江蘇省無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)十月份月考試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?無(wú)錫僑誼初二數(shù)學(xué)十月份限時(shí)練習(xí)
一．選擇題
1．如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（　　）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
2．如圖，將△ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，折痕l與邊BC交于點(diǎn)D，連接AD，則AD一定是△ABC的（　　）
A．中線 B．高線 C．角平分線 D．無(wú)法確定
3．如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過(guò)點(diǎn)A、C畫(huà)一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫(huà)圖原理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

第1題第2題第3題
4．如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置，若∠DEF＝65°，則∠C′FB是（　　）?
A．45° B．50° C．60° D．65°

第4題第5題第7題
5．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，且與AB垂直．若點(diǎn)P到BC的距離是4，則AD的長(zhǎng)為（　 ?。?br /> A．8 B．6 C．4 D．2
6．有一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一座涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在（　　）
A．三角形三條角平分線的交點(diǎn) B．三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)
C．三角形三條中線的交點(diǎn) D．三角形三條高線的交點(diǎn)
7．如圖，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，記∠OAD＝α，∠ABO＝β，當(dāng)BC∥OA時(shí)，α與β之間的數(shù)量關(guān)系為（　　）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
8．如圖，在△ABC中，∠ABC＝52°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)M，N，若M在PA的垂直平分線上，N在PC的垂直平分線上，則∠APC的度數(shù)為（　　）
A．115° B．116° C．117° D．118°
9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，D是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CD，將△CDB沿著CD翻折，得到△CDE，當(dāng)△CDE的三邊與△ABC的三邊有一組邊平行時(shí)，∠CDB的度數(shù)不可能的是（　?。?br /> A．15° B．45° C．60° D．75°
10．如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥
AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AC的延長(zhǎng)線交FG于點(diǎn)H．有下列結(jié)論：
①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．
其中正確的結(jié)論有（　 ?。?br /> A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

第8題第9題第10題
11．如圖，在△PAB中，∠A＝∠B，M、N、K分別是PA、PB、AB上的點(diǎn)，且AM＝BK，BN＝AK，若
∠MKN＝40°，則∠P的度數(shù)為（　?。?br /> A．100° B．110°
C．80° D．90°
二．填空題
12．如圖是從鏡子里看到的號(hào)碼，則實(shí)際號(hào)碼應(yīng)是　 ?。?br /> 13．如圖，OE是∠AOB的平分線，BD⊥OA于點(diǎn)D，AC⊥BO于點(diǎn)C，則關(guān)于直線OE對(duì)稱的三角形共有
　　對(duì)．

第12題第13題第14題第15題
14．如圖，△ABC中，BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D，若△ABD的周長(zhǎng)為12cm，則AB+AC＝
　　cm．
15．如圖，在△ABC中，∠APE＝160°，AP＝PE，BP平分∠ABC，則∠ABP＝　　°．
16．如圖，在∠AOB的邊OA、OB上取點(diǎn)M、N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則OM+ON的長(zhǎng)是　 ?。?br /> 17．如圖在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥BC交BC于F，AC＝8，BC＝12，則BF的長(zhǎng)為　 ?。?br /> 18．如圖，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在射線BD上運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束），當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有△ACP與△BPQ全等，此時(shí)t＝　 ?。?br />

第16題第17題第18題

三．解答題
19．如圖．△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)P、Q、R分別在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．
求證：點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．

20．如圖，AB＝AD，∠DAC＝∠BAE，∠B＝∠D，求證BC＝DE．

21．如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于點(diǎn)E，EF⊥AB交AB于點(diǎn)F，EG⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）BF與CG的大小關(guān)系如何？證明你的結(jié)論；
（2）若AB＝10，AC＝6，求AF的長(zhǎng)．

22．（1）如圖1，已知△ABC，請(qǐng)用圓規(guī)和直尺在BC上找一點(diǎn)D，使△ABC沿直線AD折疊，點(diǎn)C落在邊AB上（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）如圖2，已知△ABC，請(qǐng)用圓規(guī)和直尺在BC上找一點(diǎn)D，使△ABC沿過(guò)點(diǎn)D的某一條直線折疊，點(diǎn)C落在邊AB上的E處，且DE⊥AB．（不寫作法，保留作圖痕跡）

23．如圖：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
（2）連接AM，求證：MA平分∠EMF．

24．已知：如圖，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于點(diǎn)F，BD＝CD，CE平分∠ACB．
（1）如圖1，試說(shuō)明BE＝CF．
（2）如圖2，若點(diǎn)M在邊BC上（不與點(diǎn)B重合），MN⊥AB于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫出BN
與MG的數(shù)量關(guān)系，并畫(huà)出能夠說(shuō)明該結(jié)論成立的輔助線，不必書(shū)寫過(guò)程．

25．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C→B→C做勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）證明：AD∥BC．
（2）在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，
請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)△DEG與△BFG全等的情況．

備用圖1 備用圖2參考答案與試題解析
一．選擇題
1．如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（　?。?br />
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
【解答】解：A、添加AB＝AC可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此選項(xiàng)不合題意；
B、添加BD＝CD不能判定△ABD≌△ACD，故此選項(xiàng)符合題意；
C、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此選項(xiàng)不合題意；
D、添加∠BDA＝∠CDA可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
2．如圖，將△ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，折痕l與邊BC交于點(diǎn)D，連接AD，則AD一定是△ABC的（　?。?br />
A．中線 B．高線 C．角平分線 D．無(wú)法確定
【解答】解：把△ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，折痕l與邊BC交于點(diǎn)D，
∴BD＝CD，
∴AD一定是△ABC的中線，
故選：A．
3．如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過(guò)點(diǎn)A、C畫(huà)一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫(huà)圖原理是（　?。?br />
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【解答】解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AE是∠PRQ的平分線，
故選：A．
4．如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置，若∠DEF＝65°，則∠C′FB是（　　）?

A．45° B．50° C．60° D．65°
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝65°，
由折疊的性質(zhì)得到：D′E∥C'F，
∴∠FED′+∠EFC′＝180°，
∴∠EFC′＝115°，
∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝50°．
故選：B．
5．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，且與AB垂直．若點(diǎn)P到BC的距離是4，則AD的長(zhǎng)為（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E，

∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分別平分∠ABC 和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD，
∵PE＝4，
∴AD＝2PE＝8．
故選：A．
6．有一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一座涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在（　?。?br /> A．三角形三條角平分線的交點(diǎn)
B．三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)
C．三角形三條中線的交點(diǎn)
D．三角形三條高線的交點(diǎn)
【解答】解：要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，
故選：A．
7．如圖，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，記∠OAD＝α，∠ABO＝β，當(dāng)BC∥OA時(shí)，α與β之間的數(shù)量關(guān)系為（　?。?br />
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴，
整理得，α＝2β．
故選：B．
8．如圖，在△ABC中，∠ABC＝52°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)M，N，若M在PA的垂直平分線上，N在PC的垂直平分線上，則∠APC的度數(shù)為（　?。?br />
A．115° B．116° C．117° D．118°
【解答】解：∵∠ABC＝52°，∴∠BMN+∠BNM＝128°．
∵M(jìn)在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，∴AM＝PM，PN＝CN．
∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，
∴∠MPA＝∠BMN，∠CPN＝∠BNM．
∴∠MPA+∠CPN＝（∠BMN+∠BNM）＝×128°＝64°．
∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．
故選：B．
9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，D是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CD，將△CDB沿著CD翻折，得到△CDE，當(dāng)△CDE的三邊與△ABC的三邊有一組邊平行時(shí)，∠CDB的度數(shù)不可能的是（　　）

A．15° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：當(dāng)D點(diǎn)在線段AB上且CE∥AB時(shí)，如圖，∠CDB＝∠ECD，

由折疊可知：∠ECD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠CDB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝∠BCD＝45°，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)D點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)且AC∥BE時(shí)，如圖，∠EDB＝∠CAB＝30°，
由折疊可知：∠EDC＝∠CDB，
∴∠CDB＝15°，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)D點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)且AC∥BE時(shí)，如圖，∠CAB+∠ADE＝180°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ADE＝150°，
由折疊可知：∠CDB＝∠CDE，
∴∠CDB＝75°，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．

10．如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AC的延長(zhǎng)線交FG于點(diǎn)H．有下列結(jié)論：
①∠DAE＝∠F；
②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；
③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；
④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．
其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
【解答】解：如圖，①∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正確；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）＝90°﹣（∠ACE+∠BAC）
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC）＝（∠ABD﹣∠ACE），
即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE
故②正確；

③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴點(diǎn)E到AB和AC的距離相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正確；
④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正確；
故選：D．
11．如圖，在△PAB中，∠A＝∠B，M、N、K分別是PA、PB、AB上的點(diǎn)，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝40°，則∠P的度數(shù)為（　?。?br />
A．100° B．110° C．80° D．90°
【解答】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN（SAS），
∴∠AMK＝∠BKN，
∵∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，
∴∠A＝∠MKN＝40°＝∠B，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故選：A．

二．填空題
12．如圖是從鏡子里看到的號(hào)碼，則實(shí)際號(hào)碼應(yīng)是　3265?。?br />
【解答】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)于鏡面對(duì)稱，又在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，則這個(gè)號(hào)碼是3265．
故答案為：3265．
13．如圖，OE是∠AOB的平分線，BD⊥OA于點(diǎn)D，AC⊥BO于點(diǎn)C，則關(guān)于直線OE對(duì)稱的三角形共有　4　對(duì)．

【解答】解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4對(duì)．
故答案為：4．

14．如圖，△ABC中，BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D，若△ABD的周長(zhǎng)為12cm，則AB+AC＝　12　cm．

【解答】解：∵l是BC的垂直平分線，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周長(zhǎng)為12cm，
∴AB+AD+BD＝12cm，
∴AB+AD+DC＝12cm，
∴AB+AC＝12cm，
故答案為：12．
15．如圖，在△ABC中，∠APE＝160°，AP＝PE，BP平分∠ABC，則∠ABP＝　10　°．

【解答】解：過(guò)P作PM⊥BC于M，，PN⊥AB于N，
∴∠PME＝∠PNA＝90°，
∵BP平分∠ABC，
∴PN＝PM，
在Rt△APN與Rt△EPM中，，∴Rt△APN≌Rt△EPM（HL），
∴∠APN＝∠EPM，
∴∠NPM＝∠APE＝160°，
∴∠ABC＝360°﹣∠NPM﹣∠PNB﹣∠PMB＝20°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝ABC＝10°，
故答案為：10．

16．如圖，在∠AOB的邊OA、OB上取點(diǎn)M、N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則OM+ON的長(zhǎng)是　10　．

【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥MN，垂足為F，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OA，垂足為G，連接OP，
∵P是△MON外角平分線的交點(diǎn)，∴PF＝PG＝PE，
∵M(jìn)N＝2，△PMN的面積是2，∴MN?PF＝2，
∴PF＝2，∴PG＝PE＝2，
∵△OMN的面積是8，
∴△OMP的面積+△ONP的面積﹣△PMN的面積＝8，
∴OM?PG+ON?PE﹣2＝8，∴OM+ON＝10，
故答案為：10．

17．如圖在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥BC交BC于F，AC＝8，BC＝12，則BF的長(zhǎng)為　10?。?br /> 【解答】解：連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，
∴EA＝EB，
∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ACE+∠ECG＝180°，
∴∠ECG＝∠BCE，
∵EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EG＝EF，
在Rt△EFC和Rt△EGC中，，∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL），
∴CF＝CG，
同理可得：BF＝AG，
∴12﹣CF＝8+CF，
解得：CF＝2，
∴BF＝12﹣2＝10，
故答案為：10．
18．如圖，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在射線BD上運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束），當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有△ACP與△BPQ全等，此時(shí)t＝　1s或?。?br />

【解答】解：分兩種情況：
①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，可得
5＝7﹣2t，
解得：t＝1s，
②若△ACP≌△BQP，則AP＝BP，
2t＝7﹣2t，
解得．
故答案為：1s或．

三．解答題
19．如圖．△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)P、Q、R分別在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．
求證：點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．

【解答】證明：連接PQ，
在△BQP和△CRQ中，，∴△BQP≌△CRQ，
∴QP＝QR，
∴點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．

20．如圖，AB＝AD，∠DAC＝∠BAE，∠B＝∠D，求證BC＝DE．

【解答】證明：∵∠DAC＝∠BAE，
∴∠DAC+∠BAD＝∠BAE+∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC＝DE．

21．如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于點(diǎn)E，EF⊥AB交AB于點(diǎn)F，EG⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）BF與CG的大小關(guān)系如何？證明你的結(jié)論；
（2）若AB＝10，AC＝6，求AF的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）BF＝CG．理由如下：
如圖，連接BE、EC，
∵ED⊥BC，D為BC中點(diǎn)，
∴BE＝EC，
∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG．
（2）在Rt△AEF和Rt△AEG中，，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），
∴AF＝AG，
∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF＝CG，
∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AF，∴2AF＝16，
∴AF＝8．

22．（1）如圖1，已知△ABC，請(qǐng)用圓規(guī)和直尺在BC上找一點(diǎn)D，使△ABC沿直線AD折疊，點(diǎn)C落在邊AB上（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）如圖2，已知△ABC，請(qǐng)用圓規(guī)和直尺在BC上找一點(diǎn)D，使△ABC沿過(guò)點(diǎn)D的某一條直線折疊，點(diǎn)C落在邊AB上的E處，且DE⊥AB．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【解答】解：（1）如圖1，點(diǎn)D即為所求．
（2）如圖2，點(diǎn)D即為所求．

23．如圖：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
（2）連接AM，求證：MA平分∠EMF．
【解答】（1）解：結(jié)論：EC＝BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠CAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF．
在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF
∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM＝90°，
∴∠EMB＝90°，
∴EC⊥BF．
∴EC＝BF，EC⊥BF．

（2）證明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．
∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．

24．已知：如圖，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于點(diǎn)F，BD＝CD，CE平分∠ACB．
（1）如圖1，試說(shuō)明BE＝CF．
（2）如圖2，若點(diǎn)M在邊BC上（不與點(diǎn)B重合），MN⊥AB于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫出BN與MG的數(shù)量關(guān)系，并畫(huà)出能夠說(shuō)明該結(jié)論成立的輔助線，不必書(shū)寫過(guò)程．

【解答】（1）證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△FCD中，，∴△ABD≌△FCD（ASA），
∴AB＝CF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝22.5°，
在△ACE和△BCE中，，
∴△ACE≌△BCE（ASA），
∴AE＝BE，
∴BE＝AB＝CF；

（2）解：BN＝MG，
理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，

∵BD＝CD，BD⊥CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵M(jìn)H∥AC，
∴∠PMB＝∠DCB＝∠PBM＝45°，∠BPM＝∠BDC＝90°，
∴BP＝PM，
∵∠BHP+∠HBP＝90°，∠BHP+∠HMN＝90°，
∴∠HBP＝∠HMN，
在△BHP和△MGP中，，∴△BPH≌△MPG（ASA），
∴GM＝BH，
∵M(jìn)N⊥AB，CE⊥AB，
∴MN∥CE，
∴∠BMN＝∠BCE＝∠ACB＝22.5°，
∴∠BMN＝∠HMN＝22.5°，
在△BMN和△HMN中，，∴△BMN≌△HMN（ASA），
∴BN＝NH，
∴BN＝BH＝MG．

25．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C→B→C做勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）證明：AD∥BC．
（2）在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)△DEG與△BFG全等的情況．

【解答】（1）證明：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為v，
當(dāng)時(shí)，
若△DEG≌△BGF，則，∴，∴，∴v＝3；

若△DEG≌△BGF，則，∴，∴（舍去）；
當(dāng)時(shí)，若△DEG≌△BFG，則，∴，∴，∴；
若△DEG≌△BGF，則，∴，∴，∴v＝1．
綜上，當(dāng)點(diǎn)G的速度為3或1.5或1時(shí)．會(huì)出現(xiàn)△DEG與△BFG全等的情況．

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