關(guān)鍵能力·研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”
考點(diǎn)1　分離參數(shù)法解決恒(能)成立問(wèn)題——綜合性
考點(diǎn)2　等價(jià)轉(zhuǎn)化法解決恒(能)成立問(wèn)題——綜合性
考點(diǎn)3　雙參不等式恒(能)成立問(wèn)題——綜合性
分離參數(shù)法解決恒(能)成立問(wèn)題的策略(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題．(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)有解?a≥f(x)min；a≤f(x)有解?a≤f(x)max.
當(dāng)x在(0，＋∞)內(nèi)變化時(shí)，h′(x)，h(x)隨x的變化情況如下表：
等價(jià)轉(zhuǎn)化法解決恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)求新函數(shù)單調(diào)性與最值解決問(wèn)題．
已知函數(shù)f(x)＝eaxln x－x＋1(a∈R)．(2)若對(duì)任意x∈(0，1)，f(x)＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：由(1)知當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，則f(x)＜f(1)＝0符合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，x∈(0，1)，則eax＞1，ln x＜0，所以eaxln x＜ln x.由(1)知f(x)＝ln x－x＋1＜f(1)＝0，所以eaxln x＜ln x＜x－1，故f(x)＜ln x－x＋1＜0成立，則a＞0符合題意．
一題N解·深化綜合提“素養(yǎng)”
思路參考：構(gòu)造函數(shù)h(x)＝x ln x－ax＋a＋e－2的方式，把不等式問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)研究．解：x2f(x)＋a≥2－e，即x ln x－ax＋a＋e－2≥0對(duì)任意的x∈(0，＋∞)恒成立．令h(x)＝x ln x－ax＋a＋e－2，則h′(x)＝ln x＋1－a.
令h′(x)＝0，得x＝ea-1.當(dāng)x∈(0，ea-1)時(shí)，h′(x)0.所以h(x)的最小值是h(ea-1)＝a＋e－2－ea-1.令t(a)＝a＋e－2－ea-1，則t′(a)＝1－ea-1.令t′(a)＝0，得a＝1.
令h′(a)＝0得到a＝3－e.當(dāng)a∈[0，3－e)時(shí)，h′(a)>0，h(a)單調(diào)遞增；當(dāng)a∈(3－e，＋∞)時(shí)，h′(a)0，且h(3－e)＝e－2>0，但是因?yàn)閔(2)＝0，所以0≤a≤2.
思路參考：把不等式通過(guò)等價(jià)變形后，使不等號(hào)的一邊出現(xiàn)直線的方程h(x)＝a(x－1)＋(2－e)，再分析不等號(hào)另外一邊的函數(shù)g(x)＝x ln x的單調(diào)性，就會(huì)發(fā)現(xiàn)二者相切時(shí)即為參數(shù)的臨界值．解：通過(guò)變形原不等式等價(jià)于證明：x ln x≥a(x－1)＋(2－e)，x∈(0，＋∞)．若令g(x)＝x ln x和h(x)＝a(x－1)＋(2－e)．則只需證明函數(shù)g(x)的圖象在直線h(x)的上方．
首先分析g(x)＝x ln x的圖象．由解法3可知：當(dāng)x∈(0，e-1)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(e-1，＋∞)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，且g(x)min＝g(e-1)＝－e-1.其次分析h(x)＝a(x－1)＋(2－e)的圖象．因?yàn)閍≥0，所以h(x)表示過(guò)定點(diǎn)(1，2－e)的直線，且g(x)min＝－e-1>2－e.兩個(gè)函數(shù)的圖象大致如圖(1)所示：
圖(1)　　　　　　　
當(dāng)t′(a)＝0時(shí)，a＝1.當(dāng)a∈[0，1]時(shí)，t′(a)≥0，t(a)單調(diào)遞增；當(dāng)a∈[1，＋∞)時(shí)，t′(a)0且t(1)＝e－2>0，所以函數(shù)t(a)在區(qū)間[0，1]上無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，＋∞)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)a＝2.綜上所述，a∈[0，2].
也就是說(shuō)a＝0時(shí)，g(x)的圖象在h(x)的圖象上方．如圖(3)：
所以當(dāng)a越來(lái)越大時(shí)，兩個(gè)圖象會(huì)越來(lái)越接近．所以當(dāng)g(x)和h(x)的圖象相切時(shí)，a取得最大值，如圖(4)．
1．本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，基本解題方法是——參變分離、數(shù)形結(jié)合、最值分析等．在求解過(guò)程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”．依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界點(diǎn)．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要有良好的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力．本題的解答體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，本題涉及函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題．此類題在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面起到了積極的作用，是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)．

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