?專題10?二次函數(shù)與平行四邊形含矩形菱形正方形的存在性問題
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評(píng)卷人
得分



一、解答題
1．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)．
??
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為．對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)F，P是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．

(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)在（2）的條件下，連接，E是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以F、P、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
3．如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)，并經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，，.點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿著射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過點(diǎn)E作于F，以為對(duì)角線作正方形．
　　
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
(3)在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的直線AB與y軸交于點(diǎn)．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)軸且時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，連接BC．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．
(2)如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長度的最大值．
(3)動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．已知二次函數(shù)．
(1)有關(guān)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列結(jié)論中正確的有______．（填序號(hào)）
①二次函數(shù)的圖象開口向上；
②二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線；
③二次函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（0，3）和（2，3）；
④函數(shù)值y隨著x的增大而減?。?br /> (2)當(dāng)時(shí)，①拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______；
②將拋物線沿x軸翻折得到拋物線，則拋物線的表達(dá)式為______；
(3)設(shè)拋物線與y軸相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線軸，與拋物線的另一交點(diǎn)為F，將拋物線沿直線l翻折，得到拋物線，拋物線，的頂點(diǎn)分別記為P，Q．是否存在實(shí)數(shù)m，使得以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

8．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)（A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C． 已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥軸交BC于點(diǎn)E，求PE的最大值及此時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，OF平分△COB的面積，將拋物線沿射線CB方向平移，當(dāng)拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，記平移后的拋物線為．已知點(diǎn)M是原拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為，，經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)若的平分線交于點(diǎn)E，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)H，點(diǎn)M，N分別為拋物線及其對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使得以點(diǎn)M，N，H，E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
10．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x﹣與x軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線y=ax2﹣3x+c的對(duì)稱軸是x=．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，得到直線m，點(diǎn)P是直線m上任意一點(diǎn)，PB⊥x軸于點(diǎn)B，PC⊥y軸于點(diǎn)C，若點(diǎn)E在線段OB上，點(diǎn)F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且PF=3PE，求證：PE⊥PF；
（3）若（2）中的點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，2），點(diǎn)E是x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)F是y軸上的點(diǎn)，當(dāng)PE⊥PF時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在x軸上，，以A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上．

(1)求拋物線解析式；
(2)若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A→B方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D平行于y軸的直線l交拋物線于點(diǎn)Q，連接，當(dāng)t為何值時(shí)，的面積最大？最大值是多少？
(3)若點(diǎn)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，在x軸上方是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，M，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
12．如圖，已知拋物線與x軸相交于，，與y軸相交于點(diǎn)C．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，且的面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)直線，垂足為C，直線l上有一點(diǎn)N，在坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)M，是否存在以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案：
1．(1)
(2)
(3)存在，或或

【分析】（1）由二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，得二次函數(shù)頂點(diǎn)為，設(shè)頂點(diǎn)式，將點(diǎn)代入即可求出函數(shù)解析式；
（2）連接，根據(jù)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)，分三種情況：當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出n即可．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，
二次函數(shù)頂點(diǎn)為，
設(shè)二次函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)代入得，，
，
；
（2）如圖，連接，
????
當(dāng)時(shí)，，
或2，，
點(diǎn)P在拋物線上，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，


；
（3）設(shè)，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，
綜上：或或．
【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線與圖形面積，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形是性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)Q坐標(biāo)為或或

【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式可得C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)交點(diǎn)式表達(dá)式，待定系數(shù)法求解即可；
（2）如圖1，連接，，設(shè)，根據(jù)，得到二次函數(shù)表達(dá)式，求最值即可；
（3）如圖2，由點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)Q在拋物線上，分兩種情況求解：①是平行四邊形的邊，觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，代入求解滿足題意的解即可；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，代入求解滿足題意的解即可．
【詳解】（1）解：由拋物線，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為
∵拋物線過已知點(diǎn)，點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線表達(dá)式為，即，
將代入得，
解得，
∴拋物線表達(dá)式為．
（2）解：如圖1，連接，，設(shè)

∵，，
∴，，
∴

，
∵，
∴時(shí)，四邊形的面積最大，
∴．
（3）解：存在．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 或 或 ．
如圖2，由點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)Q在拋物線上，分兩種情況求解：

①是平行四邊形的邊，觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為
∴當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）或
∴；
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴的坐標(biāo)為或 ；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，滿足條件的點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，
∴，解得（舍去）或，
∴；
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為或 或 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與面積的綜合，二次函數(shù)與平行四邊形的綜合．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
3．(1)
(2)，
(3)或（3，-3）或

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）求出直線BC解析式，通過△EGF為等腰直角三角形表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，將G點(diǎn)代入BC解析式即可求得m的值，從而求得G點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將矩形轉(zhuǎn)化為直角三角形，當(dāng)△BGC是直角三角形時(shí)，當(dāng)△BCG為直角三角形時(shí)，當(dāng)△CBG為直角三角形時(shí)，分情況討論分別列出等式求得m的值，即可求得G點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）將點(diǎn)A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直線對(duì)稱軸，可得 ，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）∵A（0，-4），D，
∴△AOD為等腰直角三角形，
∵軸交拋物線于點(diǎn)B，
∴B（4，-4），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b′，
將B（4，-4），C（6，0）代入解析式得，
，解得，
∴直線BC解析式為y=2x-12，
由題意可得，△ADB為等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形EGFH為正方形，
∴△EGF為等腰直角三角形，
∴，
點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)上時(shí)，滿足直線BC解析式y(tǒng)=2x-12，
∴，
∴，此時(shí)；
（3）B（4，-4），C（6，0），，
∴,，,
要使以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，
需滿足：
當(dāng)△BGC是直角三角形時(shí)，，
，
解得，，，
此時(shí)G或（3，-3）；
當(dāng)△BCG為直角三角形時(shí)，，
，
解得，，
此時(shí)G；
當(dāng)△CBG為直角三角形時(shí)，，
，
解得，，
此時(shí)G；
綜上所述：點(diǎn)G坐標(biāo)為或（3，-3）或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題，存在矩形問題，利用數(shù)形結(jié)合，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．
4．(1)
(2)或或
(3)存在，或或或

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
(2)求出直線AB的表達(dá)式為，設(shè)，，分當(dāng)M在N點(diǎn)上方時(shí)，．和當(dāng)M在N點(diǎn)下方時(shí)，，即可求出M的坐標(biāo)；
（3）畫出圖形，分AC是四邊形的邊和AC是四邊形的對(duì)角線，進(jìn)行討論，利用勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、函數(shù)圖像的交點(diǎn)、平移等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線的表達(dá)式為．
（2）設(shè)直線AB的解析式為：，
∵直線AB經(jīng)過，，
∴，
∴，
∴直線AB的表達(dá)式為．

∵軸，可設(shè)，，其中．
當(dāng)M在N點(diǎn)上方時(shí)，．
解得，（舍去）．
∴．
當(dāng)M在N點(diǎn)下方時(shí)， ．
解得，．
∴，．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有三個(gè)，，．
（3）存在．滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)有4個(gè)．，，，．
理由如下：
①如圖，若AC是四邊形的邊．

當(dāng)時(shí)，
∴拋物線的對(duì)稱軸與直線AB相交于點(diǎn)．
過點(diǎn)C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點(diǎn)，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴點(diǎn)與點(diǎn)D重合．
當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．
∵向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到．
∴向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到．
此時(shí)直線的解析式為．
∵直線與平行且過點(diǎn)，
∴直線的解析式為．
∵點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，
∴．
解得，（舍去）．
∴．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．
∵向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到．
∴向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到．
②如圖，若AC是四邊形的對(duì)角線，

當(dāng)時(shí)．過點(diǎn)作軸，垂足為H，過點(diǎn)C作，垂足為K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如圖，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)．即，．

當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．
∵向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到．
∴向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到．
當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．
∵向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到．
∴向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到．
綜上，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的平移等知識(shí)，根據(jù)題意畫出符合條件的圖形、進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
5．(1)y＝﹣x2﹣x+4
(2)S最大＝，D（﹣，5）
(3)存在，Q（﹣2，）

【分析】（1）先求得A，C，B三點(diǎn)的坐標(biāo)，將拋物線設(shè)為交點(diǎn)式，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根據(jù)點(diǎn)D和點(diǎn)E坐標(biāo)可表示出DE的長，進(jìn)而表示出三角形ADC的面積，進(jìn)而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（3）根據(jù)菱形性質(zhì)可得PA＝PC，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)，進(jìn)一步求得點(diǎn)Q坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，
∴C （0，4），
當(dāng)y＝0時(shí)，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴設(shè)拋物線的表達(dá)式：y＝a（x﹣1）?（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）?（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如圖1，

作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝?（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S最大＝，
當(dāng)m＝﹣時(shí)，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）設(shè)P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝y(tǒng)A+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，勾股定理，菱形性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)二次函數(shù)和菱形性質(zhì)
6．(1)，（-3，0）
(2)
(3)或（-2，1）或

【分析】（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a，c的值，進(jìn)而得出解析式，當(dāng)y=0時(shí)，求出方程的解，進(jìn)而求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由B，C兩點(diǎn)求出BC的解析式，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo)，表示出PQ的長，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（3）要使以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分為PM=BM，PM=PB和BP=BM，結(jié)合圖象，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)A(1，0)，C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴拋物線解析式為；
令 y=0，則，
解得：，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）；
（2）解：設(shè)直線BC的解析式為，
把點(diǎn)B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴直線BC的解析式為，
設(shè)點(diǎn)，則，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，PQ最大，最大值為；
（3）解：存在，
根據(jù)題意得：，則，
如圖，當(dāng)BM=PM時(shí)，

∵B（-3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
延長NP交y軸于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∴PN∥x軸，BN∥PM，即DN⊥y軸，
∴△CDP為等腰直角三角形，
∴，
∵BM=PM，
∴∠MPB=∠OBC=45°，
∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，
∴四邊形OMPD是矩形，
∴OM=PD=t，MP⊥x軸，
∴BN⊥x軸，
∵BM+OM=OB，
∴t+t=3，解得，
∴，
∴；
如圖，當(dāng)PM=PB時(shí)，作PD⊥y軸于D，連接PN，

∵點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∴PN⊥BM，NE=PE，
∴BM=2BE，
∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，
∴四邊形PDOE是矩形，
∴OE=PD=t，
∴BE=3-t，
∴t=2（3-t），解得：t=2，
∴P（-2，-1），
∴N（-2，1）；
如圖，當(dāng)PB=MB時(shí)，

，解得：，
∴，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴PE⊥PM，
∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，
∴四邊形OEPN為矩形，
∴PN=OE，PN⊥y軸，
∵∠OBC=45°，
∴，
∴，
∴點(diǎn)N在y軸上，
∴，
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或（-2，1）或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的分類和等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出符合條件的圖形．
7．(1)②③
(2)①（1，2）；②；
(3)存在實(shí)數(shù)m，使得以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，m的值為1或

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖形的性質(zhì)判斷；
（2）①代值計(jì)算即可；②根據(jù)翻折的后的頂點(diǎn)坐標(biāo)直接解出函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)找到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，列方程求解即可．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向上，故①不一定正確；
拋物線的對(duì)稱軸為直線，故②正確；
在中，時(shí)時(shí)，即拋物線經(jīng)過定點(diǎn)（0，3）和（2，3），故③正確；
二次函數(shù)的值在對(duì)稱軸兩側(cè)的增減性恰好相反，故④不正確；
故答案為：②③；
（2）當(dāng)時(shí)，，
①∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
故答案為：（1，2）；
②∵將拋物線沿x軸翻折得到拋物線，
∴拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣2），
∴拋物線的表達(dá)式為，
故答案為：；
（3）存在實(shí)數(shù)m，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，理由如下：
如圖：

在中，令得，
∴E（0，3），
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴F（2，3），
在中，令得，
∴P（1，3﹣m），
∵P，Q關(guān)于直線對(duì)稱，
∴Q（1，3+m），
由對(duì)稱性知EF，PQ互相平分，且，
∴以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，只需，
∴，
解得或，
∴m的值為1或．
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的幾何綜合，解題關(guān)鍵是找到特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代值計(jì)算，解題技巧是根據(jù)正方形的推論出邊長的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)直接計(jì)算．
8．(1) ，(2) ，（2，）；(3)（，）或（，）或（，）．
【分析】(1)根據(jù)tan∠CAO＝2，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求解析式；
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出PE長，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值和P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
(3)求出F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平移求出解析式，設(shè)出點(diǎn)C、B、M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列方程即可．
【詳解】(1)解：把x=0代入，得，y=3，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），OC=3，
∵tan∠CAO＝2，
∴OA= ，A點(diǎn)作標(biāo)為（，0），B（4，0），代入解析式得，
，
解得，，
拋物線解析式為，
(2) 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，直線BC解析式為，把B（4，0），C（0，3）代入得，，解得，，直線BC解析式為；
∵PE∥軸，
∴，解得，，故E點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
PE=，
當(dāng)m=2時(shí)，PE有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）；
(3) ∵OF平分△COB的面積，
∴點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，由B（4，0），C（0，3）可得F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），
拋物線向右平移2個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到拋物線為，拋物線化為頂點(diǎn)式為，平移后拋物線解析式為，
設(shè)M的坐標(biāo)為，N點(diǎn)坐標(biāo)為（，d），B（4，0），C（0，3），
當(dāng)MN為對(duì)角線時(shí)，，解得，，N點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
當(dāng)MB為對(duì)角線時(shí)，，解得，，N點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
當(dāng)MC為對(duì)角線時(shí)，，解得，，N點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的綜合，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式和方程組．
9．(1)
(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為
(3)、或

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)求點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、用待定系數(shù)法求解析式．
（2）由平分易證得，故有，求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線解析式．求拋物線對(duì)稱軸為直線，即求得點(diǎn)坐標(biāo)．作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，由于點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，故有，所以當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，最?。么ㄏ禂?shù)法求直線解析式，即求得與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）設(shè)與相交于點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)為，即能用表示、的長，由于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得，把代入解方程即求得的值即求得點(diǎn)坐標(biāo)．待定系數(shù)法求直線解析式，令時(shí)求的值即為點(diǎn)坐標(biāo)．故可得，且點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱．由于以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形中，、固定，以為平行四邊形的邊或?qū)蔷€進(jìn)行分類討論．①以為邊時(shí)，可得，且，故可得點(diǎn)橫坐標(biāo)為3或11，代入拋物線解析式即求得縱坐標(biāo)．②以為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可得點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，求頂點(diǎn)即可．
【詳解】（1）平行四邊形中，，，
，軸，
，，即，
設(shè)拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、，
，解得：，
拋物線解析式為；
（2）如圖1，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，

，
，
，
，
平分，
，
，
，
，即，
直線解析式為，
直線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線：，
，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸上，
，，
當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，最小，
設(shè)直線解析式為，
，解得：，
直線，
當(dāng)時(shí)，解得：，
當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為．
（3）存在滿足條件的點(diǎn)，，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖2，

于點(diǎn)，，
，
，
，
解得：（舍去），，
，
設(shè)直線解析式為，
???解得：，
直線，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
，
，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，
①當(dāng)為以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊時(shí)，如圖2，
則，，
點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸：直線上，
或，即或3，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
或，
②當(dāng)為以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖3，

則、互相平分，
直線平分，點(diǎn)在直線上，
點(diǎn)在直線上，即為拋物線頂點(diǎn)，
，
，
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為、或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，角平分線定義，等腰三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑，解二元一次方程，勾股定理，解一元二次方程．其中第（2）題由軸對(duì)稱求最短路徑和第（3）題已知平行四邊形的兩頂點(diǎn)固定、求另兩個(gè)頂點(diǎn)位置，都是函數(shù)與幾何綜合題里的常考題型．
10．（1）拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）證明見解析；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【分析】（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線過點(diǎn)A，對(duì)稱軸是x=列出關(guān)于a、c的方程組求解即可；
（2）設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進(jìn)行證明即可；
（3）設(shè)E（a，0），然后用含a的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到，，從而可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a的式子表示），最后，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a的值即可．
【詳解】（1）當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=4，即A（4，0），拋物線過點(diǎn)A，對(duì)稱軸是x=，得，
解得，拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，得到直線m，
∴直線m的解析式為y=x．
∵點(diǎn)P是直線1上任意一點(diǎn)，
∴設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PE，
∴．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如圖所示，點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)E（a，0），則BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF為矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，設(shè)E（a，0），則BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF為矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，用含a的式子表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
11．(1)
(2)當(dāng)時(shí)，其最大值為1
(3)點(diǎn)或或

【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）首先求出直線的解析式，然后利用即可求解；
（3）分是菱形一條邊、是菱形一對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．
【詳解】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，
故拋物線的解析式為：；
（2）設(shè)直線的解析式為：，
由題意可得：，
解得：，
直線的表達(dá)式為：，
點(diǎn)，則點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，，
，
，
故有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為1；
（3）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
①當(dāng)是菱形一條邊時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右方時(shí)，
點(diǎn)向右平移3個(gè)單位、向下平移3個(gè)單位得到，
則點(diǎn)向右平移3個(gè)單位、向下平移3個(gè)單位得到，
則，，
而得：，
解得：，
故點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左方時(shí)，
同理可得：點(diǎn)；
②當(dāng)是菱形一對(duì)角線時(shí)，
則中點(diǎn)即為中點(diǎn)，
則，，
而，即，
解得：，
故，，
故點(diǎn)；
綜上，點(diǎn)或或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到菱形的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
12．(1)
(2)或
(3)或或或或或

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）求出直線的解析式，令過點(diǎn)且與y軸平行的直線交于點(diǎn)，設(shè)，則，可得，求出的值即可得點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為F，根據(jù)角的關(guān)系可得，求出，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)，，分三種情況討論：①當(dāng)為正方形的對(duì)角線時(shí)，；②當(dāng)為正方形的對(duì)角線時(shí)，；③當(dāng)為正方形的對(duì)角線時(shí)，；根據(jù)正方形的對(duì)角線互相平分，對(duì)角線長與邊長的關(guān)系，利用勾股定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程組，求解點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）將，代入，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）令，則，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
∴直線的解析式為，
令過點(diǎn)且與y軸平行的直線交于點(diǎn)，
設(shè)，則，
，
，
解得或，
或；
（3）存在以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
理由：設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，，

①當(dāng)為正方形的對(duì)角線時(shí)，，
∴，
解得或，
∴或；
②當(dāng)為正方形的對(duì)角線時(shí)，，
∴，
解得或，
∴或；
③當(dāng)為正方形的對(duì)角線時(shí)，，
∴，
解得或，
∴或；
綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為或或或或或．

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．

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專題10 二次函數(shù)與平行四邊形含矩形菱形正方形的存在性問題-2023年中考數(shù)學(xué)二輪專題提升訓(xùn)練：

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初中數(shù)學(xué)第二十二章 二次函數(shù)22.3 實(shí)際問題與二次函數(shù)課時(shí)練習(xí)

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