最后做勻速運動，所以在t3到 t4時間內圖像斜率先保持不變，再逐漸減小，最后為0，所以C正確，A、B、D錯誤。
10、風力發(fā)電是一種環(huán)保的電能獲取方式。某風力發(fā)電機的葉片轉動形成的圓面積為S，某時間風的速度大小為v，風向恰好跟此圓面垂直；此時空氣的密度為ρ，該風力發(fā)電機將空氣動能轉化為電能的效率為η，則風力發(fā)電機發(fā)電的功率為(　　)
A．ηρSv2 B．ηρSv2
C．ηρSv3 D．ηρSv3
【答案】D
【解析】時間t內，通過風力發(fā)電機葉片轉動形成的圓面的空氣的動能為Ek＝mv2＝ρtSv3，故該風力發(fā)電機發(fā)電的功率為P＝＝＝ηρSv3，故D正確。
11、(多選)質量為2×103 kg的汽車由靜止開始沿平直公路行駛，行駛過程中牽引力F和車速倒數的關系圖像如圖所示．已知行駛過程中最大車速為30 m/s，設阻力恒定，則(　　)

A．汽車所受阻力為6×103 N
B．汽車的車速為5 m/s時，加速度為3 m/s2
C．汽車的車速為15 m/s時，加速度為1 m/s2
D．汽車在行駛過程中的最大功率為6×104 W
【答案】CD
【解析】當牽引力等于阻力時，速度最大，由題圖可知阻力大小Ff＝2 000 N，故A錯誤；車速為5 m/s時，汽車的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，故B錯誤；由題圖可知P＝Ffv＝2 000×30 W＝6×104 W，汽車的最大功率為6×104 W，故D正確；當車速為15 m/s時，牽引力F＝＝ N＝4 000 N，則加速度a′＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正確．
12、(2022·青島黃島區(qū)期末)校園農業(yè)實踐基地里安裝了一個灌溉噴頭，裝置示意圖如圖所示。已知地面與水面的距離為H，用水泵從水池抽水，噴頭與地面的距離為h，水管橫截面積為S，水的密度為ρ，重力加速度為g，不計空氣阻力。水從管口以不變的速度源源不斷地沿水平方向噴出，水落地的位置到噴頭出口的水平距離為4h，設管口橫截面上各處水的速度都相同。

(1)求水從噴頭噴出時的速度大小；
(2)若水泵的工作效率為η，則水泵的功率為多大？
【答案】(1)2　(2)(H＋5h)
【解析】(1)設水噴出管口時的速度為v0，落地時間為t，水做平拋運動有h＝gt2，4h＝v0t，解得v0＝2。
(2)設時間t0內噴出的水的質量為m，則m＝ρv0t0S
水泵t0時間內輸出的功W＝mg(H＋h)＋mv
水泵t0時間內輸出的功率
P＝＝2ρgS (H＋5h)
水泵的功率P0＝＝(H＋5h)。



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