?一．選擇題（共9小題）
1．如圖，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．則菱形的面積為（　?。?br />
A．20 B．40 C．28 D．24
2．如圖△ABC中，AD是角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四邊形AEDF周長為（　?。?br />
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
3．已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是（　?。?br /> A．選①② B．選②③ C．選①③ D．選②④
4．如圖，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，則∠ANM＝（　?。?br />
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．在某次冠狀病毒感染中，有3只動物被感染，后來經過兩輪感染后共有363只動物被感染．若每輪感染中平均一只動物會感染x只動物，則下面所列方程正確的是（　?。?br /> A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
6．若方程x2+2mx﹣3＝0的二次項系數、一次項系數、常數項的和為0，則該方程的解為（　?。?br /> A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
7．某種品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由520元降為312元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（　?。?br /> A．520（1﹣x）2＝312 B．520（1+x）2＝312
C．520（1﹣2x）2＝312 D．520（1﹣x2）＝312
8．如圖，有一塊等腰三角形材料，底邊BC＝80cm，高AD＝120cm，現(xiàn)要把它加工成正方形零件，使其一邊在BC邊上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，則這個正方形零件的邊長為（　?。?br />
A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
9．下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（　?。?br /> A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
二．填空題（共17小題）
10．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足為點E，則DE＝　 ?。?br />
11．如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB、CD于E、F，連接PB、PD．若AE＝3，PF＝5．則圖中陰影部分的面積為　 ?。?br />
12．如圖，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，點D是AB的中點，EB∥CD，EC∥AB，則四邊形CEBD的周長是 　 ?。?br />
13．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AB于E，若AC＝4，∠BAC＝30°，那么AE＝　 ?。?br />
14．方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，則m應滿足的條件為　 ?。?br /> 15．某企業(yè)2014年底繳稅400萬元，2016年底繳稅484萬元，設這兩年該企業(yè)繳稅額年平均增長率為x，根據題意可列方程　 　．
16．關于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m有兩個相等的實數根，則m＝　 　．
17．寫一個你喜歡的實數m的值 　 　，使關于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數根．
18．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，動點P從點C出發(fā)，沿CA方向運動，速度是2cm/s；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC方向運動，速度是1cm/s，則經過 　 　s后，P，Q兩點之間相距25cm．

19．某公司3月份的利潤為200萬元，5月份的利潤為242萬元，則平均每月利潤的增長率是 　 　．
20．在創(chuàng)建“文明校園”的活動中，班級決定從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩名同學擔任本周的值周長，那么抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的概率是 　 　．
21．一枚質地均勻的骰子，六個面分別標有數字1，2，3，4，5，6．連續(xù)拋擲骰子兩次，第一次正面朝上的數字作為十位數，第二次正面朝上的數字作為個位數，則這個兩位數能被3整除的概率為 　 　．
22．若＝，則＝　 　．
23．若，則的值為　 ?。?br /> 24．如圖，點D是△ABC邊BC上的一點，且，點E是AD的中點，連接BE并延長交AC于點F，則的值為 　 　．

25．如圖，在?ABCD中，點F在CD上，且CF：DF＝1：2，則S△BCF：S?ABCD＝　 　．

26．《九章算術》中記載了一種測量井深的方法．如圖，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點E，如果測得AE＝1.3米，BD＝1.2米、BE＝0.2米，那么AC＝　 　米．

三．解答題（共34小題）
27．如圖，菱形ABCD的邊長為10，∠ABC＝60°，對角線AC、BD相交于點O，點E在對角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點F．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）求證：AE＝EF．

28．已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且CE＝CF，求證：AE＝AF．

29．已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥DB，交AB的延長線于點E．求證：AC＝EC．

30．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求證：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面積．

31．已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．∠1＝∠2．求證：?ABCD是矩形．

32．如圖，在周長為16的正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且∠EOF＝90°，連接EF交OB于M．
（1）求證：△BOE≌△COF；
（2）當BE＝1時，求OB?OM的值．

33．已知矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．分別過點D、C作AC、BD的平行線交于點E．
（1）求證：四邊形OCED為菱形．
（2）若AB＝3，BC＝4，求菱形OCED的面積．

34．如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△OAB是等邊三角形．
（1）求證：?ABCD為矩形；
（2）若AB＝4，求?ABCD的面積．

35．如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點E，點F為四邊形ABCD外一點，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求證：四邊形ABDF是菱形；
（2）若AB＝5，求AC的長．

36．如圖，已知在△ABC中，D為BC的中點，連接AD，E為AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF為平行四邊形．
（2）當四邊形ADCF為矩形時，AB與AC應滿足怎樣的數量關系？請說明理由．

37．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，點E，F(xiàn)分別為AB、CD中點，連接AF，CE．
（1）求證：AF＝CE；
（2）在AF上取點P，連接PE、PC，若CD＝10，AD＝12，求△PEC的面積．

38．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）連接EF并延長，交AD的延長線于點G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的長．

39．如圖，已知?ABCD，延長AB到E，使BE＝AB，連接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求證：四邊形BECD是矩形；
（2）連接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的長．

40．已知，如圖正方形ABCD中，E為CD邊上一點，BF⊥AE于點F，DG⊥AE于點G．
（1）求證：△ABF≌△DAG．
（2）若FG＝1，DG＝2，求AB的長．

41．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是CB，CD上的點，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度數．

42．如圖，BD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥BC交AB于點E，DF∥AB交BC于點F．
（1）求證：四邊形BEDF為菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面積．

43．如圖，矩形ABCD紙片，E是AB上的一點，且BE：EA＝5：3，CE＝15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好與AD邊上的點F重合，求AB、BC的長．

44．已知：如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點，且AE＝AD，DF⊥AE于點F．
（1）求證：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面積．

45．在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．求證：四邊形BFDE是矩形．

46．如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF∥AE．
（1）求證：四邊形BECF是菱形；
（2）當∠A＝　 　°時，四邊形BECF是正方形；
（3）在（2）的條件下，若AC＝4，則四邊形ABFC的面積為 　 ?。?br />
47．2022年2月4日至20日，第24屆冬奧會在北京和張家口舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜愛．某廠家1月份生產10萬個“冰墩墩”，1月底因市場對“冰墩墩“需求量大增，為滿足市場需求，工廠決定從2月份開始擴大產量，3月份產量達到12.1萬個．已知2月份和3月份產量的月平均增長率相同．
（1）求“冰墩墩”產量的月平均增長率；
（2）按照（1）中的月平均增長率，預計4月份的產量為多少個？
48．某超市銷售一種品牌童裝，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面對2008年下半年全球的金融危機，超市采用降價措施，每件童裝每降價2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天銷售童裝利潤為1000元，那么每件童裝應降價多少元？（列方程，并化為一般形式）．
49．為扎實推進“五育并舉”工作，某校利用課外活動時間開設了舞蹈、籃球、圍棋和足球四個社團活動，每個學生只選擇一項活動參加．為了解活動開展情況，學校隨機抽取部分學生進行調查，將調查結果繪成如下表格和扇形統(tǒng)計圖．
參加四個社團活動人數統(tǒng)計表
社團活動
舞蹈
籃球
圍棋
足球
人數
50
30

80
請根據以上信息，回答下列問題：
（1）抽取的學生共有 　 　人，其中參加圍棋社的有 　 　人；
（2）若該校有3200人，估計全校參加籃球社的學生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名學生參加足球社，現(xiàn)從中隨機抽取2名學生參加學校足球隊，請用樹狀圖或列表法說明恰好抽到一男一女的概率．

50．某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質量，促進學生全面健康發(fā)展為優(yōu)化師資配備，學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程（要求必須選修一門且只能選修一門）？”的隨機問卷調查，并根據調查數據繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：
請結合上述信息，解答下列問題：
（1）共有 　 　名學生參與了本次問卷調查；“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是 　 　度；
（2）補全調查結果條形統(tǒng)計圖；
（3）小剛和小強分別從“禮儀”等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．

51．如圖，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．
求證：△ABC∽△DEF．

52．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的長；
（2）若AC＝BC，求證：△CDE∽△DFE．

53．如圖所示，在△ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線上一點，過點A作AF∥BC交ED的延長線于點F，連接AE，CF．
求證：（1）四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）FG?BE＝CE?AE．

54．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的長．

55．如圖，已知菱形ABCD中，對角線ACBD相交于點O，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E．
（1）求證：四邊形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四邊形CODE的周長．

56．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AB的中點，過點E作EF⊥BC，交BC于點F，過點O作OG∥EF．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AB＝8，EF＝3，求CG的長．


57．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．

58．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，求OP的長．

59．如圖，在△ABC中AB＝AC，D為BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點O．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求AD的長．

60．如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，過點C作CE∥OD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E．
（1）求證：四邊形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面積．


參考答案與試題解析
一．選擇題（共9小題）
1．如圖，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．則菱形的面積為（　?。?br />
A．20 B．40 C．28 D．24
【考點】菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】D
【分析】根據菱形的面積等于對角線乘積的一半可得答案．
【解答】解：菱形的面積為6×8÷2＝24，
故選：D．
【點評】本題主要考查了菱形的性質，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關鍵．
2．如圖△ABC中，AD是角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四邊形AEDF周長為（　?。?br />
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
【考點】菱形的判定與性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】由角平分線的定義，可得∠EAD＝∠DAF＝∠ADE，進而可得AE＝ED，由平行四邊形的性質可得答案．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EDA＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴平行四邊形AEDF是菱形．
∴四邊形AEDF周長為4AE＝16．
故選：B．
【點評】本題考查菱形的判定和平行四邊形的性質．運用了菱形的判定方法“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”．
3．已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是（　?。?br /> A．選①② B．選②③ C．選①③ D．選②④
【考點】正方形的判定；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形．
【解答】解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；
B、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意；
C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；
D、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．
4．如圖，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，則∠ANM＝（　?。?br />
A．40° B．45° C．50° D．55°
【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】C
【分析】結合本題，作NF⊥BC于F，易知：△NMF是直角三角形，△ECB是直角三角形，BC＝MF，CE＝MN，即△NMF≌△CEB；接下來根據全等三角形對應角相等即可解答本題．
【解答】解：作NF⊥BC于F，

又四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠NFM＝90°，AB＝CD，
∴四邊形ABFN是矩形，
∴FN＝BC＝AB．
在Rt△BEC和Rt△FMN中，
CE＝MN，BC＝FN，
∴Rt△BEC≌Rt△FMN（HL），
∴∠MNF＝∠MCE＝40°，
∴∠ANM＝90°﹣∠MNF＝50°．
故選：C．
【點評】本題考查正方形的性質及全等三角形的判定與性質，熟練掌握正方形的性質與三角形全等的判定是解答關鍵．
5．在某次冠狀病毒感染中，有3只動物被感染，后來經過兩輪感染后共有363只動物被感染．若每輪感染中平均一只動物會感染x只動物，則下面所列方程正確的是（　?。?br /> A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．菁優(yōu)網版權所有
【答案】C
【分析】設每輪感染中平均一只動物會感染x只動物．則經過一輪感染，一只動物感染給了x只動物，這（x+1）只動物又感染給了x（1+x）只動物．等量關系：經過兩輪感染后就會有363只動物被感染．
【解答】解：每輪感染中平均一只動物會感染x只動物，列方程得：3（1+x）2＝363，
故選：C．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，能夠正確表示每輪感染中，有多少只動物被感染是解決此題的關鍵．
6．若方程x2+2mx﹣3＝0的二次項系數、一次項系數、常數項的和為0，則該方程的解為（　　）
A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【考點】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的一般形式．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】先找出方程的二次項系數、一次項系數、常數項，再得出方程1+2m+（﹣3）＝0，求出m，再求出方程的解即可．
【解答】解：方程x2+2mx﹣3＝0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是1，2m，﹣3，
∵方程x2+2mx﹣3＝0的二次項系數、一次項系數、常數項的和為0，
∴1+2m+（﹣3）＝0，
解得：m＝1，
即方程為x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式和解一元二次方程，能求出m的值是解此題的關鍵，注意：解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
7．某種品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由520元降為312元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（　?。?br /> A．520（1﹣x）2＝312 B．520（1+x）2＝312
C．520（1﹣2x）2＝312 D．520（1﹣x2）＝312
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．菁優(yōu)網版權所有
【答案】A
【分析】設每次降價的百分率為x，根據降價后的價格＝降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是560（1﹣x），第二次后的價格是560（1﹣x）2，據此即可列方程．
【解答】解：設每次降價的百分率為x，由題意得：
520（1﹣x）2＝312，
故選：A．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價格問題主要解決價格變化前后的平衡關系，列出方程即可．
8．如圖，有一塊等腰三角形材料，底邊BC＝80cm，高AD＝120cm，現(xiàn)要把它加工成正方形零件，使其一邊在BC邊上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，則這個正方形零件的邊長為（　?。?br />
A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
【考點】相似三角形的應用；等腰三角形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】C
【分析】設正方形的邊長為xcm，表示出AK的長度，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式，然后進行計算即可得解．
【解答】解：設正方形的邊長為xcm，則AK＝（120﹣x）cm，
∵四邊形HEFG是正方形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48，
故選：C．
【點評】本題主要考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應高的比等于對應邊的比，表示出AK的長度，然后列出比例式是解題的關鍵．
9．下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（　?。?br /> A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
【考點】比例線段．菁優(yōu)網版權所有
【答案】D
【分析】根據比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合題意，
B.1×4≠2×3，故不符合題意，
C.≠2×3，故不符合題意，
D.，故符合題意，
故選：D．
【點評】此題考查了比例線段，根據成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．
二．填空題（共17小題）
10．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足為點E，則DE＝　?。?br />
【考點】菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】根據菱形的性質得出AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，求出AO和DO，求出AD，根據菱形的面積公式求出即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝BC×DE，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了菱形的性質和勾股定理，能求出菱形的邊長是解此題的關鍵．
11．如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB、CD于E、F，連接PB、PD．若AE＝3，PF＝5．則圖中陰影部分的面積為　15　．

【考點】矩形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】15．
【分析】由矩形的性質可證明S△PEB＝S△PFD，即可求解．
【解答】解：過點P作直線PM⊥AD于M，交BC于N．

則有四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×5＝7.5，
∴S陰＝7.5+7.5＝15，
故答案為：15．
【點評】本題考查矩形的性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是證明S△PEB＝S△PFD．
12．如圖，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，點D是AB的中點，EB∥CD，EC∥AB，則四邊形CEBD的周長是 　6?。?br />
【考點】菱形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理的逆定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】6．
【分析】先證明四邊形CEBD是平行四邊形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明四邊形CEBD是菱形，進而可以解決問題．
【解答】解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四邊形CEBD是平行四邊形，
在△ABC中，
∵AC＝，BC＝4，AB＝3，
∴AC2+BC2＝（）2+42＝18，AB2＝（3）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵點D是AB的中點，
∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四邊形CEBD是菱形，
四邊形CEBD的周長＝4DB＝4×＝6．
【點評】本題考查了菱形的判定與性質、勾股定理逆定理、直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握菱形的判定與性質，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決本題的關鍵．
13．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AB于E，若AC＝4，∠BAC＝30°，那么AE＝　?。?br />
【考點】矩形的性質；線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】．
【分析】由矩形的性質可得AO＝CO＝2，由直角三角形的性質可得AE＝2OE，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝2，
∵∠BAC＝30°，OE⊥AC，
∴AE＝2OE，
∵AE2﹣OE2＝AO2＝4，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了矩形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，掌握矩形的性質是解題的關鍵．
14．方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，則m應滿足的條件為　m≠1?。?br /> 【考點】一元二次方程的定義．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可確定出m的值．
【解答】解：方程整理得：（m﹣1）x2+（m﹣3）x﹣2＝0，
由題意得：m﹣1≠0，即m≠1，
故答案為：m≠1
【點評】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關鍵．
15．某企業(yè)2014年底繳稅400萬元，2016年底繳稅484萬元，設這兩年該企業(yè)繳稅額年平均增長率為x，根據題意可列方程　400（1+x）2＝484?。?br /> 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】利用增長率模型即可列出方程．
【解答】解：
∵2014年底繳稅400萬元，2016年底繳稅484萬元，
∴設年平均增長率為x，則可列出方程為400（1+x）2＝484，
故答案為：400（1+x）2＝484．
【點評】本題主要考查一元二次方程的應用，掌握增長率模型是解題的關鍵，即a（1±x）2＝b．
16．關于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m有兩個相等的實數根，則m＝　　．
【考點】根的判別式．菁優(yōu)網版權所有
【答案】．
【分析】根據方程有兩個相等的實數根，得到根的判別式等于0，進而建立方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵關于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m，即x2﹣4x+1+2m＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝0，即16﹣4（1+2m）＝0，
解得：m＝．
故答案為：．
【點評】此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關鍵．
17．寫一個你喜歡的實數m的值 　0　，使關于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數根．
【考點】根的判別式．菁優(yōu)網版權所有
【答案】0．
【分析】根據一元二次方程根的情況可得Δ＝1﹣4×2m＞0，即可求出m的取值范圍，進一步給m賦值即可．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝1﹣4×2m＞0，
解得m＜，
可取m＝0，
故答案為：0．
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．
18．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，動點P從點C出發(fā)，沿CA方向運動，速度是2cm/s；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC方向運動，速度是1cm/s，則經過 　10　s后，P，Q兩點之間相距25cm．

【考點】一元二次方程的應用．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】設x秒后P、Q兩點相距25cm，用x表示出CP、CQ，根據勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：設x秒后P、Q兩點相距25cm，
則CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由題意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
則10秒后P、Q兩點相距25cm．
故答案為：10．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．
19．某公司3月份的利潤為200萬元，5月份的利潤為242萬元，則平均每月利潤的增長率是 　10%　．
【考點】一元二次方程的應用．菁優(yōu)網版權所有
【答案】10%．
【分析】設平均每月利潤的增長率是x，利用5月份的利潤＝3月份的利潤×（1+平均每月利潤的增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
【解答】解：設平均每月利潤的增長率是x，
依題意得：200（1+x）2＝242，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去），
∴平均每月利潤的增長率為10%．
故答案為：10%．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
20．在創(chuàng)建“文明校園”的活動中，班級決定從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩名同學擔任本周的值周長，那么抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的概率是 　　．
【考點】列表法與樹狀圖法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】．
【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結果數和抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的結果數，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：設兩名男生分別記為A，B，兩名女生分別記為C，D，
畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的結果有8種，
∴抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的概率為＝．
故答案為：．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，解題時要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝．
21．一枚質地均勻的骰子，六個面分別標有數字1，2，3，4，5，6．連續(xù)拋擲骰子兩次，第一次正面朝上的數字作為十位數，第二次正面朝上的數字作為個位數，則這個兩位數能被3整除的概率為 　?。?br /> 【考點】列表法與樹狀圖法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】．
【分析】畫樹狀圖，共有36種等可能的結果，其中所得兩位數能被3整除的結果有12種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有36種等可能的結果，其中所得兩位數能被3整除的結果有12種，
∴兩位數能被3整除的概率為 ＝，
故答案為：．
【點評】此題考查的是樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
22．若＝，則＝　?。?br /> 【考點】比例的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】由＝，可以假設x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入計算即可解決問題．
【解答】解：∵＝，
∴可以假設x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴＝＝＝．
故答案為．
【點評】本題考查比例的性質，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型．
23．若，則的值為　?。?br /> 【考點】比例的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】依據比例的性質，即可得到2a＝3b，進而得出的值．
【解答】解：∵，
∴2a＝3b，
∴a＝1.5b，
∴＝＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了比例的性質，解題時注意：內項之積等于外項之積．
24．如圖，點D是△ABC邊BC上的一點，且，點E是AD的中點，連接BE并延長交AC于點F，則的值為 　?。?br />
【考點】平行線分線段成比例．菁優(yōu)網版權所有
【答案】．
【分析】作DH∥AC交BF于H，如圖，先證明△EDH≌△EAF得到DH＝AF，然后根據平行線分線段成比例定理即可得到結論．
【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如圖，
∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵，DH∥CF，
∴＝＝＝，
∴＝，
故答案為：．

【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考常考題型．
25．如圖，在?ABCD中，點F在CD上，且CF：DF＝1：2，則S△BCF：S?ABCD＝　1：6?。?br />
【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】1：6．
【分析】設CF＝a，DF＝2a，S△CEF＝S，則CD＝3a．利用相似三角形的性質求出平行四邊形的面積，即可解決問題．
【解答】解：設CF＝a，DF＝2a，S△CEF＝S，則CD＝3a．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝3a，AB∥CF，
∴△CFE∽△ABE，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝9S，
∴S△BCE＝3S，
∴S△BCF＝4S，
∴S平行四邊形ABCD＝2?S△ABC＝24S，
∴S△BCF：S?ABCD＝4：24＝1：6，
故答案為1：6．
【點評】本題考查平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型．
26．《九章算術》中記載了一種測量井深的方法．如圖，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點E，如果測得AE＝1.3米，BD＝1.2米、BE＝0.2米，那么AC＝　7.8　米．

【考點】相似三角形的應用．菁優(yōu)網版權所有
【答案】7.8．
【分析】根據平行線的判定定理得到BD∥AC，于是得到△ACE∽△BDE，相似三角形的性質定理即可得到結論．
【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴＝，
∵AE＝1.3米，BD＝1.2米、BE＝0.2米，
∴＝，
∴AC＝7.8（米），
故答案為：7.8．
【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．
三．解答題（共34小題）
27．如圖，菱形ABCD的邊長為10，∠ABC＝60°，對角線AC、BD相交于點O，點E在對角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點F．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）求證：AE＝EF．

【考點】菱形的性質；多邊形內角與外角．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）50；
（2）證明過程見解答．
【分析】（1）根據銳角三角函數可以求得BC邊上的高，然后根據菱形的面積＝底×高，即可求得相應的面積；
（2）連接EC，然后可以得到AE＝EC，再根據四邊形內角和，可以求得∠ECF＝∠EFC，然后通過等量代換，即可證明結論成立．
【解答】（1）解：作AG⊥BC交BC于點G，如圖所示，
∵四邊形ABCD是菱形，邊長為10，∠ABC＝60°，
∴BC＝10，AG＝AB?sin60°＝10×＝5，
∴菱形ABCD的面積是：BC?AG＝10×5＝50，
即菱形ABCD的面積是50；
（2）證明：連接EC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，
∴EA＝EC，∠DCA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵∠ECA+∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴AE＝EF．

【點評】本題考查菱形的性質、四邊形內角和，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．
28．已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且CE＝CF，求證：AE＝AF．

【考點】菱形的性質；全等三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】證明見解析過程．
【分析】由“SAS”可證△ABE≌△ADF，可得AE＝AF．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
【點評】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，靈活運用菱形的性質是本題的關鍵．
29．已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥DB，交AB的延長線于點E．求證：AC＝EC．

【考點】矩形的性質；平行四邊形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】先由矩形的對角線相等得出AC＝DB，再證明四邊形CDBE是平行四邊形，得出對邊相等DB＝CE，即可得出AC＝CE．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四邊形CDBE是平行四邊形，
∴DB＝CE，
∴AC＝CE．
【點評】本題考查了矩形的性質以及平行四邊形的判定與性質；熟練掌握矩形的性質和證明平行四邊形是解決問題的關鍵．
30．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求證：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面積．

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由矩形的性質得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，證出OE＝OF，由SAS證明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）證出△AOB是等邊三角形，得出OA＝AB＝3，AC＝2OA＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面積．
【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF
∵，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）∵四邊形ABCD是矩形
∴AC＝BD
∵，
∴AO＝DO
∴
∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，
∴
∴矩形ABCD的面積＝．
【點評】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握矩形的性質，證明三角形全等和求出BC是解決問題的關鍵．
31．已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．∠1＝∠2．求證：?ABCD是矩形．

【考點】矩形的判定．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形的對角線互相平分，可得OA＝OC，OB＝OD，又由∠1＝∠2，易證得AC＝BD，繼而證得結論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
即AC＝BD，
∴?ABCD是矩形．
【點評】此題考查了矩形的判定、等腰三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質．注意證得AC＝BD是關鍵．
32．如圖，在周長為16的正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且∠EOF＝90°，連接EF交OB于M．
（1）求證：△BOE≌△COF；
（2）當BE＝1時，求OB?OM的值．

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）見解析過程；
（2）5．
【分析】（1）由“ASA”可證△BOE≌△COF；
（2）通過證明△EOM∽△BOE，可得OE2＝OB?OM，由等腰直角三角形的性質可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴∠OEF＝45°，
∴∠ABO＝∠OEF，
又∵∠BOE＝∠BOE，
∴△EOM∽△BOE，
∴，
∴OE2＝OB?OM，
如圖，過點O作OH⊥AB于H，

∵正方形ABCD的周長為16，
∴AB＝4，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OH⊥AB，
∴AH＝BH＝2＝OH，
∵BE＝1，
∴HE＝1，
∴OE2＝OH2+HE2＝5，
∴OB?OM＝5．
【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，證明三角形相似是解題的關鍵．
33．已知矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．分別過點D、C作AC、BD的平行線交于點E．
（1）求證：四邊形OCED為菱形．
（2）若AB＝3，BC＝4，求菱形OCED的面積．

【考點】菱形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據矩形的性質，易得OC＝OD，即可判定四邊形CODE是菱形，
（2）由矩形的性質可知四邊形OCED的面積為矩形ABCD面積的一半，問題得解．
【解答】（1）結論：四邊形OCED的形狀是菱形，
證明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形CODE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC，
∴四邊形CODE是菱形；
（2）解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面積＝3×4＝12，
∵S△ODC＝S矩形ABCD＝3，
∴四邊形OCED的面積＝2S△ODC＝6．

【點評】本題考查了菱形的判定與性質、矩形的性質等知識，熟練掌握菱形的判定是解決問題的關鍵，記住矩形的對角線把矩形分成面積相等的4個三角形，屬于中考?？碱}型．
34．如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△OAB是等邊三角形．
（1）求證：?ABCD為矩形；
（2）若AB＝4，求?ABCD的面積．

【考點】矩形的判定與性質；等邊三角形的性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據題意可求OA＝OB＝DO，∠AOB＝60°，可得∠BAD＝90°，即結論可得
（2）根據勾股定理可求AD的長，即可求?ABCD的面積．
【解答】解（1）∵△AOB為等邊三角形∴∠BAO＝60°＝∠AOB，OA＝OB
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴OB＝OD，
∴OA＝OD
∴∠OAD＝30°，
∴∠BAD＝30°+60°＝90°
∴平行四邊形ABCD為矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AB＝4，BC＝AB＝4
∴?ABCD的面積＝4×4＝16
【點評】本題考查了矩形的性質和判定，等邊三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．
35．如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點E，點F為四邊形ABCD外一點，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求證：四邊形ABDF是菱形；
（2）若AB＝5，求AC的長．

【考點】菱形的判定與性質；線段垂直平分線的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）首先證明四邊形ABDF是平行四邊形，再證明鄰邊相等即可證明．
（2）在Rt△AFC中，利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）證明：∵∠ADF＝∠BAD，
∴AB∥DF，
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；
∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB，
∴四邊形ABDF是菱形．

（2）解：∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∵BD垂直平分線段AC，
∴DA＝DC，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，
∵FA＝FD，
∴△ADF是等邊三角形，
∴DA＝DF＝DC，
∴∠DAF＝∠F，∠DAC＝∠DCA，
∴∠ADC＝180°﹣2∠DAC，∠ADF＝180°﹣2∠DAF，
∵∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠ADF+∠ADC＝360°﹣2（∠DAC+∠DAF）＝180°，
∴C，D，F(xiàn)三點共線，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，
∵FA＝FD，
∴△ADF是等邊三角形，
∴AF＝DF＝CD＝5，
∵∠FAC＝90°，
∴AC＝＝5．

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質、菱形的判定、角平分線的性質，勾股定理的應用，解題的關鍵是利用勾股定理列方程，屬于中考?？碱}型．
36．如圖，已知在△ABC中，D為BC的中點，連接AD，E為AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF為平行四邊形．
（2）當四邊形ADCF為矩形時，AB與AC應滿足怎樣的數量關系？請說明理由．

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）利用△AEF≌△DEB得到AF＝DB，所以AF＝DC，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）利用等腰三角形的性質以及矩形的性質得出即可．
【解答】（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
∴四邊形ADCF為平行四邊形；

（2）四邊形ADCF為矩形時AB＝AC；
理由：∵四邊形ADCF為矩形，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵D為BC的中點，
∴AB＝AC，
∴四邊形ADCF為矩形時AB＝AC．
【點評】此題主要考查了矩形的性質和全等三角形的判定等知識，利用了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，矩形的性質是解題關鍵．
37．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，點E，F(xiàn)分別為AB、CD中點，連接AF，CE．
（1）求證：AF＝CE；
（2）在AF上取點P，連接PE、PC，若CD＝10，AD＝12，求△PEC的面積．

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由矩形的性質可得AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，由“SAS”可證△ADF≌△CBE，可得AF＝CE；
（2）由題意可證四邊形AECF是平行四邊形，即可求△PEC的面積．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，
∵點E，F(xiàn)分別為AB、CD中點，
∴BE＝AE＝AB，DF＝CF＝CD
∴AE＝BE＝DF＝CF，且∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，
∴△ADF≌△CBE（SAS）
∴AF＝CE，
（2）∵AE＝CF，AB∥CD
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴S△PEC＝S?AECF，
∵CD＝10，AD＝12
∴CF＝5
∴S△PEC＝S?AECF＝×5×12＝30
【點評】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練運用矩形的性質是本題的關鍵．
38．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）連接EF并延長，交AD的延長線于點G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的長．

【考點】菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）利用全等三角形的性質證明AB＝AD即可解決問題；
（2）由直角三角形的性質可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）如圖，

∵AD∥BC，
∴∠CEG＝∠G＝30°，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴∠EAG＝90°，且∠G＝30°，
∴EG＝2AE＝4．
【點評】本題考查了菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．
39．如圖，已知?ABCD，延長AB到E，使BE＝AB，連接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求證：四邊形BECD是矩形；
（2）連接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的長．

【考點】矩形的判定與性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）證明見解析過程；
（2）3．
【分析】（1）證明四邊形BECD是平行四邊形，根據題意得到BC＝DE，根據矩形的判定定理證明；
（2）根據矩形的性質得到∠ABD＝90°，根據勾股定理求出BD，再根據勾股定理計算即可．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴?BECD是矩形；
（2）如圖，

∵CD＝3，
∴AB＝BE＝3．
∵AD＝6，∠ABD＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∴CE＝3，
∴AC＝＝＝3．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的性質，勾股定理，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．
40．已知，如圖正方形ABCD中，E為CD邊上一點，BF⊥AE于點F，DG⊥AE于點G．
（1）求證：△ABF≌△DAG．
（2）若FG＝1，DG＝2，求AB的長．

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由“AAS”可證△ABF≌△DAG；
（2）由全等三角形的性質可得AF＝DG＝2，可得AG＝3，由勾股定理可求解．
【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAG＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠BFA＝∠AGD＝90°，∠BAG+∠ABF＝90°，
∴∠DAG＝∠ABF，
∴△ABF≌△DAG（AAS）；
（2）∵△ABF≌△DAG，
∴AF＝DG＝2，
∵FG＝1，
∴AG＝AF+FG＝3，
∴BF＝AG＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝．
【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．
41．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是CB，CD上的點，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度數．

【考點】菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）證△ABE≌△ADF（ASA），得AB＝AD，即可得出結論；
（2）由全等三角形的性質得∠BAE＝∠DAF，∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，再由等腰三角形的性質得∠B＝∠AEB，設∠B＝∠AEB＝x，則∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，然后由平行線的性質得∠B+∠BAD＝180°，即x+3（180°﹣2x）＝180°，解得x＝72°即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB＝AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵△ABE≌△AEF，
∴∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
設∠B＝∠AEB＝x，則∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
即x+3（180°﹣2x）＝180°，
解得：x＝72°，
即∠B的度數為72°，
【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識；熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的性質，證明△ABE≌△ADF是解題的關鍵．
42．如圖，BD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥BC交AB于點E，DF∥AB交BC于點F．
（1）求證：四邊形BEDF為菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面積．

【考點】菱形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據平行四邊形的和菱形的判定證明即可；
（2）根據含30°的直角三角形的性質和勾股定理以及菱形的面積解答即可．
【解答】證明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四邊形BFDE是菱形；
（2）連接EF，交BD于O，

∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝DC＝12，
∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠A＝90°，
∴DF＝，
在Rt△DOF中，OF＝，
∴菱形BFDE的面積＝．
【點評】此題考查了菱形的判定和性質，熟練掌握菱形的判定和性質是解題的關鍵．
43．如圖，矩形ABCD紙片，E是AB上的一點，且BE：EA＝5：3，CE＝15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好與AD邊上的點F重合，求AB、BC的長．

【考點】矩形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】求線段的長度問題，題中可先設其長度為k，然后利用三角形相似建立平衡關系，再用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，AB＝CD，
∴∠AFE+∠AEF＝90°（2分）
∵F在AD上，∠EFC＝90°，
∴∠AFE+∠DFC＝90°，
∴∠AEF＝∠DFC，
∴△AEF∽△DFC，（3分）
∴．（4分）
∵BE：EA＝5：3
設BE＝5k，AE＝3k
∴AB＝DC＝8k，
由勾股定理得：AF＝4k，∴
∴DF＝6k
∴BC＝AD＝10k（5分）
在△EBC中，根據勾股定理得BE2+BC2＝EC2
∵CE＝15，BE＝5k，BC＝10k
∴
∴k＝3（6分）
∴AB＝8k＝24，BC＝10k＝30（7分）
【點評】掌握矩形的性質，會解決一些簡單的翻折問題，能夠利用勾股定理求解直角三角形．
44．已知：如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點，且AE＝AD，DF⊥AE于點F．
（1）求證：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面積．

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）連接DE，利用矩形的性質，則可證得Rt△ABE≌Rt△DFA，進一步可證得Rt△DFE≌Rt△DCE，則可證得結論；
（2）設AD＝x，則AF＝x﹣1，在△AFD中，利用勾股定理，可求得AD，可求得矩形ABCD的面積．
【解答】解：（1）連結DE，如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中，
，
△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝CD＝DF，
在Rt△DFE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．
∴CE＝FE．
（2）∵△DEF≌△DEC，
∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，
設AD＝x，
則AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
∴x＝13，
即AD＝13，
∴S矩形ABCD＝AD?DC＝65．
【點評】本題主要考查矩形的性質，證得三角形全等是解題的關鍵．
45．在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．求證：四邊形BFDE是矩形．

【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】根據平行四邊形的性質，可得AB與CD的關系，根據平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據矩形的判定，可得答案．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四邊形BFDE是矩形．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定，熟練掌握矩形的判定定理是解題關鍵．
46．如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF∥AE．
（1）求證：四邊形BECF是菱形；
（2）當∠A＝　45　°時，四邊形BECF是正方形；
（3）在（2）的條件下，若AC＝4，則四邊形ABFC的面積為 　12　．

【考點】正方形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；菱形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）45；
（3）12．
【分析】（1）根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE＝EC，BF＝FC，根據四邊相等的四邊形是菱形即可判斷；
（2）若四邊形BECF是正方形，則∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，則∠ACE＝45°，若∠A＝45°，則∠AEC＝90°，可得四邊形BECF是正方形；
（3）根據梯形面積公式即可得到答案．
【解答】（1）證明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四邊形BECF是菱形；
（2）解：當∠A＝45°時，四邊形BECF是正方形，理由如下：
若四邊形BECF是正方形，則∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四邊形BECF是菱形，
∴四邊形BECF是正方形；
故答案為：45；
（3）解：由（2）知，四邊形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，
∴四邊形ABFC的面積為＝12，
故答案為：12．
【點評】本題考查特殊平行四邊形，解題的關鍵是掌握菱形、正方形的判定定理．
47．2022年2月4日至20日，第24屆冬奧會在北京和張家口舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜愛．某廠家1月份生產10萬個“冰墩墩”，1月底因市場對“冰墩墩“需求量大增，為滿足市場需求，工廠決定從2月份開始擴大產量，3月份產量達到12.1萬個．已知2月份和3月份產量的月平均增長率相同．
（1）求“冰墩墩”產量的月平均增長率；
（2）按照（1）中的月平均增長率，預計4月份的產量為多少個？
【考點】一元二次方程的應用．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）10%；
（2）13.31萬個．
【分析】（1）設“冰墩墩”產量的月平均增長率為x，根據1月份及3月份的產量，列出方程即可求解；
（2）結合（1）按照這個增長率，根據3月份產量達到12.1萬個，即可求出預計4月份平均日產量．
【解答】解：（1）設“冰墩墩”產量的月平均增長率為x，根據題意，得
10（1+x）2＝12.1．
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：“冰墩墩”產量的月平均增長率為10%；
（2）12.1×（1+0.1）＝13.31（萬個）．
答：預計4月份的產量為13.31萬個．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
48．某超市銷售一種品牌童裝，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面對2008年下半年全球的金融危機，超市采用降價措施，每件童裝每降價2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天銷售童裝利潤為1000元，那么每件童裝應降價多少元？（列方程，并化為一般形式）．
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】每件童裝降x元，每天多銷售3x件，每件利潤為（40﹣x）元，再根據平均每天銷售童裝利潤為1000元，即銷量×每件的利潤＝1000元，即可列出方程．
【解答】解：每降價2元，多銷售6件，
設降價x元，則多銷售3x件；
降價后銷售件數為（30+3x）件，每件利潤為（40﹣x）元．
則有（30+3x）（40﹣x）＝1000，
整理得3x2﹣90x﹣200＝0．
【點評】理解：只要降價2元，就會多銷售6件；那么，降價x元，則多銷售3x件．
49．為扎實推進“五育并舉”工作，某校利用課外活動時間開設了舞蹈、籃球、圍棋和足球四個社團活動，每個學生只選擇一項活動參加．為了解活動開展情況，學校隨機抽取部分學生進行調查，將調查結果繪成如下表格和扇形統(tǒng)計圖．
參加四個社團活動人數統(tǒng)計表
社團活動
舞蹈
籃球
圍棋
足球
人數
50
30

80
請根據以上信息，回答下列問題：
（1）抽取的學生共有 　200　人，其中參加圍棋社的有 　40　人；
（2）若該校有3200人，估計全校參加籃球社的學生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名學生參加足球社，現(xiàn)從中隨機抽取2名學生參加學校足球隊，請用樹狀圖或列表法說明恰好抽到一男一女的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；統(tǒng)計表；扇形統(tǒng)計圖．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）200，40；
（2）480人；
（3）．
【分析】（1）用足球的人數除以足球所占的百分比，即可求得樣本容量，進而求出參加圍棋社的人數．
（2）先求出參加籃球社的學生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用樹狀圖表示3男2女共5名學生，現(xiàn)從中隨機抽取2名學生參加學校足球隊，所有可能出現(xiàn)的結果情況，進而求出答案即可．
【解答】解：（1）抽取的學生共有：80÷40%＝200（人），
參加圍棋社的有：200﹣50﹣30﹣80＝40（人）；
故答案為：200，40；

（2）若該校有3200人，估計全校參加籃球社的學生共有：3200×＝480（人）；

（3）畫樹狀圖如下：

∵所有等可能出現(xiàn)的結果總數為20個，其中抽到一男一女的情況數有12個，
∴恰好抽到一男一女概率為＝．
【點評】本題主要考查了讀統(tǒng)計表與扇形圖的能力和利用圖表獲取信息的能力，利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察，分析，研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，也考查了利用樹狀圖或列表法求概率．
50．某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質量，促進學生全面健康發(fā)展為優(yōu)化師資配備，學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程（要求必須選修一門且只能選修一門）？”的隨機問卷調查，并根據調查數據繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：
請結合上述信息，解答下列問題：
（1）共有 　120　名學生參與了本次問卷調查；“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是 　99　度；
（2）補全調查結果條形統(tǒng)計圖；
（3）小剛和小強分別從“禮儀”等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）120，99；
（2）圖形見解析；
（3）．
【分析】（1）由選修“禮儀”的學生人數除以所占百分比得出參與了本次問卷調查的學生人數，即可解決問題；
（2）求出選修“廚藝”和“園藝”的學生人數，即可解決問題；
（3）畫樹狀圖，共有25種等可能的結果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的結果有5種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）參與了本次問卷調查的學生人數為：30÷25%＝120（名），
則“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角為：360°×＝99°，
故答案為：120，99；
（2）條形統(tǒng)計圖中，選修“廚藝”的學生人數為：120×＝18（名），
則選修“園藝”的學生人數為：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
補全條形統(tǒng)計圖如下：

（3）把“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程分別記為A、B、C、D、E，
畫樹狀圖如下：

共有25種等可能的結果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的結果有5種，
∴小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的概率為＝．
【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
51．如圖，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．
求證：△ABC∽△DEF．

【考點】相似三角形的判定．菁優(yōu)網版權所有
【答案】證明見解答過程．
【分析】根據BF＝3，CF＝5，得BC＝8，根據勾股定理求出EF＝20，可得，根據相似三角形的判定即可得到△ABC∽△DEF．
【解答】證明：∵BF＝3，CF＝5，
∴BC＝BF+CF＝8，
∵DE＝15，DF＝25．∠E＝90°，
∴EF＝＝20，
∴，，
∴，
∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC∽△DEF．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
52．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的長；
（2）若AC＝BC，求證：△CDE∽△DFE．

【考點】相似三角形的判定；三角形中位線定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）首先利用中位線定理得到DE∥AB以及DE的長，再證明∠DEC＝∠F即可；
（2）根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠B，進而求出∠CDE＝∠F并結合∠CED＝∠DEF即可證明△CDE∽△DFE．
【解答】解：（1）∵D、E分別是AC、BC的中點，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，
∴∠DEC＝∠F，
∴DF＝DE＝5；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CED＝∠DEF，
∴△CDE∽△DFE．
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握有兩個角相等的三角形是相似三角形，此題難度不大．
53．如圖所示，在△ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線上一點，過點A作AF∥BC交ED的延長線于點F，連接AE，CF．
求證：（1）四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）FG?BE＝CE?AE．

【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據已知首先證明△ADF≌△EDC，再利用AF＝CE，AF∥BC得出即可；
（2）利用已知得出△AFG∽△BEA，進而得出比例式，再利用平行四邊形的性質求出即可．
【解答】（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFD＝∠DEC，
∵∠FDA＝∠CDE，D是AC的中點，
∴△ADF≌△EDC，
∴AF＝CE，
∵AF∥BC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）證明：∵四邊形AFCE是平行四邊形，
∴∠AFC＝∠AEC，AF＝CE，
∵AF∥BC，
∴∠FAB＝∠ABE，
∴△AFG∽△BEA，
∴，
∴FG?BE＝AF?AE，
∴FG?BE＝CE?AE．

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質和相似三角形的判定與性質，根據已知得出證明等積式需證明△AFG∽△BEA是解決問題的關鍵．
54．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的長．

【考點】菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】．
【分析】由四邊形ABCD是菱形，OB＝2，根據菱形的性質可得BD＝4，再根據菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半求得AC＝2，再根據勾股定理求得BC，進而利用面積即可求得AE的長．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴，
∴BD＝2OB＝4．
∵，
∴AC＝2，
∴OC＝1，
∴．
∵S菱形ABCD＝BC?AE＝4，
∴．
【點評】本題考查了菱形的性質及勾股定理，根據菱形的面積公式（菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半）求得AC＝2是解題的關鍵．
55．如圖，已知菱形ABCD中，對角線ACBD相交于點O，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E．
（1）求證：四邊形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四邊形CODE的周長．

【考點】矩形的判定與性質；菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由條件可證得四邊形CODE為平行四邊形，再由菱形的性質可求得∠COD＝90°，則可證得四邊形CODE為矩形；
（2）由菱形的性質可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，則可求得OD的長，則可求得答案．
【解答】（1）證明：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形CODE為平行四邊形，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四邊形CODE是矩形；
（2）解：
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AO＝OC＝AC＝×6＝3，OD＝OB，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2＝AB2﹣AO2，
∴BO＝＝4，
∴DO＝BO＝4，
∴四邊形CODE的周長＝2×（3+4）＝14．
【點評】本題主要考查矩形、菱形的判定和性質，掌握矩形的判定方法及菱形的對角線互相垂直平分是解題的關鍵．
56．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AB的中點，過點E作EF⊥BC，交BC于點F，過點O作OG∥EF．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AB＝8，EF＝3，求CG的長．


【考點】矩形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理；菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）見解析；
（2）．
【分析】（1）根據菱形的性質及中位線的定理可知四邊形OEFG是平行四邊形，再根據矩形的判定即可解答；
（2）根據菱形的性質及直角三角形的性質可知，再根據矩形的性質及勾股定理即可解答．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∵E是AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四邊形OEFG是平行四邊形，
∵EF⊥BC，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四邊形OEFG是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，AB＝BC＝8，
∵E是AB的中點，
∴，
由（1）知，四邊形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝4，
∵BE＝4，EF＝3，
∴，
∴；
【點評】本題考查了菱形的性質，矩形的判定與性質，中位線定理，勾股定理，掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．
57．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．

【考點】菱形的判定與性質；三角形中位線定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）見解析；（2）8．
【分析】（1）根據點D和E分別是AB和AC的中點，根據三角形中位線的性質，即可得到DE∥BC，且BC＝2DE，再等量代換，根據平行四邊形的判定定理，即可得到四邊形BCFE是平行四邊形，根據鄰邊的關系，即可得到結論；
（2）根據∠BEF的大小，可判定△EBC是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質，可得到邊長，作EG⊥BC于點G，運用勾股定理，即可得到EG的長，再根據菱形的面積公式，即可得到答案．
【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE∥BC，且BC＝2DE．
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC．
∴四邊形BCFE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．
又∵BE＝FE，
∴四邊形BCFE是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
（2）解：在菱形BCFE中，∠BCF＝∠BEF＝120°，BE＝BC，
∴∠EBC＝60°．
∴△EBC是等邊三角形．
∴BE＝BC＝CE＝4．
過點E作EG⊥BC于點G．

∴BG＝2．
∴EG＝＝2．
∴S菱形BCFE＝BC?EG＝4×2＝8．
【點評】本題考查菱形判定及菱形面積求解，關鍵是掌握菱形的判定及性質．
58．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，求OP的長．

【考點】菱形的判定與性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）見詳解；
（2）．
【分析】（1）首先通過角平分線的定義和平行四邊形的性質，平行線的性質得出∠BAC＝∠ACB，則有AB＝BC，再利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；
（2）首先根據題意和菱形的性質證明四邊形OCPD是矩形，然后利用矩形的性質和勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
（2）解：∵平行四邊形ABCD是菱形，
∴，
∴．
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四邊形OCPD是平行四邊形．
∵∠COD＝90°，
∴四邊形OCPD是矩形，
∴．
【點評】本題主要考查四邊形，掌握矩形，菱形的判定及性質和勾股定理是解題的關鍵．
59．如圖，在△ABC中AB＝AC，D為BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點O．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求AD的長．

【考點】矩形的判定與性質；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）證明見解析過程；
（2）．
【分析】（1）先根據四邊形ABDE是平行四邊形和D為BC的中點，判定四邊形ADCE是平行四邊形，再結合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出結論；
（2）根據∠AOE＝60°和矩形的對角線相等且互相平分，得出△AOE為等邊三角形，即可求出AO的長，從而得到矩形ADCE對角線的長，最后利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴BD∥AE，BD＝AE
∵D為BC中點，
∴DC＝AE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵AB＝AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC，
∴平行四邊形ADCE是是矩形；
（2）解：∵四邊形ADCE是矩形，
∴AO＝CO＝DO＝EO，DC＝AE，
∵∠AOE＝60°，AE＝4，
∴△AOE是等邊三角形，
∴AO＝EO＝AE＝4，AC＝8，
∵∠ADC＝90°，
∴．
【點評】本題主要考查了矩形的判定和性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
60．如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，過點C作CE∥OD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E．
（1）求證：四邊形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面積．

【考點】矩形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由條件可證得四邊形CODE為平行四邊形，再由菱形的性質可求得∠COD＝90°，則可證得四邊形CODE為矩形；
（2）首先推知△ABC是等邊三角形，所以AC＝4，則OC＝AC＝2，根據勾股定理知OD＝＝2，結合矩形的面積公式解答即可．
【解答】（1）證明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四邊形OCED是矩形．

（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝4，
∴OC＝AC＝2，
∴OD＝＝2，
∴矩形OCED的面積是2×2＝4．
【點評】本題主要考查矩形、菱形的判定和性質，掌握矩形的判定方法及菱形的對角線互相垂直平分是解題的關鍵．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/10/10 16:49:14；用戶：實事求是；郵箱：18347280726；學號：37790395

相關試卷

北師大版數學八年級下冊期中精品模擬練習（含詳細解析）：

這是一份北師大版數學八年級下冊期中精品模擬練習（含詳細解析），共48頁。試卷主要包含了若a＜b，則下列各式正確的是，在平面直角坐標系中，點B，下列說法中正確的是，已知a＞b等內容，歡迎下載使用。

北師大版數學八年級下冊期中精品模擬精品練習（含詳細解析）：

這是一份北師大版數學八年級下冊期中精品模擬精品練習（含詳細解析），共39頁。試卷主要包含了分解因式，因式分解等內容，歡迎下載使用。

北師大版數學八年級下冊期中模擬精品練習（含詳細解析）：

這是一份北師大版數學八年級下冊期中模擬精品練習（含詳細解析），共40頁。試卷主要包含了下列各式由左到右是分解因式的是，計算等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

北師大版數學九年級上冊精品期末模擬試卷（含詳細解析）

北師大版數學九年級上冊精品期末模擬試卷（含詳細解析）
北師大版數學中考模擬精品練習試卷（含詳細解析）

北師大版數學中考模擬精品練習試卷（含詳細解析）
人教版數學中考精品模擬練習（含詳細解析）

人教版數學中考精品模擬練習（含詳細解析）
北師大版中考數學精品模擬試卷（含詳細解析）

北師大版中考數學精品模擬試卷（含詳細解析）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部