?專題46 中考數(shù)學(xué)分類討論思想

全國(guó)各地每年中考數(shù)學(xué)試題都離不開(kāi)考查分類討論的思想，分類討論思想是在解決問(wèn)題出現(xiàn)不確定性時(shí)的有效方法。比如線段及端點(diǎn)的不確定；角的一邊不確定；三角形形狀不確定；等腰三角形腰或頂角不確定；直角三角形斜邊不確定；相似三角形對(duì)應(yīng)角(邊)不確定等，都需要我們正確地運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行解決。分類討論思想不僅可以使我們有效地解決一些問(wèn)題，同時(shí)還可以培養(yǎng)我們的觀察能力和全面數(shù)學(xué)思維能力。學(xué)生能夠自覺(jué)合理的運(yùn)用分類討論的思想解決相應(yīng)數(shù)學(xué)冋題，掌握分類討論數(shù)學(xué)思想方法這個(gè)銳利武器，提高學(xué)生的綜合運(yùn)用的能力和良好的思維品質(zhì)。
1.分類討論思想含義
數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)可以分解成若干小問(wèn)題或一系列步驟進(jìn)行分類并分別加以討論的方法，我們稱為分類討論法或分類討論思想。
2.分類討論一般應(yīng)遵循以下原則
(1)對(duì)問(wèn)題中的某些條件進(jìn)行分類要遵循同一標(biāo)準(zhǔn)。
(2)分類要完整，不重復(fù)，不遺漏。
(3)有時(shí)分類并不是一次完成，還需進(jìn)行逐級(jí)分類，對(duì)于不同級(jí)的分類，其分類標(biāo)準(zhǔn)不一定統(tǒng)一。
3.需要分類討論的試題基本類型及其要求
(1)考查數(shù)學(xué)概念及定義的分類。熟練掌握數(shù)學(xué)中的概念及定義，其中以絕對(duì)值、方程及根的定義，函數(shù)的定義尤為重要，必須明確討論對(duì)象及原因，進(jìn)而確定其存在的條件和標(biāo)準(zhǔn)。
(2)考查字母的取值情況或范圍的分類。此類問(wèn)題通常在函數(shù)中體現(xiàn)頗多，考查自變量的取值范圍的分類，解題中應(yīng)十分注意性質(zhì)、定理的使用條件及范圍.
(3)考查圖形的位置關(guān)系或形狀的分類。熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰與角以及圓的對(duì)稱性，根據(jù)圖形的特殊性質(zhì)，找準(zhǔn)討論對(duì)象，逐一解決.
(4)考查圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系可能情況的分類。圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系多涉及到三角形的全等或相似問(wèn)題，對(duì)其中可能出現(xiàn)的有關(guān)角、邊的可能對(duì)應(yīng)情況加以分類討論.
4.初中數(shù)學(xué)涉及分類討論的常見(jiàn)問(wèn)題
(1)絕對(duì)值中的分類討論，
(2)應(yīng)用題中的方案類型，
(3)概率統(tǒng)計(jì)中的分類討論，
(4)分式方程無(wú)解的分類討論問(wèn)題
(5)一元二次方程系數(shù)的分類討論問(wèn)題
(6)三角形的形狀不定需要分類討論
(7)等腰三角形的分類討論
(8)相似三角形的對(duì)應(yīng)角(或邊)不確定而進(jìn)行的分類
(9)常見(jiàn)平面問(wèn)題中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的分類討論
(10)組合圖形(一次函數(shù)、二次函數(shù)與平面圖形等組合)中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的分類。
(11)圓中的分類討論等等。

【例題1】(2020?涼山州)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)．若線段AB＝12cm，則線段BD的長(zhǎng)為(　　)
A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm
【答案】C
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和線段三等分點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論．
【解析】∵C是線段AB的中點(diǎn)，AB＝12cm，
∴AC＝BC=12AB=12×12＝6(cm)，
點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)，
①當(dāng)AD=13AC時(shí)，如圖，

BD＝BC+CD＝BC+23AC＝6+4＝10(cm)；
②當(dāng)AD=23AC時(shí)，如圖，
BD＝BC+CD′＝BC+13AC＝6+2＝8(cm)．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019貴州貴陽(yáng))在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)B(1，1)都在直線y＝x+上，若拋物線y＝ax2﹣x+1(a≠0)與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　)

A．a(chǎn)≤﹣2 B．a(chǎn)＜
C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
【答案】C．
【解析】分a＞0，a＜0兩種情況討論，根據(jù)題意列出不等式組，可求a的取值范圍．
∵拋物線y＝ax2﹣x+1(a≠0)與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴令x+＝ax2﹣x+1，則2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①當(dāng)a＜0時(shí)，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②當(dāng)a＞0時(shí)，
解得：a≥1
∴1≤a＜
綜上所述：1≤a＜或a≤﹣2
【例題2】(2020浙江紹興)如圖，已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．若BD的長(zhǎng)為2，則m的值為　 ?。?br />
【分析】由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，得到點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，求得BD垂直平分AC，設(shè)垂足為E，得到BE＝，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時(shí)，如圖，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時(shí)，如圖，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，
∵△ABC是等邊三角形，
∴點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，
∴BD垂直平分AC，
設(shè)垂足為E，
∵AC＝AB＝2，∴BE＝，
當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時(shí)，如圖，
∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；
當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時(shí)，如圖，
∵BD′＝2，∴D′E＝3，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
∴AD′＝＝2，
∴m＝2，
綜上所述，m的值為2或2，
故答案為：2或2．

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019齊齊哈爾)等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，且BD＝AC，則等腰△ABC底角的度數(shù)為　 ?。?br /> 【答案】15°或45°或75°．
【解析】分點(diǎn)A是頂點(diǎn)、點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)、AD在△ABC外部和AD在△ABC內(nèi)部三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)計(jì)算．

①如圖1，點(diǎn)A是頂點(diǎn)時(shí)，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AD＝BC，
∴AD＝BD＝CD，
在Rt△ABD中，∠B＝∠BAD＝×(180°﹣90°)＝45°；
②如圖2，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC外部時(shí)，
∵AD＝BC，AC＝BC，
∴AD＝AC，
∴∠ACD＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC＝×30°＝15°；
③如圖3，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，
∵AD＝BC，AC＝BC，
∴AD＝AC，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC＝(180°﹣30°)＝75°
【例題3】(2020?無(wú)錫)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA交二次函數(shù)y=14x2的圖象于點(diǎn)A，∠AOB＝90°，點(diǎn)B在該二次函數(shù)的圖象上，設(shè)過(guò)點(diǎn)(0，m)(其中m＞0)且平行于x軸的直線交直線OA于點(diǎn)M，交直線OB于點(diǎn)N，以線段OM、ON為鄰邊作矩形OMPN．
(1)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為8．
①用含m的代數(shù)式表示M的坐標(biāo)；
②點(diǎn)P能否落在該二次函數(shù)的圖象上？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)當(dāng)m＝2時(shí)，若點(diǎn)P恰好落在該二次函數(shù)的圖象上，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)滿足條件的所有直線OA的函數(shù)表達(dá)式．

【答案】見(jiàn)解析。
【分析】(1)①求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，直線直線OA的解析式即可解決問(wèn)題．
②求出直線OB的解析式，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出m的值即可．
(2)分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)A在y軸的右側(cè)時(shí)，設(shè)A(a，14a2)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程求出a即可．
②當(dāng)點(diǎn)A在y軸的左側(cè)時(shí)，即為①中點(diǎn)B的位置，利用①中結(jié)論即可解決問(wèn)題．
【解析】(1)①∵點(diǎn)A在y=14x2的圖象上，橫坐標(biāo)為8，
∴A(8，16)，
∴直線OA的解析式為y＝2x，
∵點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為m，
∴M(12m，m)．
②假設(shè)能在拋物線上，
∵∠AOB＝90°，
∴直線OB的解析式為y=-12x，
∵點(diǎn)N在直線OB上，縱坐標(biāo)為m，
∴N(﹣2m，m)，
∴MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(-34m，m)，
∴P(-32m，2m)，把點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到m=329．
(2)①當(dāng)點(diǎn)A在y軸的右側(cè)時(shí)，設(shè)A(a，14a2)，
∴直線OA的解析式為y=14ax，
∴M(8a，2)，
∵OB⊥OA，
∴直線OB的解析式為y=-4ax，可得N(-a2，2)，
∴P(8a-a2，4)，代入拋物線的解析式得到，8a-a2=4，
解得a＝42±4，
∴直線OA的解析式為y＝(2±1)x．
②當(dāng)點(diǎn)A在y軸的左側(cè)時(shí)，即為①中點(diǎn)B的位置，
∴直線OA 的解析式為y=-4ax＝﹣(2±1)x，
綜上所述，滿足條件的直線OA的解析式為y＝(2±1)x或y＝﹣(2±1)x．

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，圓A的半徑為1，如圖所示，若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)，(與點(diǎn)B和C不重合)，設(shè)BO＝x，ΔAOC的面積為.






(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域.
(2)以點(diǎn)O為圓心，BO長(zhǎng)為半徑作圓O，求當(dāng)圓O
與圓A相切時(shí)ΔAOC的面積.
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.
∵∠BAC=90° AB=AC=　　　∴BC=4 　　AD＝BC＝2
∴
即
(2)當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)D重合時(shí)，圓O與圓A相交，不合題意；當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合時(shí)，在RtΔAOD中，
∵⊙A的半徑為1，⊙O的半徑為x　　
∴①當(dāng)⊙A與⊙O外切時(shí)
　　解得　　　
此時(shí)，ΔAOC的面積
②當(dāng)⊙A與⊙O內(nèi)切時(shí)，　解得
此時(shí)ΔAOC的面積
∴當(dāng)⊙A與⊙O相切時(shí)，ΔAOC的面積為.
【點(diǎn)撥】(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D點(diǎn)　∵AB＝AC＝
∴AD＝=2

∴OC=BC－BO=4－x，
故ΔAOC的面積與的函數(shù)解析式為
即　
(2)由于圓與圓相切有兩種情況：外切和內(nèi)切，故解題中須分類討論.

一、選擇題
1．為推進(jìn)新時(shí)代課改，王老師把班級(jí)里40名學(xué)生分成若干小組，每小組只能是5人或6人，則有幾種分組方案(　　)
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
【答案】C．
【解析】根據(jù)題意設(shè)5人一組的有x個(gè)，6人一組的有y個(gè)，利用把班級(jí)里40名學(xué)生分成若干小組，進(jìn)而得出等式求出即可．
5x+6y=40，
當(dāng)x=1，則y=(不合題意)；
當(dāng)x=2，則y=5；
當(dāng)x=3，則y=(不合題意)；
當(dāng)x=4，則y=(不合題意)；
當(dāng)x=5，則y=(不合題意)；
當(dāng)x=6，則y=(不合題意)；
當(dāng)x=7，則y=(不合題意)；
當(dāng)x=8，則y=0；
故有2種分組方案．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意分情況討論得出是解題關(guān)鍵．
2．(2020齊齊哈爾模擬)關(guān)于x的分式方程=有解，則字母a的取值范圍是(　　)
A. a=5或a=0 B. a≠0 C. a≠5 D. a≠5且a≠0
【答案】D
【解析】
=，
去分母得：5(x﹣2)=ax，
去括號(hào)得：5x﹣10=ax，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：
(5﹣a)x=10，
∵關(guān)于x的分式方程=有解，
∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，
即a≠5，
系數(shù)化為1得：x=，
∴≠0且≠2，
即a≠5，a≠0，
綜上所述：關(guān)于x的分式方程=有解，則字母a的取值范圍是a≠5，a≠0。
二、填空題
3．(2020?銅仁市)設(shè)AB，CD，EF是同一平面內(nèi)三條互相平行的直線，已知AB與CD的距離是12cm，EF與CD的距離是5cm，則AB與EF的距離等于　 　cm．
【答案】7或17．
【分析】分兩種情況討論，EF在AB，CD之間或EF在AB，CD同側(cè)，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解析】分兩種情況：
①當(dāng)EF在AB，CD之間時(shí)，如圖：

∵AB與CD的距離是12cm，EF與CD的距離是5cm，
∴EF與AB的距離為12﹣5＝7(cm)．
②當(dāng)EF在AB，CD同側(cè)時(shí)，如圖：

∵AB與CD的距離是12cm，EF與CD的距離是5cm，
∴EF與AB的距離為12+5＝17(cm)．
綜上所述，EF與AB的距離為7cm或17cm．
4．(2020?齊齊哈爾)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是　 　．
【答案】10或11．
【解析】分3是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解即可．
①3是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、4，
∵此時(shí)能組成三角形，
∴周長(zhǎng)＝3+3+4＝10；
②3是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、4、4，
此時(shí)能組成三角形，
所以周長(zhǎng)＝3+4+4＝11．
綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10或11．
5．(2020?泰州)如圖，直線a⊥b，垂足為H，點(diǎn)P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一動(dòng)點(diǎn)，若以1cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP的長(zhǎng)為　 ?。?br />
【答案】3cm或5cm．
【分析】當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的左側(cè)⊙O與直線a相切時(shí)，OP＝PH﹣OH；當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的右側(cè)⊙O與直線a相切時(shí)，OP＝PH+OH，即可得出結(jié)果．
【解析】∵直線a⊥b，O為直線b上一動(dòng)點(diǎn)，
∴⊙O與直線a相切時(shí)，切點(diǎn)為H，
∴OH＝1cm，
當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的左側(cè)，⊙O與直線a相切時(shí)，如圖1所示：

OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3(cm)；
當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的右側(cè)，⊙O與直線a相切時(shí)，如圖2所示：

OP＝PH+OH＝4+1＝5(cm)；
∴⊙O與直線a相切，OP的長(zhǎng)為3cm或5cm.
6．(2020?哈爾濱)在△ABC中，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，AD＝63，CD＝1，則BC的長(zhǎng)為　?。?br /> 【答案】7或5．
【解析】在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的意義，求出BD的長(zhǎng)，再分類進(jìn)行解答．
在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝63，
∴BD=ADtanB=633=6，
如圖1、圖2所示：
BC＝BD+CD＝6+1＝7，
BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5

7．(2020?黑龍江)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=35a，連接AE，將△ABE沿AE折疊．若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的邊上，則折痕的長(zhǎng)為　 　．
【答案】2或305．
【解析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B'落在AD邊上時(shí)，證出△ABE是等腰直角三角形，得出AE=2AB=2；
②當(dāng)點(diǎn)B'落在CD邊上時(shí)，證明△ADB'∽△B'CE，得出B'DEC=AB'B'E，求出BE=35a=55，由勾股定理求出AE即可．
解：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B'落在AD邊上時(shí)，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵將△ABE沿AE折疊．點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的AD邊上，
∴∠BAE＝∠B'AE=12∠BAD＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝1，AE=2AB=2；
②當(dāng)點(diǎn)B'落在CD邊上時(shí)，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a，
∵將△ABE沿AE折疊．點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的CD邊上，
∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，BE'＝BE=35a，
∴CE＝BC﹣BE＝a-35a=25a，B'D=AB'2-AD2=1-a2，
在△ADB'和△B'CE中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADB'∽△B'CE，
∴B'DEC=AB'B'E，即1-a225a=135a，
解得：a=53，或a＝0(舍去)，
∴BE=35a=55，
∴AE=AB2+BE2=12+(55)2=305；
綜上所述，折痕的長(zhǎng)為2或305；
故答案為：2或305．
三、解答題
8．(2020?湖州)已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB邊上的一點(diǎn)，將∠B沿著過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)B落在AC邊的點(diǎn)P處(不與點(diǎn)A，C重合)，折痕交BC邊于點(diǎn)E．
(1)特例感知 如圖1，若∠C＝60°，D是AB的中點(diǎn)，求證：AP=12AC；
(2)變式求異 如圖2，若∠C＝90°，m＝62，AD＝7，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，求DH和AP的長(zhǎng)；
(3)化歸探究 如圖3，若m＝10，AB＝12，且當(dāng)AD＝a時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．

【答案】見(jiàn)解析。
【解析】(1)證明：∵AC＝BC，∠C＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB，∠A＝60°，
由題意，得DB＝DP，DA＝DB，
∴DA＝DP，
∴△ADP使得等邊三角形，
∴AP＝AD=12AB=12AC．
(2)解：∵AC＝BC＝62，∠C＝90°，
∴AB=AC2+BC2=(62)2+(62)2=12，
∵DH⊥AC，
∴DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DHBC=ADAB，
∵AD＝7，
∴DH62=712，
∴DH=722，
將∠B沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，
情形一：當(dāng)點(diǎn)B落在線段CH上的點(diǎn)P1處時(shí)，如圖2﹣1中，

∵AB＝12，
∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，
∴HP1=DP12-DH2=52-(722)2=22，
∴A1＝AH+HP1＝42，
情形二：當(dāng)點(diǎn)B落在線段AH上的點(diǎn)P2處時(shí)，如圖2﹣2中，

同法可證HP2=22，
∴AP2＝AH﹣HP2＝32，
綜上所述，滿足條件的AP的值為42或32．
(3)如圖3中，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AC于P．

∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∴CH=AC2-AH2=102-62=8，
當(dāng)DB＝DP時(shí)，設(shè)BD＝PD＝x，則AD＝12﹣x，
∵sinA=CHAC=PDAD，
∴810=x12-x，
∴x=163，
∴AD＝AB﹣BD=203，
觀察圖形可知當(dāng)6＜a＜203時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置．
、9．(2020?遵義)如圖，拋物線y＝ax2+94x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)和點(diǎn)C(0，3)與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MP∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出⊙M的半徑．

【答案】見(jiàn)解析。
【解析】(1)把點(diǎn)A(﹣1，0)和點(diǎn)C (0，3)代入y＝ax2+94x+c得：0=a-94+c3=c，
解得：a=-34c=3，
∴拋物線的解析式為：y=-34x2+94x+3；
(2)不存在，理由如下：
①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右邊時(shí)，如圖1所示：
假設(shè)△QCO為等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OC于H，
∵點(diǎn)C (0，3)，
∴OC＝3，
則OH=12OC=32，tan60°=QHOH，
∴QH＝OH?tan60°=32×3=332，∴Q(332，32)，
把x=332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=2738-3316≠32，
∴假設(shè)不成立，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右邊時(shí)，不存在△QCO為等邊三角形；
②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的左邊時(shí)，如圖2所示：
假設(shè)△QCO為等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)Q作QT⊥OC于T，
∵點(diǎn)C (0，3)，
∴OC＝3，
則OT=12OC=32，tan60°=QTOT，
∴QT＝OT?tan60°=32×3=332，
∴Q(-332，32)，
把x=-332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=-2738-3316≠32，
∴假設(shè)不成立，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左邊時(shí)，不存在△QCO為等邊三角形；
綜上所述，在拋物線上不存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形；
(3)令-34x2+94x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B(4，0)，
設(shè)BC直線的解析式為：y＝kx+b，
把B、C的坐標(biāo)代入則0=4k+b3=b，
解得：k=-34b=3，
∴BC直線的解析式為：y=-34x+3，
當(dāng)M在線段BC上，⊙M與x軸相切時(shí)，如圖3所示：
延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)D，
則點(diǎn)D為⊙M與x軸的切點(diǎn)，即PM＝MD，
設(shè)P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，
則PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴(-34x2+94x+3)﹣(-34x+3)=-34x+3，
解得：x1＝1，x2＝4(不合題意舍去)，
∴⊙M的半徑為：MD=-34+3=94；
當(dāng)M在線段BC上，⊙M與y軸相切時(shí)，如圖4所示：
延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，
則點(diǎn)E為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
設(shè)P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，
則PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴(-34x2+94x+3)﹣(-34x+3)＝x，
解得：x1=83，x2＝0(不合題意舍去)，
∴⊙M的半徑為：EM=83；
當(dāng)M在BC延長(zhǎng)線，⊙M與x軸相切時(shí)，如圖5所示：

點(diǎn)P與A重合，
∴M的橫坐標(biāo)為﹣1，
∴⊙M的半徑為：M的縱坐標(biāo)的值，
即：-34×(﹣1)+3=154；
當(dāng)M在CB延長(zhǎng)線，⊙M與y軸相切時(shí)，如圖6所示：

延長(zhǎng)PD交x軸于D，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，
則點(diǎn)E為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
設(shè)P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，
則PD=34x2-94x﹣3，MD=34x﹣3，
∴(34x2-94x﹣3)﹣(34x﹣3)＝x，
解得：x1=163，x2＝0(不合題意舍去)，
∴⊙M的半徑為：EM=163；
綜上所述，⊙M的半徑為94或83或154或163．


10．(2019遼寧本溪)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC邊上一點(diǎn)，且DA＝DB，O是AB的中點(diǎn)，CE是△BCD的中線．
(1)如圖a，連接OC，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關(guān)系：　 ?。?br /> (2)點(diǎn)M是射線EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線ON，使∠MON＝∠ADB，ON與射線CA交于點(diǎn)N．
①如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系；
②若∠BAC＝30°，BC＝m，當(dāng)∠AON＝15°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段ME的長(zhǎng)度(用含m的代數(shù)式表示)．

【答案】見(jiàn)解析。
【解析】(1)結(jié)論：∠ECO＝∠OAC．
理由：如圖1中，連接OE．







∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，
∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，
∴∠OCA＝∠A，
∵BE＝ED，BO＝OA，
∴OE∥AD，OE＝AD，
∴CE＝EO．
∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，
∴∠ECO＝∠OAC．
故答案為：∠OCE＝∠OAC．
(2)如圖2中，

∵OC＝OA，DA＝DB，
∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，
∴∠COA＝∠ADB，
∵∠MON＝∠ADB，
∴∠AOC＝∠MON，
∴∠COM＝∠AON，
∵∠ECO＝∠OAC，
∴∠MCO＝∠NAO，
∵OC＝OA，
∴△COM≌△AON(ASA)，
∴OM＝ON．
②如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)N在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，
∴∠AON＝∠ANO＝15°，
∴OA＝AN＝m，
∵△OCM≌△OAN，
∴CM＝AN＝m，
在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，
∴BD＝m，
∵BE＝ED，
∴CE＝BD＝m，
∴EM＝CM+CE＝m+m．
如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，作OH⊥AC于H．

∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，
∴∠ONH＝15°+30°＝45°，
∴OH＝HN＝m，
∵AH＝m，
∴CM＝AN＝m﹣m，
∵EC＝m，
∴EM＝EC﹣CM＝m﹣(m﹣m)＝m﹣m，
綜上所述，滿足條件的EM的值為m+m或m﹣m．






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