考試要求：1．理解等比數(shù)列的概念及通項公式的意義．2．探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系．3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
必備知識·回顧教材重“四基”
(1)注意：①等比數(shù)列的每一項都不可能為0.②公比是每一項與其前一項的比，前后次序不能顛倒，且公比是一個與n無關(guān)的常數(shù)．(2)“G2＝ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件．
3．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．(2)對任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，則_______＝_______．特別地，若m＋n＝2p，則___________．(3)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列，即(S2m－Sm)2＝_______________(m∈N*，公比q≠－1或q＝－1，m為奇數(shù))．
(4)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}(p≠0，p是常數(shù))也是_____數(shù)列．(5)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為___．
4．等比數(shù)列{an}的單調(diào)性
等比數(shù)列的單調(diào)性并不是只與公比有關(guān)，而是與首項和公比都有關(guān)系．
5．在3與192中間插入兩個數(shù)使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為________．12，48　解析：設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的兩個數(shù)分別為3×4＝12，12×4＝48.
關(guān)鍵能力·研析考點強“四翼”
考點1　等比數(shù)列基本量的計算——基礎(chǔ)性
考點2　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用——綜合性
考點3　等比數(shù)列的判斷和證明——應(yīng)用性
拓展考點　構(gòu)造法解答數(shù)列問題
1．主要的運算錯誤：解高次方程時，未能轉(zhuǎn)化為雙二次方程求解；結(jié)構(gòu)相同的式子未能通過兩式相除，約去相同部分簡化運算，導(dǎo)致運算麻煩或失誤．2．忽視條件致誤：忽視如“正項”“遞增”等數(shù)列的性質(zhì)導(dǎo)致錯解．
等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用的要點(1)在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但如果能靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)，如“若m＋n＝p＋q，則有aman＝apaq”，則可以減少運算量．(2)等比數(shù)列的項經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如等比數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，公比為qk(q≠－1)．
考向1　定義法判定等比數(shù)列例2　已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
判斷或證明一個數(shù)列為等比數(shù)列時應(yīng)注意的問題(1)判斷或者證明數(shù)列是否為等比數(shù)列最基本的方法是定義法．(2)等比數(shù)列的前n項和公式法一般不用于證明，可在選擇或填空題中靈活使用．(3)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列．
對于數(shù)列通項公式的求解，除了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的方法以外，根據(jù)所給遞推公式的特點，還有以下幾種構(gòu)造方式．構(gòu)造法1　形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型(1)若c＝1，數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(2)若d＝0，數(shù)列{an}為等比數(shù)列．
例4　在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝3an＋2，則通項an＝_____．2·3n-1－1　解析：因為an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．又a1＝1，所以a1＋1＝2，故數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an＋1＝2·3n-1，所以an＝2·3n-1－1.
構(gòu)造法3　相鄰項的差為特殊數(shù)列(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型)可化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩根．
一題N解·深化綜合提“素養(yǎng)”
已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S10＝20，S20＝60，則S30＝_______．
思路參考：利用性質(zhì)Sn＋m＝Sn＋qnSm.140　解析：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可得S20＝S10＋q10S10，即60＝20＋20q10，解得q10＝2，所以S30＝S10＋q10S20＝20＋2×60＝140.
思路參考：利用性質(zhì)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．140　解析：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可知S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，則(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(60－20)2＝20(S30－60)，解得S30＝140.
1．本題考查等比數(shù)列的求和問題，解法靈活多變，基本解題策略是借助等比數(shù)列的基本量計算，或轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列和的性質(zhì)求解，對于此類問題要注意認真計算或轉(zhuǎn)化．2．基于課程標準，解答本題一般需要具備良好的運算求解能力、推理能力和轉(zhuǎn)化能力．本題的解答體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，試題的解答過程展現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法多樣化的魅力．3．基于高考數(shù)學(xué)評價體系，本題條件明確簡單，通過知識之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，將數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型．本題可以從不同的角度解答，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性；同時，解題的過程需要知識之間的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了綜合性．

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